Pitágoras por Perigal

El Teorema de Pitágoras dice que "en un  triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos":

$$a^2=b^2+c^2$$

Una comprobación (rompecabezas) del teorema se debe a Henri Perigal.

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El arbelos de Arquímedes (III)

Es una famosa figura atribuida a Arquímedes, el polifacético sabio de la la antigua grecia, llena de coincidencias y conexiones matemáticas.  

El Arbelos, también conocido como la cuchilla del zapatero, es la región comprendida entre dos semicircunferencias tangentes entre sí y una semicircunferencia tangente a ambas y de radio la suma de los radios de las primeras.

Dados paradójicos (III)

La paradoja de Steihaus-Trybula indica la posibilidad de que, dadas tres cantidades aleatorias A, B y C, ocurriera que las tres probabilidades:

$$P(A>B), P(B>C), P(C>A)$$ fueran mayor que 1/2 y por tanto no hubiera transitividad.

Si las cantidades A, B y C fuesen los tiempos de llegada de tres autobuses a una parada, sería más probable que llegase A antes que B, B llegase antes que C y C lo hiciera antes que A.

¡Sorprendente!

Dados paradójicos (II)

Disponemos de cuatro dados con sus caras numeradas de la siguiente manera:

A={0,0,4,4,4,4}, B={3,3,3,3,3,3}, C={2,2,2,2,7,7} y D={1,1,1,5,5,5}

El dado A gana al dado B, el dado B gana al dado C, el dado C gana al dado D y finalmente el dado D gana al dado A.Por tanto si un jugador elige un dado, el contrincante deberá elegir el dado que le gana. Además la proporción en todos los casos es 2:1.
Se cuenta que Warren Buffet, fan de los dados no transitivos, le dijo a Bill Gates que eligiera uno de esos dados. Bill le pidió examinarlos, y cuando los vio le dijo a Warren que eligiera primero.

¡No hay transitividad!

Dados paradójicos (I)

Disponemos de tres dados con sus caras numeradas de la siguiente manera:

A={1,5,5,5,5,7}, B={2,4,4,6,6,6} y C={3,3,3,3,8,8}.

El dado A gana al dado C y el dado B gana, también, al dado C. En apariencia el dado C es el peor de los tres dados. Sin embargo, si juegan los tres dados a la vez, otorgando la victoria al de mayor puntuación, el que tiene más probabilidad de ganar es el C.
Si trasladamos la paradoja a la llegada de autobuses, significaría que lo más probable es que A llegue antes que C, que B llegue antes que C, pero el que tiene más probabilidades de llegar primero de los tres es el C.

¡Increíble!

El arbelos de Arquímedes (II)

Es una famosa figura atribuida a Arquímedes, el polifacético sabio de la la antigua grecia, llena de coincidencias y conexiones matemáticas.  

El Arbelos, también conocido como la cuchilla del zapatero, es la región comprendida entre dos semicircunferencias tangentes entre sí y una semicircunferencia tangente a ambas y de radio la suma de los radios de las primeras.

Trigonometría: ángulos complementarios

Los ángulos suplementarios son los que suman 90º y cumplen las siguientes relaciones:

$$sen(\pi/2-\alpha)=cos(\alpha)$$ $$cos(\pi/2-\alpha)=sen(\alpha)$$ $$tg(\pi/2-\alpha)=ctg(\alpha)$$

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Trigonometría: ángulos suplementarios

Los ángulos suplementarios son los que suman 180º y cumplen las siguientes relaciones:

$$sen(\pi-\alpha)=sen(\alpha)$$ $$cos(\pi-\alpha)=-cos(\alpha)$$

$$tg(\pi-\alpha)=-tg(\alpha)$$

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Selectividad de ciencias - Curso 10/11

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, tanto de junio como de septiembre para el bachillerato de ciencias del curso 01/11.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

Selectividad de ciencias sociales - Curso 10/11

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, tanto de junio como de septiembre para el bachillerato de ciencias sociales del curso 10/11.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre