martes, 24 de mayo de 2016

Teorema de Miquel (I)

El matemático francés Auguste Miquel enunció en 1838 el siguiente teorema geométrico: Sea un triángulo cualquiera ABC. Sobre sus lados se sitúan los puntos D, E y F que se pueden desplazar a lo largo de los lados CB, AC y AB respectivamente. Se trazan las circunferencias: $$ AEF, BDF, CDE$$ que pasan por un vértice y los puntos móviles adyacentes. Entonces las tres circunferencia se cortan en un punto común M, llamado punto de Miquel.
Además si se trazan los segmentos: $$MD, ME, MF$$ que unen el punto de Miquel con los puntos móviles, se observa que los ángulos: $$\widehat{AFM}=\widehat{BDM}=\widehat{CEM}$$

Se puede modificar el triángulo desplazando sus vértices A, B y C. Tambíen mover los puntos D, E y F situados sobre los lados y así comprobar el teorema. Con las flechas se puede observar la construcción "paso a paso".

viernes, 22 de abril de 2016

La tiranía de la mayoría

Alexis de Tocqueville (1805-1859), fue un pensador, jurista, político e historiador francés, precursor de la sociología clásica y uno de los más importantes ideólogos del liberalismo. En su obra Democracia en América, anunciaba potenciales amenazas para la joven república norteamericana. Lo esencial en democracia es que la minoría (sea pequeña o casi la mitad del electorado) tenga siempre voz, sea escuchada y respetada, como también en algún momento intervenga en los actos de gobierno. El respeto a disentir sigue siendo lo fundamental, lo definitorio del proceso democrático.

A continuación se muestra una situación en que se analiza la presencia o no de la Tiranía de la Mayoría al aplicar el método de votación de la media. Supongamos que los extranjeros residentes en una ciudad necesitan tener asistencia sanitaria. Para ellos es una necesidad básica, pero para el resto de la población supone más impuestos. Los deseos de la Minoría entran en conflicto con la Mayoría. De acuerdo con estos criterios, en un votación la Minoría puntúa con 9 la asistencia sanitaria y con 0 no tener la prestación. En cambio el resto de la población valora con un 4 la asistencia y con un 5 lo contrario.

Distinguimos entre el SI o el NO a la asistencia sanitaria y se calculan las puntuaciones medias de las dos opciones cuando la Minoría es del 10%:
\begin{equation*}\label{lan} \overline{x}(NO)=\frac{10 \cdot 0+ 90\cdot 5}{100}=4.5 \ \wedge \ \overline{x}(SI)=\frac{10 \cdot 9+ 90\cdot 4}{100}=4.5 \end{equation*}
Se observa que coinciden y por tanto cuando la Minoría supere el 10% de la población conseguirá ganar la votación.

domingo, 3 de abril de 2016

Paradoja de Simpson-Yule

Fue citada en 1951 por el estadístico Edward Hugh Simpson (1922-), pero anteriormente por Udny Yule (1871-1951), de ahí que se conozca también como el efecto Yule-Simpson y muestra que una tendencia que aparece en varios grupos de datos, desaparece cuando estos grupos se combinan y en su lugar aparece la tendencia contraria para los datos agregados.
En unas elecciones se presentan el Partido Progresista y el Partido Conservador en la mancomunidad formada por las localidades de Villavieja y Villanueva. La tabla recoge los votos obtenidos por cada partido en cada localidad y conjuntamente, indicando el voto femenino y masculino en cada caso.

Progresista-Conservador Mujeres Hombres Total
Villanueva 210-490 240-60 450-550
Villavieja 80-320 450-150 530-470

La nueva tabla muestra los porcentajes de voto obtenido por el Partido Progresista en cada localidad por sexos y globalmente. Se observa que el porcentaje de votos obtenidos en Villanueva es superior al obtenido en Villavieja, tanto en mujeres como en hombres, y en cambio para los datos globales es más votado en Villavieja que en Villanueva. La paradoja se produce cuando son grandes las diferencias entre los tamaños de los sectores y la diferencia entre los porcentajes de cada sector.

Porcentaje Progresista Mujeres Hombres Total
Villanueva 30% 80% 45%
Villavieja 20% 75% 53%

Matemáticamente se expresa:
$$\frac{a}{b}<\frac{A}{B} \wedge \frac{c}{d}<\frac{C}{D} \Rightarrow \frac{a+c}{b+d}>\frac{A+C}{B+D}$$
  • Basado en un artículo de Juan M.R. Parrondo en Investigación y Ciencia.

viernes, 18 de marzo de 2016

La media aritmética y otras medias (II)

El matemático alemán Otto Hölder propuso una definición generalizada de la media. Esta media depende de un parámetro que para determinados valores dan lugar a las medias conocidas. $$\overline x (k)=\left (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_i^k} \right )^{1/k} \rightarrow \overline x (k)=\left [\frac{1}{2}(a^k+b^k) \right ]^{1/k}$$ Se muestra la fórmula para n valores y la que se va a utilizar para dos valores a y b.
  • ARITMÉTICA: $$k=1 \rightarrow A=\frac{a+b}{2}$$
  • CUADRÁTICA: $$k=2 \rightarrow Q=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$
  • ARMÓNICA: $$k=-1 \rightarrow H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$
  • GEOMÉTRICA: $$k \rightarrow 0 \rightarrow G=\sqrt{ab}$$
Veamos la obtención de la última media: $$\lim_{k \to 0}\left [\frac{1}{2} (a^k+b^k) \right ]^{1/k}=1^\infty$$ Recordando que si: $$\lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}=1^\infty$$ se puede hacer el cambio: $$f(x)=1+h(x) \wedge \lim_{x \to a}h(x)=0$$ $$ \lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}= \lim_{x \to a}\left [ 1+h(x)\right ]^{\frac{1}{h(x)}h(x)g(x)}=$$ $$\lim_{x \to a}e^{h(x)g(x)}=\lim_{x \to a}e^{(f(x)-1)g(x)}$$ Aplicando el algoritmo a nuestro caso: $$\lim_{k \to 0}\left [ \frac{1}{2}(a^k+b^k) -1\right ]\frac{1}{k}=\frac{0}{0}$$ y aplicando la regla de l'Hôpital: $$\lim_{k \to 0}\frac{1}{2}\frac{(a^kLa+b^kLb)}{1}=\frac{1}{2}(La+Lb)=L(ab)^{1/2}$$ Por tanto, el límite es: $$e^{L(ab)^{1/2}}=(ab)^{1/2}=\sqrt{ab}$$

jueves, 18 de febrero de 2016

La media aritmética y otras medias (I)

Para el conjunto de datos: $$x_1,x_2,\cdots x_n$$ y en particular para los datos a y b, se definen las siguientes medias:
  • ARITMÉTICA: $$A=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i} \rightarrow A=\frac{a+b}{2}$$
  • GEOMÉTRICA: $$G=\left [\prod_{i=1}^{n}{x_i}\right ]^{1/n} \rightarrow G=\sqrt{ab}$$
  • ARMÓNICA: $$H=n \left [ \sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_i}}\right ]^{-1} \rightarrow H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$
  • CUADRÁTICA: $$Q=\left [\frac{1}{n}\prod_{i=1}^{n}{x_i}^2\right ]^{1/2} \rightarrow Q=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$
Estas medias cumplen las siguientes desigualdades: $$H \leq G \leq A \leq C$$

domingo, 17 de enero de 2016

¿Hay otra forma de cortar una pizza?

Si queremos dividir en 12 trozos o porciones iguales una tarta hexagonal o una pizza (necesariamente circular), la forma habitual es hacer cortes radiales. En el caso de la tarta se unen con segmentos los vértices del polígono con su centro, dando origen a 6 triángulos equiláteros y posteriormente desde el centro del polígono se trazan las alturas de cada unos de los triángulos, obteniéndose así 12 triángulos rectángulos idénticos. En el caso de la pizza se divide en 12 sectores circulares de 30 grados cada uno, que es la forma tradicional de dividir una pizza.
Matemáticos de la Universidad de Liverpool han llevado al extremo la preocupación de no pocos amantes de la pizza por compartir este popular alimento distribuyendo equitativamente las porciones.
Pero ¿y si el centro de la pizza tiene un complemento que algunas personas prefieren evitar, mientras que otros les gusta más la zona crujiente del borde?
Un estudio publicado en arXiv por Joel Haddley y Stephen Worsley explora las posibilidades y variaciones sobre una porción convencional de pizza, aunque su aplicación real sea complicada para cualquier cortador, incluso los que elaboran profesionalmente este producto.

domingo, 22 de noviembre de 2015

Teorema de Thébault (II)

Sobre los lados AB y AD contiguos de un cuadrado ABCD se construyen dos triángulos equiláteros ABF y ADE exteriores al cuadrado. Entonces el triángulo CEF es también equilátero. También se cumple la propiedad si los triángulos equiláteros contiguos se construyen interiores al cuadrado.


jueves, 22 de octubre de 2015

Teorema de Thébault (I)

Si sobre los lados de un paralelogramo se construyen cuadrados externos al paralelogramo, los puntos medios de estos cuadrados determinan otro cuadrado. Es una versión con cuadrados del teorema de Napoleón.

domingo, 27 de septiembre de 2015

Procesos de Markov

En la teoría de la probabilidad, se conoce también como cadena de Márkov o modelo de Márkov a un tipo especial de proceso estocástico discreto en el que la probabilidad de que ocurra un suceso depende solamente del suceso inmediatamente anterior. Esta característica de falta de memoria recibe el nombre de propiedad de Márkov. Recibe su nombre del matemático ruso Andréi Márkov (1856-1922), que lo introdujo en 1907.
  • Cadena de Markov: proceso estocástico de tiempo discreto que para t=0,1,2,... y todos los estados verifica: $$P(X_{t+1}=i_{t+1} | X_t=i_t, X_{t-1}=i_{t-1}, ..., X_1=i_1, X_0=i_0)=$$ $$P(X_{t+1}=i_{t+1}|X_t=i_t)$$
  • Hipótesis de estabilidad (no depende de t) y probabilidad de transición: $$P(X_{t+1}=j|X_t=i)=p_{ij} $$
  • Matriz de probabilidades de transición: $$P=\begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \ldots & p_{1n}\\ p_{21} &p_{22} & \ldots & p_{2n} \\ \vdots&&&\vdots \\ p_{n1} & p_{n2} &\ldots & p_{nn}\end{bmatrix}$$
  • Se debe cumplir: $$\sum_{j=1}^{n}p_{ij}=1$$
  • Distribución inicial de probabilidad de una cadena de Markov: $$q=\left [ q_1,q_2, \cdots q_n \right ]$$ $$\ q_i=P(X_0=i)$$
  • La distribución de probabilidad en la etapa k es: $$qP^k$$
  • Si P es la matriz de transición de una cadena ergódica (existe alguna potencia positiva de la matriz de transición cuyas entradas sean todas estrictamente mayores que cero) de n estados, entonces existe un vector: $$\pi=\left [ \pi_1,\pi_2, \cdots \pi_n \right ]$$ $$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} P^n=\begin{bmatrix} \pi_1 & \pi_2 & \ldots & \pi_n\\ \pi_1 &\pi_2 & \ldots & \pi_n \\ \vdots&&&\vdots \\ \pi_1 & \pi_2 &\ldots & \pi_n\end{bmatrix}$$
  • El valor de ese vector de estabilidad se puede obtener resolviendo el sistema matricial: $$\pi=\pi P$$
  • Y con la condición siguiente que evita que el sistema sea indeterminado: $$ \pi_1+\pi_2+\cdots \pi_n=1$$

jueves, 20 de agosto de 2015

Problema de Fagnano

El triángulo DEF inscrito en el triángulo ABC que tiene un perímetro mínimo es aquel que tiene como vértices los pies de las alturas del triángulo ABC.
Resuelto analíticamente por Fagnano. Hay dos soluciones geométricas debidas a H. A. Schwartz y a L. Fejér. Veamos esta última.

En el triángulo inscrito DEF, se considera D fijo y los vértices E y F variables. Se refleja D sobre los lados AB y BC, obteniéndose los puntos D y D', que forman el triángulo isósceles D'CD'', pues CD'=CD'' y con el ang(D'CD'')=2·ang(C).

Es evidente que el triángulo inscrito DE'F' es el que tiene menor perímetro para el punto D fijo, pues DE=ED', DF=FD'', DE'=E'D' y D''F'=F'D y al estar alineados los puntos D, E', F' y D'' la distancia DE+EF+FD
Ahora se desplaza D para conseguir que el triángulo DE'F' tenga un perímetro aún menor. Como D'D''=2·CD·sen(C)  y el ángulo C es fijo, la distancia D'D'' será mínima cuando lo sea la distancia CD y esto ocurre cuando CD sea la altura del triángulo desde el vértice C.

Razonando de manera análoga con los otros puntos E y F, se deduce que el tríángulo de perímetro mínimo es el llamado triángulo órtico.