Matemáticas Educativas: simulación

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lunes, 18 de agosto de 2025

Teorema de Snover (2000)

Dado un triángulo, construimos cuadrados sobre sus lados y unimos los nuevos vértices para definir tres nuevos triángulos, como se muestra en la figura. Entonces, cada uno de estos tres triángulos tienen la misma área que el triángulo inicial.

La solución es geométrica: Se eliminan los cuadrados y posteriormente se gira cada triángulo 90º en el sentido opuesto de las agujas del reloj. Cada triángulo forma con el triángulo original un nuevo triángulo. Pero al ser el lado común de esos dos triángulos una mediana del triángulo completo, tienen la misma base y altura y por tanto la misma área.

Se puede cambiar la forma del trángulo inicial moviendo sus vértices.
Siempre se cumple el teorema: mismas áreas.
Al mover los deslizadores se pueden girar los triángulos hasta 90 grados.
Se pueden mostrar u ocultar los cuadrados.
Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

viernes, 23 de mayo de 2025

La parábola y el producto de dos números

En la figura se muestra una parábola con un punto A en la rama de la derecha y un punto B en la rama de la izquierda. Se unen mediante un segmento que corta al eje de ordenadas en el punto C. El valor de la ordenada en ese punto es el resultado del producto de dos números que son las abscisas, en valor absoluto, de los puntos A y B.

La pendiente de la recta que pasa por A y B es: $$\frac{a^2-b^2}{a+b}=\frac{(a+b)(a-b)}{a+b}=a-b$$ La ecuación de la recta es: $$y-a^2=(a-b)(x-a)$$ El punto de corte con el eje de ordenadas es: $$y-a^2=(a-b)(0-a)=-a^2+ab \rightarrow y(0)=ab$$

Se pueden mover los puntos A y B para obtener el punto C.
Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

miércoles, 30 de octubre de 2024

Incendio forestal (II)

En el modelo se considera un terreno rectangular de 20X40 puntos en los que se pueden plantar hasta 800 árboles entre pinos (P) y robles (M). Se considera que el fuego no afecta apenas a los robles pero sí a los pinos. El simulador permite elegir el porcentaje de pinos y robles plantados que son situados en el terreno de forma aleatoria. Puede haber varios focos de fuego que se sitúan de manera aleatoria en el terreno. El incendio se propaga en cualquier dirección de forma que un pino ardiendo prende a los pinos cercanos pero no afecta a los robles. En un momento determinado el fuego se detiene al no poder propagarse más.

¡Una reforestación combinada con árboles resistentes al fuego reduce el impacto de un incendio!

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

El botón 'iniciar' limpia de árboles el terreno.
Las primeras flechas permiten elegir el porcentaje de pinos plantados.
Las segundas flechas permiten elegir el porcentaje de robles plantados.
El botón 'plantar' muestra los árboles reales plantados y su porcentaje.
El botón 'fuego' pone cada vez un punto de inicio del fuego.
El botón 'incendio' muestra el resultado del incendio, los pinos quemados y su porcentaje.

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domingo, 29 de septiembre de 2024

Problema de Thanos Kalogerakis (2017)

BC es el diámetro de un circulo; M es el punto medio del arco inferior BC; A es un punto en el arco superior BC. El punto D está en la semirrecta que pasa por A y B de forma que MD es perpendicular a AB; el punto E está en la semirrecta que pasa por A y C de forma que ME es perpendicular a AC. Se cumple que: $$\frac{AB}{MD}+\frac{AC}{ME}=2$$

DEMOSTRACIÓN
En primer lugar, ADME es un cuadrado porque, debido a que M es el punto medio del arco que subtiende el ángulo BAC (que es recto), los ángulos DAM=EAM=45º y, posteriormente, dado que ADME es claramente un rectángulo, los ángulos AMD=AME=45º, lo que hace que ADME sea un cuadrado. $$AB=AD-BD=MD-BD$$ $$AC=AE+EC=MD+EC$$ $$AB+AC=2MD+EC-BD$$ Los triángulos BMD y CME son iguales al ser rectángulos, MD=ME y los ángulos CME=BMD. Por tanto EC=BD. $$AB+AC=2MD \rightarrow \frac{AB}{MD}+\frac{AC}{MD}=\frac{AB}{MD}+\frac{AC}{ME}=2$$

Se pueden mover el centro del círculo y el punto C para dimensionar y desplazar la figura.
Moviendo el punto A a lo largo del semicírculo se comprueba la propiedad.
Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

viernes, 30 de agosto de 2024

Incendio forestal (I)

En el modelo se considera un terreno rectangular de 20X40 puntos en los que se pueden plantar hasta 800 pinos (P). El simulador permite elegir el porcentaje de pinos plantados que son situados en el terreno de forma aleatoria. El foco del fuego se produce en la primera fila del rectángulo, donde se puede elegir el porcentaje de pinos afectados (Q) . El incendio se propaga de arriba a abajo, debido a la dirección del viento, de forma que un pino ardiendo prende a los pinos cercanos situados más abajo. En un momento determinado el fuego se detiene al no poder propagarse más.

¡Una reforestación excesiva y sin criterio puede ser contraproducente!

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

El botón 'iniciar' limpia de árboles el terreno.
Las primeras flechas permiten elegir el porcentaje de árboles plantados.
El botón 'plantar' muestra los árboles reales plantados y su porcentaje.
Las segundas flechas permiten elegir el porcentaje de árboles que inician el incendio.
El botón 'quemar' muestra los árboles reales que inician el fuego y su porcentaje.
El botón 'incendio' muestra el resultado del incendio, los árboles quemados y su porcentaje.

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martes, 30 de enero de 2024

Teorema de Conway

Sea un triángulo cualquiera ABC con incentro O y cuya circunferencia inscrita es tangente a los lados en Q, R y S. Los segmentos del mismo color son iguales: CR=CQ (azul ), AS=AR (verde) y BS=BQ (rojo) por construcción.

Se prolonga el segmento AB hasta F, siendo AF=AP (azul)+PF (rojo).
Se prolonga el segmento AB hasta I, siendo BG=BL (verde)+LI (azul).
Se prolonga el segmento BC hasta H, siendo BH=BK (verde)+KH (azul).
Se prolonga el segmento BC hasta D, siendo CD=CN (rojo)+ND (verde).
Se prolonga el segmento CA hasta G, siendo AG=AJ (azul)+JG (rojo).
Se prolonga el segmento CA hasta E, siendo CE=CM (rojo)+ME (verde).

Se observa que los siguientes segmentos son iguales por estar formados por tres subsegmentos de diferente color:

SF=AS (verde)+AP (azul)+PS (rojo)
SI=SB (rojo)+BL (verde)+LI (azul)
QD=QC (azul)+CN (rojo)+ND (verde)
QH=QB(rojo)+BK (verde)+KH (azul)
RE=RC (azul)+CM (rojo)+ME (verde)
RG=RA (verde)+AJ (azul)+JG (rojo)

Los triángulos OSF, OSI, ORG, ORE, OQD y OQH son rectángulos y como tienen los mismos catetos, también tienen la misma hipotenusa que es el radio de la circunferencia que pasa por los puntos D, E, F, G H e I. Estos puntos cumplen las condiciones que impone el teorema de Conway (longitudes prolongadas de los lados desde un vértice iguales a la longitud del lado opuesto). Queda probado el teorema de Conway y además que el centro de esa circunferencia es el incentro del triángulo.

Se pueden mover los vértices del triángulo.
Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

Generalización del teorema (Francisco Javier García Capitán):

En el triángulo ABC se sitúa en su interior un punto arbitrario D . Se traza la recta que pasa por el lado AB y su paralela por el vértice opuesto C. Se traza el segmento que pasa por A y D y que corta en E y el segmento que pasa por B y D que corta en F. Se traza el segmento paralelo al lado AC desde F que corta en G y el segmento paralelo al lado BC que corta en H. Los puntos G y H son dos de los seis puntos buscados. Repitiendo, de forma análoga el proceso, a partir de los lados BC y AC respectivamente se obtendrían los cuatro puntos restantes. Por estos seis puntos pasa una elipse que se convierte en cÍrculo cuando el punto variable D coincide con el incentro del triángulo.

Se pueden mover los vértices del triángulo.
Se puede desplazar el punto hueco y al situarlo sobre el incentro se obtiene una circunferencia.

miércoles, 11 de octubre de 2023

Teorema de Mickey Mouse

Sean los círculos (A) y (B) tangentes exteriores al círculo (C) con los puntos de tangencia F y G, respectivamente. Sean D y E los puntos de tangencia de la recta tangente a ambos círculos, repsectivamente. Si la recta que pasa por D y F se corta con la recta que pasa por E y G en el punto E, entonces ese punto pertenece al círculo (C) y la recta tangente en ese punto es paralela a la recta que pasa por D y E.

DEMOSTRACIÓN

Para la demostración sólo se necesitan los círculos de centros A y C. La prolongación del segmento DF corta al círculo de centro C en el punto H. Los triángulos ADF y CFH son isósceles porque dos de sus lados son radios de los círculos respectivos. Como los ángulos AFD y CFH son iguales, al ser opuestos por el vértice, también son iguales a los ángulos ADF y CHF. Por tanto AD es paralelo a CH, y ya que AD es perpendicular a la tangente al círculo (A) en D, también es verdad para CH. Pero CH es también perpendicular a la tangente al círculo (C) en H. Por tanto ambas tangentes son paralelas.

Podemos decir que H se encuentra en la perpendicular a la tangente en D a través de (C). Dado que originalmente (A) y (B) comparten esa tangente DE, EG necesariamente pasa por H, de modo que las prolongaciones de CA y DB se encuentran en el círculo (C).

De la prueba anterior queda claro que la presencia de dos 'orejas' de Mickey Mouse en el teorema, aunque divertida, no es esencial. El resultado básico solo trata con un círculo (O1), mientras que la afirmación sigue siendo válida para cualquier número de círculos (O2), (O3),…, simultáneamente tangentes a (O) y a una tangente seleccionada a (O1).

Se puede modificar el tamaño y la posición del círculo grande moviendo los puntos C e I.

Se puede cambiar el tamaño de los círculos pequeños moviendo los puntos A y B.

Se pueden desplazar los círculos tangentes sobre el círculo grande moviendo los puntos F y G.

Se puede ver a Mickey Mouse pulsando en el botón.

miércoles, 19 de abril de 2023

Dados no transitivos (I)

Sean tres dados: rojo, verde y azul con sus caras numeradas como se muestra en la imagen.

Si el primer jugador elige el dado verde, entonces, si el segundo jugador elige el dado rojo tiene una mayor probabilidad de ganar. Observando el diagrama de árbol:

$$p(R>V)=p(3)·p(2)+p(6)=\frac{5}{6}·\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{7}{12}$$ Análogamente el dado verde 'gana' al azul y el dado azul 'gana' al rojo: $$p(V>A)=p(2)·p(1)+p(5)=\frac{1}{2}·\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{7}{12}$$ $$p(A>R)=p(4)·p(3)=\frac{5}{6}·\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$$

Se forma un ciclo que se visualiza en el grafo dirigido de la imagen y por tanto no se cumple la propiedad transitiva. Por lo tanto, siempre que tu oponente elija primero, siempre podrás elegir un dado con más posibilidades de ganar, con una probabilidad promedio de ganar de alrededor del 62%, aunque te gustaría que eligiera el dado rojo.
Tim Rowett presentó este juego de dados no transitivos en el Gathering for Gardner V (2002). Es una fundación educativa sin ánimo de lucro para mantener el legado del divulgador matemático Martin Gardner (1914-2010).

Si se lanzan dos dados del mismo color entonces el ciclo se invierte. Los dados verdes 'ganan' a los dados rojos: $$ p(VV>RR)=p(7)·p(6)+p(10)·p(6)+p(10)·p(9)=$$ $$\frac{18}{36}·\frac{25}{36}+\frac{9}{36}·\frac{25}{36}+\frac{9}{36}·\frac{10}{36}=\frac{765}{1296}=\frac{85}{144}$$ teniendo en cuenta que los dados verdes pueden sumar 4,7,10 y los dados rojos pueden sumar 6,9,12.

En el diagrama de árbol se muestra como ganan los dados verdes a los dados rojos y el grafo dirigido visualiza un ciclo de sentido inverso.

Los dados azules 'ganan' a los dados verdes: $$ p(AA>VV)=p(5)·p(4)+p(8)·p(4)+p(8)·p(7)=$$ $$\frac{10}{36}·\frac{9}{36}+\frac{25}{36}·\frac{9}{36}+\frac{25}{36}·\frac{18}{36}=\frac{765}{1296}=\frac{85}{144}$$ teniendo en cuenta que los dados azules pueden sumar 2,5,8 y los dados verdes pueden sumar 4,7,10.

Los dados rojos 'ganan' a los dados azules: $$ p(RR>AA)=p(6)·p(2)+p(6)·p(5)+p(9)+p(12)=$$ $$\frac{25}{36}·\frac{1}{36}+\frac{25}{36}·\frac{10}{36}+\frac{10}+\frac{1}{36}=\frac{671}{1296}$$ teniendo en cuenta que los dados rojos pueden sumar 6,9,12 y los dados azules pueden sumar 2,5,8. La probabilidad media de ganar con dos dados es alrededor del 57% y la probabilidad de que los dados rojos ganen a los dados azules es muy ajustada.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

Se puede jugar contra el ordenador eligiendo el número de partidas y en cada tirada cualquiera de los tres colores con los botones de la izquierda.
Se muestran los resultados acumulados después de cada tirada así como la gráfica correspondiente.
Se puede jugar contra el ordenador eligiendo series de jugadas del tamaño deseado y siempre con un color determinado con los botones de la derecha.
Se muestran los resultados acumulados después de cada serie así como la gráfica correspondiente.

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viernes, 6 de enero de 2023

Disección de Dudeney (II)

La forma de dividir un triángulo equilátero en cuatro polígonos (2 triángulos y 2 cuadriláteros) para con ellos construir un cuadrado también se conoce como el 'Problema del Mercero" (Haberdasher Problem). En esta nueva entrada se muestra otra forma de obtener la 'Disección de Dudeney':

Se construye el triángulo equilátero ABC
Se obtienen los puntos medios D y E de los lados AB y BC.
Se trazan las rectas perpendiculares al lado AC que pasan por D y E.
Se obtienen los puntos de intersección F y G sobre el lado AC.
Se traza el segmento EF.
Se trazan las perpendiculares desde D y G sobre el segmento EF.
Se obtienen los puntos de interesección H e I.

Si llamamos a al lado del triángulo, se tiene que su área es: $$A_t=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$ Como ha de ser igual al área de un cuadrado: $$A_t=A_c \rightarrow \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=l^2 \rightarrow l=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}a$$

Moviendo los deslizadores se puede convertir el triángulo en un cuadrado.
Dada la medida del lado del triángulo (AB) y del segmento (GI) se puede comprobar que estos valores están de acuerdo con que el segmento es la mitad del lado del cuadrado.

Veamos por qué el segmento IG es la mitad del lado del cuadrado. Simplificamos el cálculo tomando un triángulo equilátero de lado a=2: $$A_t=A_c \rightarrow \frac{\sqrt{3}}{4}·2^2=l^2 \rightarrow l=\sqrt[4]{3}$$

Se prolonga la altura AE hasta J, de forma que EJ=EB=1 y K es el punto medio de AJ
Se traza el círculo de centro K y radio AK: $$AK=\frac{1}{2}(AE+EJ)=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$
Se prolonga BE hasta M y se obtiene el triángulo EMK donde: $$MK=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$ $$EK=AE-AK=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}+1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2} $$
Aplicando el teorema de Pitágoras: $$EM=\sqrt{\frac{\sqrt{3}+1}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}-1}{2})^2}=\sqrt[4]{3} $$

que es el tamaño del lado del cuadrado.}

Se traza el círculo de centro E y radio EF=EM. Y si 'alfa' es el ángulo EFC, aplicando el teorema del seno: $$sen(\alpha)=\frac{sen(60)·EC}{EF}=\frac{\sqrt{3}/2·1}{\sqrt[4]{3}}=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}$$
FG=EC=1 y GI es perpendicular a FE: $$GI=FG·sen(\alpha)=1·\frac{\sqrt[4]{3}}{2}=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}$$

lunes, 10 de octubre de 2022

Teorema de Von Schoonen

Frans van Schooten (1615-1660) fue un matemático holandés que debe su fama al desarrollo y explicación de las nuevas ideas matemáticas contenidas en La Géométrie de René Descartes que dieron origen a la geometría analítica. El teorema, que lleva su nombre y es poco conocido, describe una propiedad de los triángulos equiláteros:

Para un triángulo equilátero ABC con un punto D en su circuncentro, los segmentos AD, BD y CD que unen D con cada uno de los vértices del triángulo, verifican que el segmento mayor es igual a la suma de los otros dos.

Los puntos A y B permiten cambiar la posición y el tamaño de la figura.
El punto D se puede desplazar por la circunferencia.
Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

El teorema es consecuencia del teorema de Ptolomeo para cuadriláteros inscritos en una circunferencia (cuadriláteros cíclicos): $$|BC| \cdot |DA|=|AC| \cdot |DB|+|AB| \cdot |DC| \rightarrow |DA|= |DB|+ |DC|$$ siendo |DA| el segmento mayor y ser el triángulo equilátero.

lunes, 29 de agosto de 2022

Modelos de urnas

Un modelo de urnas se construye a partir de un conjunto de urnas que contengan bolas de diferentes colores. Luego se establecen unas reglas que fijan el procedimiento de añadir o retirar bolas de las urnas en función del color de la bola extraída. Dentro de los modelos de urnas tienen una importancia especial los llamados "Modelos por Contagio", esto es, modelos donde la ocurrencia de un suceso tiene efecto de cambiar la probabilidad de las posteriores ocurrencias de ese mismo suceso.

Una urna contiene N bolas, a rojas y b verdes; se extrae al azar una bola, se reemplaza y se añaden c bolas del mismo color y d bolas del color contrario. Se hace una nueva extracción aleatoria de la urna (que ahora contiene a+b+c+d bolas) y se repite el procedimiento sucesivamente.

Modelo directo:

Cuando se fija el número n de repeticiones del experimento y se conoce como el Modelo de Bernard Frieman que lo propuso en 1947. Viene definido por los siguientes parámetros:

$$(a,b,c,d,n)$$

El Modelo de Pólya es un caso particular del modelo anterior cuando el parámetro d=0, y viene definido por los parámetros:

$$(a,b,c,0,n)$$

La probabilidad de que la primera bola extraída sea roja es:

$$p(r_1)=\frac{a}{N}$$

La probabilidad de que las dos primera bolas extraídas sean rojas es:

$$p(r_1,r_2)=\frac{a}{N}\frac{a+c}{N+c}$$

La }de que las tres primera bolas extraídas sean rojas es:

$$p(r_1,r_2,r_3)=\frac{a}{N}\frac{a+c}{N+c}\frac{a+2c}{N+2c}$$

La probabilidad de que las k primeras bolas extraídas sean rojas es:

$$p(r_1,r_2,\dots r_k)=\frac{a}{N}\frac{a+c}{N+c}\dots\frac{a+(k-1)c}{N+(k-1)c}=\frac{a^{(k,c)}}{N^{(k,c)}}$$

que es la forma simbólica y abreviada de expresar el productorio.

Si además se quiere que en las restantes extracciones las bolas sean verdes:

$$p(r_1,r_2,\dots r_k,v_{k+1},v_{k+2}\dots v_n)=$$

$$\frac{a^{(k,c)}}{N^{(k,c)}}\frac{N-a}{N+kc}\frac{N-a+c}{N+(k+1)c}\dots \frac{N-a+(n-k-1)c}{N+(n-1)c}=$$

$$\frac{a^{(k,c)}(N-a)^{(n-k,c)}}{N^{(n,c)}}$$

Como esta probabilidad no depende del orden en que aparecen las k bolas rojas y las n-k bolas verdes, la fórmula final será:

$$\binom{n}{k}\frac{a^{(k,c)}(N-a)^{(n-k,c)}}{N^{(n,c)}}$$

Dependiendo del valor del parámetro c se tiene:

Si c>0 el éxito y el fracaso son contagiosos, en el sentido de que un éxito o un fracaso aumenta la probabilidad de un futuro éxito o fracaso, respectivamente.
Si c=0 los sucesos son independientes y no se alteran las condiciones iniciales.
Si c<0 el éxito disminuye la probabilidad de un nuevo éxito y el fracaso disminuye la probabilidad de un nuevo fracaso.

Las distribuciones de probabilidad que obtienen según los valores del parámetro c son:

Si c=-1: Distribución hipergeométrica.
Si c=0: Distribución binomial.
Si c=1: Distribución hipergeométrica negativa.
Si c=a=N-a: Distribución uniforme discreta.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

Se puede elegir elegir el número de bolas negras 'N' y bolas rojas 'R' iniciales.
Se pueden modificar los parámetros 'a' y 'b' de bolas de cada color que se añaden en cada iteración.
Se puede fijar el número de iteraciones 'k'.
Se muestran los valores y la gráfica de las sucesivas iteraciones.
Se muestran el número de bolas negras y rojas finales y su proporción.

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viernes, 27 de mayo de 2022

En el espíritu de Wasan (II)

Podemos añadir que el wasan se desarrollo en el período Tokugawa (1603-1868) cuando el país estaba aislado de las influencias europeas. Al comienzo del período imperial (1868-1945), el país se abrió a occidente adoptando su matemática, lo que supuso el declive de las ideas utilizadas en el wasan.

Veamos otro ejemplo sencillo que también utiliza el teorema de Pitágoras.

Una circunferencia es tangente interior a una circunferencia mayor y a su diámetro. Construir la circunferencia tangente a ambas y a ese diámetro y expresar su radio en función de la circunferencia mayor.

Sea R el radio de la circunferencia mediana de centro E y r el radio del la circunferencia buscada. En el triángulo ADE, aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene:

$$(R+r)^2=AD^2+(R-r)^2 \rightarrow 4Rr=AD^2$$

De forma análoga, en el triángulo ABC se tiene:

$$(2R-r)^2=BC^2+r^2 \rightarrow 4R^2-4Rr=BC^2$$

Como AD=BC se tiene que:

$$4R^2-4Rr=4Rr \rightarrow 4R^2=8Rr \rightarrow R=2r$$

Entonces el centro A, del la circunferencia buscada, se puede obtener como intersección de dos circunferencias de centros C y E y de radio 3R/2.

Los puntos azules permiten cambiar la posición y el tamaño de la figura.
Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

lunes, 18 de abril de 2022

En el espíritu de Wasan (I)

Hay una palabra, wasan, que utilizan los japoneses para referirse a sus matemáticas frente a yosan o matemáticas occidentales. Aunque el wasan se debe a varios matemáticos japoneses, los iniciadores son Kambei Mori (principio siglo 17) y Yoshida Mitsuyoshi (1598-1672). Veamos un ejemplo sencillo que utiliza el teorema de Pitágoras.

Los centros A y B de dos círcunferencias iguales están en la circunferencia de la otra. Construir una circunferencia tangente a la recta AB, a la circunferencia de centro A interiormente y a la circunferencia de centro B exteriormente.

Llamamos AB=a, AF=x y GF=r (el radio de la circunferencia buscada). En el triángulo BFG, aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene:

$$(a+r)^2=r^2+(a+x)^2$$

y , de forma análoga, en el triángulo AFG se cumple:

$$ (a-r)^2=r^2+x^2$$

Simplificando ambas ecuaciones y restando se obtiene:

$$4ar=a^2+2ax \rightarrow x+ a/2=2r$$

Significa que el lado EF del cuadrado ACDE, siendo C el punto medio del segmento AB, es un diámetro de la circunferencia buscada. Por tanto es fácil su construcción.

Los puntos A y B permiten cambiar la posición y el tamaño de la figura.
Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

viernes, 29 de octubre de 2021

Modelo lingüístico de Abrams-Strogatz

El 90% de las lenguas del mundo pueden desaparecer en la próxima generación. Vamos a analizar la competencia entre dos lenguas en un ámbito determinado y donde los individuos son monlingües y como una de ellas acaba imponiéndose a la otra. La atracción hacia una de las lenguas depende de su número de hablantes pero también del 'estatus' de una lengua, entendido como las oportunidades económicas y sociales que dan expresarse en esa lengua. Si X e Y representan dos lenguas que comparten un mismo espacio, se tiene que la velocidad con la que cambia la población que habla la lengua X es:

$$\frac{dx}{dt}=(1-x)\cdot P_{yx}-x \cdot P_{xy}$$ Siendo x la proporción de hablantes de la lengua X, y Pyx y Pxy las probabilidades de cambiar de la lengua Y a la lengua X y viceversa.

$$P_{yx}=sx^a \wedge P_{xy}=(1-s)(1-x)^a$$

donde s es el parámetro que mide el 'estatus' o 'prestigio' de la lengua, siendo: $$0 \leq s \leq 1$$

Si s<1/2 la lengua X tiene menos 'prestigio' que la lengua Y.

El parámetro a mide como influye de la mayor o menor conectividad de la población. Una población muy dispersa dificulta los contactos y disminuye la posibilidad de cambiar de lengua, eso ocurre cuando a>1. En cambio si la población está muy interconectada, ´por ejemplo grandes núcleos de población, se favorece el cambio de idioma, lo que ocurre cuando a<1.

La fracción de hablantes de la lengua X a largo plazo para a=1, se aproxima a la función exponencial decreciente: $$x=e^{(2s-1)t} \wedge s < \frac{1}{2}$$

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

Se puede elegir la proporción de personas que hablan la lengua X.
Se pueden modificar los parámetros 's' y 'a'.
Se puede elegir el instante temporal y observar la proporción que habla cada lengua.
Se muestran las gráficas de la evolución de las poblaciones.

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miércoles, 19 de mayo de 2021

Sucesiones de Fibonacci (III)

Vimos una variante de la sucesión de Fibonacci que se obtenía sumando (o restando) a un término el anterior de forma aleatoria con probabilidad 1/2: cara (+) o cruz (-). La fórmula de recurrencia era: $$R_{n}=R_{n-1} \pm R_{n-2}$$ Si la secuencia aleatoria fuera: $$+,+,-,-,+,+,-,+,-,-,...$$ la sucesión sería: $$1,1,2,3,1,-2,-1,-3,-2,-5,-3,2,...$$ Ahora vamos a considerar series no aleatorias y repetidas de + y -, es decir, con un patrón fijo. Un ciclo de longitud n es: $$\sigma_n=(s_1,s_2,...,s_n) \wedge s_i\in\{+,-\} \wedge 1 \leq i \leq n$$ $$-,-,+,-,-,+,-,-,+,... \rightarrow 1,1,0,-1,-1,4,5,1,6,7,1,...$$ $$+,+,-,+,+,-,+,+,-,... \rightarrow 1,1,2,3,1,4,5,1,6,7,1,...$$ corresponde a los ciclos: $$ \sigma_3=(-,-,+) \wedge \sigma_3=(+,+,-)$$ Los resultados son muy diferentes dependiendo de la situación de esos símbolos en la cadena y de la longitud de la cadena de + y - . Si el ciclo tiene longitud n, el número de posibilidades es VR2,n.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

Se puede obtener el valor de los los términos de la sucesión.
Se pueden analizar las series con ciclos de 2, 3, 4 y 5 elementos.
Se pueden modificar los signosn + y - de las series con ciclos de 2, 3, 4 y 5 elementos.
Se muestran las gráficas de los términos de la sucesión.

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viernes, 16 de abril de 2021

Sucesiones de Fibonacci (II)

Vamos a volver sobre la sucesión de Fibonacci: $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...$$ $$F_1=1,\quad F_2=1,\quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$$ donde el cociente de dos términos consecutivos tiende al número de oro: $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}= \phi$$ Esto permite obtener de forma aproximada un término muy avanzado de la sucesión. $$F_n \approx F_{n-1} \cdot\phi \rightarrow F_n \approx F_{n-2} \cdot\phi^2 \rightarrow F_n \approx \cdot\phi^n $$ Si se quiere obtener un término conociendo el anterior, basta multiplicarlo por el número de oro y redondear: $$F_6 \approx F_5\cdot 1.61803...\approx 8.09016... \rightarrow F_6=8$$ Veamos la diferencia entre la aproximación y el verdadero valor del término 1000000: $$F_{1000000} \approx\phi^{1000000} \approx 4.4 \cdot 10^{208987}$$ $$F_{1000000}= 1.95 \cdot 10^{208987}$$ Supongamos ahora que la sucesión se obtiene sumando (o restando) a un término el anterior de forma aleatoria con probabilidad 1/2: cara (+) o cruz (-). La fórmula de recurrencia ahora será: $$R_{n}=R_{n-1} \pm R_{n-2}$$ Si la secuencia aleatoria fuera: $$+,+,-,-,+,+,-,+,-,-,...$$ la sucesión sería: $$1,1,2,3,1,-2,-1,-3,-2,-5,-3,2,...$$ ¿Tenderá a más infinito, a menos infinito, a cero o será caótica? Pues así como la sucesión de Fibonacci clásica tiende a una tasa de crecimiento, que es el número de oro, la sucesión de Fibonacci aleatoria también tiende a una tasa de crecimiento: $$1.1319882487943...$$ conocida como la constante de Wiswanath. Así que: $$R_{1000000}=1.1319882487943...^{1000000} \approx \pm 8.3 \cdot 10^{53841}$$ Otra forma de obtener la constante es: $$|R_n|^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1.13198... \wedge n\rightarrow \infty$$ Es 'casi seguro', pues existe una remota posibilidad de obtener de forma aleatoria la sucesión de Fibonacci cuya ratio tiende al número de oro. Es evidente que, siguiendo el mismo procedimiento, se puede obtener 'seguro' el número de oro: $$|F_n|^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1.61803... \wedge n\rightarrow \infty$$ Se puede considerar que sumar o restar no sea equiprobable y tenga un sesgo. Si la probabilidad de sumar es 1, se obtendrá la sucesión de Fibonacci clásica y si la probabilidad de restar es 1, entonces se obtiene la sucesión de Fibonacci oscilante con signos alternos. ¿Qué ocurre si sólo se le suma (resta) a un término la mitad del anterior? $$R_n=R_{n-1} \pm \frac{1}{2}R_{n-2}$$ Se obtiene una sucesión que tiende a cero. Pero para valores comprendidos entre 1/2 y 1 ni se anula ni tiende a infinito. Concretamente para el valor 0.70258... ni crece ni decrece. Esto significa que la tasa de crecimiento tiende, aproximadamente, a 1.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

Se puede obtener el valor de los los términos de la sucesión.
Se puede obtener el valor absoluto de los los términos de la sucesión.
Se puede obtener el valor de la tasa de crecimiento.
Se puede elegir la probabilidad (m) de sumar o restar los términos.
Se puede elegir la proporción (s) del término que se suma o resta.
Se muestran las gráficas de los términos, los valores absolutos de los términos y los valores de la constante de Wiswanath.

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domingo, 21 de febrero de 2021

Conjetura de Kollatz (II)

La conjetura de Collatz, también conocida como la conjetura de 3n+1, conjetura de Ulam o problema de Siracusa, es una conjetura de la teoría de números establecida por Lothar Collatz en 1937.

Si un número n es par se divide por 2:

$$f(n)=\frac{n}{2}$$

Si un número n es impar se multiplica por 3 y se le suma 1:

$$f(n)=3n+1$$

La conjetura dice: Si partimos de cualquier número natural y se aplican los criterios anteriores de forma sucesiva a los números que se van obteniendo, siempre se termina en 1. Si se continuara el proceso se obtendría {4,2,1} de manera cíclica.

Aunque no existe una demostración matemática de la conjetura, se ha probado que para números menores que 2^68 se cumple. Por otro lado, de los 100.000.000 primeros números, el que genera la secuencia más larga es el 63.728.127 que necesita 947 iteraciones.

Los números que son suma de potencias de 2 con exponente par necesitan pocas iteraciones para llegar al 1. Por ejemplo:

$$2^0+2^2=1+4=5\rightarrow 5·3+1=16=2^4$$

$$2^0+2^2+2^4=1+4+16=21\rightarrow 21·3+1=64=2^6$$

$$2^0+2^2+2^4+2^6=1+4+16+64=85\rightarrow 85·3+1=256=2^8$$

Y como se llega a una potencia de 2, a partir de ahí sólo se necesitan 4, 6 y 8 iteraciones respectivamente.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

Se puede elegir el valor inicial de la serie.
Se puede ir cambiando de iteración y obtener el valor correspondiente.

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viernes, 22 de enero de 2021

Teorema de Finsler-Hadwiger

Si dos cuadrados tienen un vértice común, entonces los centros de ambos cuadrados y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices adyacentes al vértice común forman un cuadrado.

Los cuadrados ABCD y DEFG comparten el vértice D. H e I son los puntos medios de los segmentos AE y CG, respectivamente. El polígono IJHK es un cuadrado.

Construimos los paralelogramos congruentes DALE y DGMC y determinamos los centros J y K de los cuadrados iniciales.

Si se efectúa un giro de 90º de centro J, el paralelogramo DALE se convierte en el DGMC. Por tanto, los segmentos JH y JI son iguales y perpendiculares.

Analogamente, si se efectúa un giro de 90º de centro K, el paralelogramo DGMC se convierte en el DALE. Por tanto, los segmentos KH y KI. son iguales y perpendiculares. Luego el paralelogramo IJHK es un cuadrado.

El deslizador 'alpha' permite girar el paralelogramo DALE en el sentido de las agujas del reloj.
El deslizador 'beta' permite gira el paralelogramo DGMC en el sentido contrario de las agujas del reloj.
Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

domingo, 1 de noviembre de 2020

Sucesiones de Fibonacci (I)

Todos conocemos la sucesión de Fibonacci: $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...$$ $$F_1=1,\quad F_2=1,\quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\;\;(n>2)$$ donde el cociente de dos términos consecutivos tiende al número de oro: $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}= \phi$$ Si ahora consideramos: $$F_1=1,\quad F_2=1,\quad F_3=F_2+F_1 \quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}+F_{n-3}\;\;(n>3)$$ se obtiene la llamada sucesión de Tribonacci: $$1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81,...$$ En general, se llama una sucesión k de Fibonacci: $$\{F_n^k\}_{i=1}^\infty$$ $$F_1^k=F_2^k=1 \quad F_n^k=\sum_{i=1}^kF_{n-i}^k\;\;(n>2)$$ Así se obtienen para: $$k=2, 3, 4, 5,...$$ las sucesiones de Fibonacci, Tribonaccci, Tetranacci, Pentanacci,... Para todas estas sucesiones : $$\exists \;\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}$$ Estos límites son la mayor solución positiva de las ecuaciones: $$x^n(2-x)=1$$ Para n=2 se tiene: $$x^2(2-x)=1 \rightarrow x^3-2x^2+1=0 \rightarrow x=\frac{1}{2}(\sqrt {5}+1) =\phi\approx 1.618$$ Para n=3 se tiene: $$x^3(2-x)=1 \rightarrow x^4-2x^3+1=0 \rightarrow $$ $$x=\frac{1}{3}[1+(19-3\sqrt{33})^\frac{1}{3}+(19+3\sqrt{33})^\frac{1}{3}] \approx 1.839$$ Vemos que la solución algebraica es cada vez más compleja y difícil de obtener. Una alternativa es considerar la función: $$f(x)=x^n(2-x)-1$$ Si se representan estas funciones podemos obtener los límites buscando las raíces mayores que la unidad de esas funciones.

En la figura se han representado las funciones para n=2,3,4. Se observa que todas tienen como raíz la unidad. Para n=2 además hay una raíz negativa; para n=3 dos raíces complejas; para n=4 hay una negativa y dos complejas. Además se observa que los valores buscados van creciendo y tienen al número 2.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

Se puede elegir el tipo de sucesión.
Se muestran los 20 primeros términos de la sucesión y del cociente entre términos consecutivos.
Variando F1 y F2 se puede observar que no influyen en el límite del cociente entre términos consecutivos.

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sábado, 30 de mayo de 2020

Sangaku (II)

En el interior de un círculo se construyen siete círculos de tres tamaños diferentes con puntos de tangencia entre ellos. El círculo grande tiene un radio R=3r, siendo r el radio de los círculos verticales. Además 2r es el radio de los círculos gemelos mayores.

Vamos a obtener el radio x de los círculos gemelos pequeños. En el triángulo rectángulo OAB, se tiene que AB=2r+x, OB=r y OC=3r-x, y aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene:

$$(2r+x)^2=r^2+(3r-x)^2 \rightarrow x=\frac{3}{5}r \rightarrow x=\frac{R}{5}$$

Por tanto, de acuerdo con la figura:

$$r_1=\frac{2R}{5} \wedge r_2=\frac{R}{3}\wedge r_3=\frac{R}{5}$$

Se puede modificar y desplazar la figura moviendo los puntos azules.
Se muestran los valores de los radios de los círculos de distinto tamaño.
Se puede ver o no el triángulo de la demostración.
Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

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