domingo, 17 de enero de 2016

¿Hay otra forma de cortar una pizza?

Si queremos dividir en 12 trozos o porciones iguales una tarta hexagonal o una pizza (necesariamente circular), la forma habitual es hacer cortes radiales. En el caso de la tarta se unen con segmentos los vértices del polígono con su centro, dando origen a 6 triángulos equiláteros y posteriormente desde el centro del polígono se trazan las alturas de cada unos de los triángulos, obteniéndose así 12 triángulos rectángulos idénticos. En el caso de la pizza se divide en 12 sectores circulares de 30 grados cada uno, que es la forma tradicional de dividir una pizza.
Matemáticos de la Universidad de Liverpool han llevado al extremo la preocupación de no pocos amantes de la pizza por compartir este popular alimento distribuyendo equitativamente las porciones.
Pero ¿y si el centro de la pizza tiene un complemento que algunas personas prefieren evitar, mientras que otros les gusta más la zona crujiente del borde?
Un estudio publicado en arXiv por Joel Haddley y Stephen Worsley explora las posibilidades y variaciones sobre una porción convencional de pizza, aunque su aplicación real sea complicada para cualquier cortador, incluso los que elaboran profesionalmente este producto.

sábado, 19 de diciembre de 2015

Paradoja de Simpson-Yule

Fue citada en 1951 por el estadístico Edward Hugh Simpson (1922-), pero anteriormente por Udny Yule (1871-1951), de ahí que se conozca también como el efecto Yule-Simpson y muestra que una tendencia que aparece en varios grupos de datos, desaparece cuando estos grupos se combinan y en su lugar aparece la tendencia contraria para los datos agregados.
En unas elecciones se presentan el Partido Progresista y el Partido Conservador en la mancomunidad formada por las localidades de Villavieja y Villanueva. La tabla recoge los votos obtenidos por cada partido en cada localidad y conjuntamente, indicando el voto femenino y masculino en cada caso.

Progresista-Conservador Mujeres Hombres Total
Villanueva 210-490 240-60 450-550
Villavieja 80-30 450-150 530-470

La nueva tabla muestra los porcentajes de voto obtenido por el Partido Progresista en cada localidad por sexos y globalmente. Se observa que el porcentaje de votos obtenidos en Villanueva es superior al obtenido en Villavieja, tanto en mujeres como en hombres, y en cambio para los datos globales es más votado en Villavieja que en Villanueva. La paradoja se produce cuando son grandes las diferencias entre los tamaños de los sectores y la diferencia entre los porcentajes de cada sector.

Porcentaje Progresista Mujeres Hombres Total
Villanueva 30% 80% 45%
Villavieja 20% 75% 53%

Matemáticamente se expresa:
$$\frac{a}{b}<\frac{A}{B} \wedge \frac{c}{d}<\frac{C}{D} \Rightarrow \frac{a+c}{b+d}>\frac{A+C}{B+D}$$
  • Basado en un artículo de Juan M.R. Parrondo en Investigación y Ciencia.

domingo, 22 de noviembre de 2015

Teorema de Thébault (II)

Sobre los lados AB y AD contiguos de un cuadrado ABCD se construyen dos triángulos equiláteros ABF y ADE exteriores al cuadrado. Entonces el triángulo CEF es también equilátero. También se cumple la propiedad si los triángulos equiláteros contiguos se construyen interiores al cuadrado.


jueves, 22 de octubre de 2015

Teorema de Thébault (I)

Si sobre los lados de un paralelogramo se construyen cuadrados externos al paralelogramo, los puntos medios de estos cuadrados determinan otro cuadrado. Es una versión con cuadrados del teorema de Napoleón.

domingo, 27 de septiembre de 2015

Procesos de Markov

En la teoría de la probabilidad, se conoce también como cadena de Márkov o modelo de Márkov a un tipo especial de proceso estocástico discreto en el que la probabilidad de que ocurra un suceso depende solamente del suceso inmediatamente anterior. Esta característica de falta de memoria recibe el nombre de propiedad de Márkov. Recibe su nombre del matemático ruso Andréi Márkov (1856-1922), que lo introdujo en 1907.
  • Cadena de Markov: proceso estocástico de tiempo discreto que para t=0,1,2,... y todos los estados verifica: $$P(X_{t+1}=i_{t+1} | X_t=i_t, X_{t-1}=i_{t-1}, ..., X_1=i_1, X_0=i_0)=$$ $$P(X_{t+1}=i_{t+1}|X_t=i_t)$$
  • Hipótesis de estabilidad (no depende de t) y probabilidad de transición: $$P(X_{t+1}=j|X_t=i)=p_{ij} $$
  • Matriz de probabilidades de transición: $$P=\begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \ldots & p_{1n}\\ p_{21} &p_{22} & \ldots & p_{2n} \\ \vdots&&&\vdots \\ p_{n1} & p_{n2} &\ldots & p_{nn}\end{bmatrix}$$
  • Se debe cumplir: $$\sum_{j=1}^{n}p_{ij}=1$$
  • Distribución inicial de probabilidad de una cadena de Markov: $$q=\left [ q_1,q_2, \cdots q_n \right ]$$ $$\ q_i=P(X_0=i)$$
  • La distribución de probabilidad en la etapa k es: $$qP^k$$
  • Si P es la matriz de transición de una cadena ergódica (existe alguna potencia positiva de la matriz de transición cuyas entradas sean todas estrictamente mayores que cero) de n estados, entonces existe un vector: $$\pi=\left [ \pi_1,\pi_2, \cdots \pi_n \right ]$$ $$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} P^n=\begin{bmatrix} \pi_1 & \pi_2 & \ldots & \pi_n\\ \pi_1 &\pi_2 & \ldots & \pi_n \\ \vdots&&&\vdots \\ \pi_1 & \pi_2 &\ldots & \pi_n\end{bmatrix}$$
  • El valor de ese vector de estabilidad se puede obtener resolviendo el sistema matricial: $$\pi=\pi P$$
  • Y con la condición siguiente que evita que el sistema sea indeterminado: $$ \pi_1+\pi_2+\cdots \pi_n=1$$

jueves, 20 de agosto de 2015

Problema de Fagnano

El triángulo DEF inscrito en el triángulo ABC que tiene un perímetro mínimo es aquel que tiene como vértices los pies de las alturas del triángulo ABC.
Resuelto analíticamente por Fagnano. Hay dos soluciones geométricas debidas a H. A. Schwartz y a L. Fejér. Veamos esta última.

En el triángulo inscrito DEF, se considera D fijo y los vértices E y F variables. Se refleja D sobre los lados AB y BC, obteniéndose los puntos D y D', que forman el triángulo isósceles D'CD'', pues CD'=CD'' y con el ang(D'CD'')=2·ang(C).

Es evidente que el triángulo inscrito DE'F' es el que tiene menor perímetro para el punto D fijo, pues DE=ED', DF=FD'', DE'=E'D' y D''F'=F'D y al estar alineados los puntos D, E', F' y D'' la distancia DE+EF+FD
Ahora se desplaza D para conseguir que el triángulo DE'F' tenga un perímetro aún menor. Como D'D''=2·CD·sen(C)  y el ángulo C es fijo, la distancia D'D'' será mínima cuando lo sea la distancia CD y esto ocurre cuando CD sea la altura del triángulo desde el vértice C.

Razonando de manera análoga con los otros puntos E y F, se deduce que el tríángulo de perímetro mínimo es el llamado triángulo órtico.

sábado, 18 de julio de 2015

Teorema de Marion

Si los puntos que trisecan los lados de un triángulo son conectados a los vértices opuestos, el hexágono resultante tiene área igual a 1/10 del área del triángulo original.

Este teorema fue descubierto por Walter Marion, profesor de la Univesidad de Oregon, utilizando el software The Geometer’s Sketchpad.

Posteriormente, un alumno americano del noveno año, Ryan Morgan, de la Patapsco High School (Baltimore, Maryland) utilizando el mismo software, descubrió que no sería necesaria la restricción del Teorema de Marion de trisecar los lados, pues podían ser divididos en n partes iguales, de las que se obtendría un polígono cuya área sería una fracción del área del triángulo original.

De esta forma, experimentó con diferentes valores de n para determinar las n secciones de cada lado del triángulo original y verificó la presencia de un patrón cuando n era impar. Usando una calculadora científica y regresión cuadrática, Ryan conjeturó que la razón general, para n impar, estaba dada por: $$\frac{9n^2-1}{8}$$

domingo, 21 de junio de 2015

Selectividad de ciencias sociales-Curso 14/15

A continuación aparecen los enunciados y soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y julio para el bachillerato de ciencias sociales del curso 14/15.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

miércoles, 17 de junio de 2015

Selectividad ciencias-Curso 14/15

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 14/15.

Enunciados y soluciones de junio
Enunciados y soluciones de julio

lunes, 11 de mayo de 2015

Teorema de Routh (II)

En un triángulo cualquiera cada lado se divide en 3 segmentos iguales y el punto origen del tercer segmento se une al vértice opuesto a ese lado. Estos segmentos se intersectan formando un triángulo interior. El área de este triángulo es 1/7 del área del triángulo incial.
Es un caso particular del Teorema de Routh:
Si en un triángulo se trazan las cevianas (segmento que une un vértice con el lado opuesto), si r, s y t son las razones entre los segmentos determinados por las cevianas en cada un de los lados, entonces se cumple:

$$\frac{Area ABC}{Area OXY}=\frac{(rst-1)^2}{(rs+t+1)(rt+s+1)(st+r+1)}$$

Se puede comprobar que se obtiene el valor 1/7 cuando r=s=t=1/3.