Cuadrados mágicos

 Un cuadrado mágico es una tabla en forma de matriz cuadrada donde las filas, las columnas y las diagonales principales suman el mismo valor y que recibe el nombre de constante mágica.

El cuadrado mágico más famoso es el de Alberto Durero, llamado diabólico, porque la constante mágica se puede obtener combinando 4 celdas de otras muchas formas: las 4 esquinas, las 4 centrales, las 2 centrales de la fila superior e inferior, las 2 centrales de la primera y última columna, cada uno de los subcuadrados en que se divide el cuadrado completo, etc.

Vamos a determinar la constante mágica para los cuadrados mágicos formados por números en progresión aritmética o geométrica.

La suma de los números del cuadrado mágico que están en progresión aritmética de diferencia d es:

$$S=\frac{a_1+a_m}{2}m=\frac{a_1+a_1+(m-1)d}{2}m=\frac{2a_1+(m-1)d}{2}m$$

Si el cuadrado es de tamaño n y su constante mágica es M(n):

$$m=n^2 \wedge S=n \cdot M(n)$$ 

entonces se cumple:

$$n \cdot M(n)=\frac{2a_1+(n^2-1)d}{2}n^2$$

y el valor de la constante mágica para un cuadrado de tamaño n es:

$$M(n)=\frac{2a_1+(n^2-1)d}{2}n$$

De manera análoga, si los números del cuadrado están en progresión geométrica de razón r, se tiene que:

$$M(n)=(a_1^2+r^{n^2-1})^{\frac{n}{2}}$$

Piedra, papel y tijera

Es un juego de manos que consta de tres elementos:

La piedra  gana a la tijera rompiéndola, la tijera vence al papel cortándolo y el papel trunfa sobre la piedra envolviéndola.

Matemáticamente es un juego no transitivo y según la teoría de juegos, la estrategia óptima es la elección aleatoria. Como el número de partidas es reducido, tiene mucha importancia la psicología de los jugadores.

Los jugadores dicen Piedra... Papel... y ¡Tijera! y justo al acabar muestran todos al mismo tiempo una de sus manos, de modo que puede verse la elección de cada uno.

Existe una expansión que incorpora dos nuevos elementos: Spock y lagarto, creada por Sam Kass y apareció en un capítulo de la comedia The Big Bang Theory.

ganador	acción	perdedor
tijera	decapita	lagarto
tijera	corta	papel
papel	tapa	piedra
papel	desautoriza	Spock
piedra	lapida	lagarto
piedra	aplasta	tijera
lagarto	come	papel
lagarto	envenena	Spock
Spock	vaporiza	piedra
Spock	rompe	tijera

XI Olimpiada por internet del Baix Vinalopó

Los premiados son:

1º Óscar Sánchez Rico (IES Les Dunes) 44 p.
2º Alicia León Miralles (IES Cayetano Sempere) 41 p.
3º Manuel Dieter Warnken Miralles (IES Cayetano Sempere) 30 p.
4º María Torres Pastor (IES Pedro Ibarra) 27 p.
5º Ariadna Tenza Bañón (IES Misteri d'Elx) 24 p.
6º Nadia Guilló Sempere (IES Cayetano Sempere) 23 p.

Tangentes interiores a dos circunferencias

Dadas dos circunferencias: de centro A y radio R₁ (la mayor) y de centro B y radio R₂ (la menor).
Se construye una circunferencia de centro A y radio R₁+R₂ y otra de centro C  y diámetro AB.
Estas circunferencias intersectan en los puntos D y F y se trazan las rectas que pasan por estos puntos y por el centro A.
Estas rectas, a su vez, cortan a la circunferencia de radio R₁ en los puntos E y G y trazando las perpendiculares por estos puntos a las rectas anteriores, se obtiene las rectas tangentes.

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Tangentes exteriores a dos circunferencias

Dadas dos circunferencias: de centro A y radio R₁ (la mayor) y de centro B y radio R₂ (la menor).
Se construye una circunferencia de centro A y radio R₁-R₂ y otra de centro C  y diámetro AB.
Estas circunferencias intersectan en los puntos D y E y se trazan las rectas que pasan por estos puntos y por el centro A.
Estas rectas, a su vez, cortan a la circunferencia de radio R₁ en los puntos F y G y trazando las perpendiculares por estos puntos a las rectas anteriores, se obtiene las rectas tangentes.

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Punto de Gergonne y círculo de Adams

En un triángulo se inscribe una circunferencia (su centro es el baricentro, punto de intersección de las bisectrices).
Las rectas que pasan por un vértice y el punto de tangencia del lado opuesto, se cortan en un punto llamado de Gergonne.

Los tres puntos de tangencia, de cada lado con la circunferencia, determinan un nuevo triángulo. Las rectas paralelas a los lados de este triángulo y que pasan por el punto de Gergonne, cortan a los lados del triángulo incial en seis puntos.
Además, estas rectas son perpendiculares a las bisectrices del triángulo inicial.
Estos puntos, dos en cada lado del triángulo, pertenecen una circunferencia que es concéntrica con la circunferencia inscrita en el triángulo inicial. Esta circunferencia encierra al llamado círculo de Adams.

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La cicloide (III)

La cicloide tiene la propiedad de ser tautócrona:

Si desde dos puntos, a diferentes alturas de una cicloide invertida, dejamos caer dos bolas, éstas llegan a la vez a la parte más baja a pesar de hacer recorridos diferentes.

Christiann Huygens fue el primero en descubrir esa propiedad y aplicarlo a los relojes de péndulo. Aunque se variase la amplitud del péndulo, el período de tiempo siempre sería el mismo si el recorrido de la lenteja del péndulo fuera el de una cicloide.

Situando el péndulo entre dos topes formados por medias cicloides se consigue el objetivo.

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Movimiento armónico simple (III)

Composición de dos movimientos armónicos simples (MAS) de direcciones perpendiculares.

Misma frecuencia:

Las ecuaciones son:

$$x=Asen(wt) \wedge y=Bsen(wt+\phi)$$

La resultante será:

$$\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}-\frac{2xy}{AB}cos\phi=sen^2\phi$$

Si están en fase: $$\phi=0 \rightarrow y=\frac{B}{A}x$$ Si están en oposición: $$\phi=180º \rightarrow y=-\frac{B}{A}x$$ Si están en cuadratura: $$\phi=90º \rightarrow \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1$$ Distinta frecuencia:

Las ecuaciones son:

$$x=Asen(w_1t) \wedge y=Bsen(w_2t+\phi)$$

Al ser las frecuencias diferentes, la diferencia de fase no es constante y la figura se va modificando de modo continuo, pero siempre inscrita en un rectángulo de semilados A y B.
Se obtienen curvas muy variadas según la relación de los periodos de los movimientos componentes y la diferencia de fase inicial (figuras de Lissayous).

Movimiento armónico simple (II)

Composición de dos movimientos armónicos simples (MAS) de la  misma dirección:

Misma frecuencia:

Las ecuaciones son:

$$x_1=A_1sen(wt+\phi_1) \wedge x_2=A_2sen(wt+\phi_2)$$

La resultante será:

$$x=x_1+x_2=Asen(wt+\phi)$$

Si están en fase: $$A=A_1+A_2$$ Si están en oposición: $$A=A_1-A_2$$ Distinta frecuencia:

Las ecuaciones son:

$$x_1=A_1sen(w_1t) \wedge x_2=A_2sen(w_2t)$$ $$A=A_1+A_2$$

La amplitud en general es:

 $$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos(w_1-w_2)t}$$

Movimiento armónico simple (I)

Se llama movimiento ármónico simple (MAS) el que posee un punto que se mueve a lo largo del diámetro de una circunferencia, ocupando en cada instante la proyección sobre dicho diámetro de otro punto auxiliar que recorre la circunferencia, con movimiento circular uniforme.

La elongación es:

$$x=Asen(wt+\phi)$$

Derivando, se obtiene la velocidad:

$$v=-wAcos(wt+\phi)$$

Y volviendo a derivar, se obtiene la aceleración:

$$a=-w^2Asen(wt+\phi)=-w^2x$$

Por tanto el MAS responde a esta ecuación diferencial:

$$\frac{d^2x}{d^2t}+w^2x=0$$

La amplitud y el desfase se pueden obtener de la siguiente manera:

$$A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0}{w^2}}$$

$$tg\phi=\frac{x_0w}{v_0}$$