domingo, 29 de septiembre de 2019

Pentágono y decágono regulares

En la figura se muestran un decágono y un pentágono regulares inscritos en una circunferencia de radio unidad.
Los triángulos PQR y OPQ, al tener los ángulos iguales, son semejantes: $$\frac{x}{1-x}=\frac{1}{x} \rightarrow x^2+x-1=0 \rightarrow x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$ y el lado del decágono inscrito en una circunferencia de radio unidad tiene de valor la razón aúrea o número de oro.

Aplicando el teorema del coseno al triángulo OPS: $$y^2=1^2+1^2-2·cos(72)=2-2·cos(72)$$ Aplicando el teorema del coseno al triánguloPQR: $$x^2=x^2+(1-x)^2-2x(1-x)·cos(72) \rightarrow cos(72)=\frac{1-x}{2x}$$ Y sustituyendo el valor del cos(72) en la ecuación anterior: $$y^2=2-2\frac{1-x}{2x}=\frac{3x-1}{x}\rightarrow \frac{3\frac{\sqrt{5}-1}{2}-1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$$ $$y^2=\frac{10-2\sqrt{5}}{4} \rightarrow y=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$$ se obtiene el valor del lado del pentágono inscrito en una circunferencia de radio unidad. Si el radio no es unitario, los lados de los polígonos serán proporcionales al valor de ese radio.

Vamos a indicar el método clásico, utilizado por los griegos, para la construcción del pentágono con 'regla y compás':
  • Se trazan dos ejes perpendiculares que se cortan en O.
  • Se traza una circunferencia de radio OQ.
  • Sea P el punto medio del segmento OS.
  • Se traza una circunferencia con centro en P y radio PQ.
  • Esta circunferencia Intersecta con el eje horizontal en el punto R.
  • El segmento QR es el lado del pentágono y el segmento OR es el lado del decágono.
  • Al mover el punto Q se puede modificar el tamaño de la circunferencia y su polígono inscrito.
  • Se muestra el tamaño del radio y los lados de los respectivos polígonos.
Se puede observar la construcción 'paso a paso' y moviendo el punto Q modificar el tamaño de la figura.


Veamos que el segmento OR es el lado del decágono inscrito: $$\overline{PQ}^2=1^2+(\frac{1}{2})^2 \rightarrow \overline{PQ}=\frac{\sqrt{5}}{2}$$ $$\overline{OR}=\overline{PR}-\overline{OP}=\overline{PQ}-\overline{OP}=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\phi$$ Veamos que el segmento QR es el lado del pentágono inscrito: $$\overline{QR}^2=\overline{OR}^2+\overline{OQ}^2=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2+1^2 \rightarrow \overline{QR}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$$

jueves, 29 de agosto de 2019

Modelo de población de Leslie


Cuando la variación de una población se realiza en función del tiempo, obtenemos un proceso (continuo o discreto) que recibe el nombre de dinámica de la población. El objetivo de la dinámica de poblaciones es estudiar los cambios numéricos que sufren las poblaciones, determinar sus causas, predecir su comportamiento y analizar sus consecuencias. Vamos a presentar el modelo de dinámica de Leslie, en honor del autor del método, el fisiólogo Patrick Holt Leslie (1900-1974).
Parece claro que a tasa de mortalidad será mayor entre los individuos de mayor edad que entre los más jóvenes. Asimismo a tasa de fecundidad depende también de la edad. Con carácter general, podemos suponer que la población consiste enteramente de hembras. En realidad, para la mayoría de las especies la cantidad de machos es prácticamente la misma que la de hembras. Por otra parte, en lo que respecta a las cuestiones reproductivas, el papel determinante es jugado por las hembras y no por los machos. Vamos a plantear un modelo en el que se tienen en cuenta características particulares de cada uno de los individuos. Según estas características los agruparemos en clases que sean homogéneas a efectos reproductivos y de supervivencia.


Supongamos que la edad máxima alcanzada por una hembra de una población sea L años y que esta población la dividimos en n clases de edades. Cada clase, es evidente que tendrá L/n años de duración. Por lo tanto las clases serán:
$$[ 0\frac{L}{n}), [\frac{L}{n},\frac{2L}{n}),\cdots, [\frac{(n-1)L}{n},L) $$
Supongamos que en el momento inicial (t = 0) conocemos el número de hembras que hay en cada uno de los intervalos. Llamamos xi(0) al número de hembras existentes en el intervalo i-ésimo en el momento inicial. Podemos construir el vector de la distribución inicial de las edades: 
$$x(0)=(x_1(0),x_2(0), \cdots x_n(0))$$
Al pasar el tiempo, por causas biológicas (nacimientos, envejecimiento, muertes), el número de hembras que hay en cada una de las clases se va modificando. Lo que pretendemos es ver como evoluciona el vector x(0) de distribución inicial con el tiempo. La manera más fácil de proceder, para estudiar el proceso de envejecimiento es hacer observaciones de la población en tiempos discretos haciendo que la duración entre dos tiempos consecutivos de observación sea igual a la duración de los intervalos de edad:
$$ t_0=0, t_1=\frac{L}{n}, t_2=\frac{2L}{n}\cdots , t_k=\frac{kL}{n}, \cdots$$
Bajo esta hipótesis todas las hembras de la clase i+1 en el tiempo tk+1, estaban en la clase i en el tiempo tk (suponiendo que no existen muertes ni nacimientos). Se designa:
  • ai es el promedio de hijas que tiene una hembra mientras permanece en la clase i. Tiene que haber al menos un ai>0, es decir, una clase fértil.
  • bes la fracción de hembras de la clase i que sobreviven y pasan a la clase i+1. El valor de bi no puede ser cero, salvo en la última clase, pues entonces nadie sobreviviría a su clase. 
El vector general de distribución de edades para un tiempo tk es: $$x(k)=(x_1(k),x_2(k),\cdots,x_n(k))$$ El número de hembras en la primera clase en una etapa dada, dependerá de las nacidas en la etapa anterior:
$$x_1(k)=a_1x_1(k-1)+a_2x_2(k-1)+\cdots a_nx_n(k-1)$$ El número de hembras en la clase i+1 en una etapa dada será el número de supervivientes de la clase anterior: $$x_{i+1}(k)=b_ix_i(k-1)$$
Vectorialmente se expresará: $$x(k)=Lx(k-1)$$ siendo L la matriz de Leslie: $$L=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_{n-1} & a_{n-1} \\ b_1 &0 & \ldots & 0 & 0\\ 0 &b_2 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots&\vdots&\vdots&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & b_{n-1}& 0\end{bmatrix}$$
De donde se deduce: $$x(k)=L^kx(0)$$ y por tanto conocida la distribución inicial y la matriz de Leslie se puede conocer la distribución de la población en cualquier etapa.

En la matriz de Leslie se obtiene un único valor propio positivo si hay al menos dos clases consecutivas fértiles (sucederá siempre que se consideren los intervalos suficientemente pequeños). El autovalor o valor propio debe cumplir:
$$Lv_1=\lambda_1 v_1$$ Para ese valor propio, se puede obtener su vector propio asociado:
$$v_1=(1,\frac{b_1}{\lambda_1},\frac{b_1b_2}{\lambda_1^2},\frac{b_1b_2b_3}{\lambda_1^3},\cdots,\frac{b_1b_2b_3\cdots b_{n-1}}{\lambda_1^{n-1}})$$  ¿Cuál será el comportamiento de la población a largo plazo? Se cumplirá: $$x(k)\simeq\lambda_1^k x(0)\rightarrow x(k)\simeq\lambda_1 x(k-1)$$
  • Cada distribución es proporcional a la distribución anterior, siendo esa constante el valor propio positivo de la matriz de Leslie.
  • La proporción de hembras en cada clase se mantiene constante según el vector propio.
  • La población a largo plazo:
    • Crece si el valor propio es mayor que uno.
    • La población decrece si el valor propio es menor que uno.
    • La población se estabiliza si el valor propio es uno.
Veamos un ejemplo: $$L=\begin{bmatrix} 0 & 4 & 3\\ \frac{1}{2} &0 & 0\\ 0 & \frac{1}{4} & 0\end{bmatrix}$$ Se calcula el valor propio: $$|L-\lambda I|=0 \rightarrow \lambda^3-2\lambda- \frac{3}{8}=0 \rightarrow \lambda_1=\frac{3}{2}$$ Se obtiene el vector propio: $$v_1=(1,\frac{b_1}{\lambda_1},\frac{b_1b_2}{\lambda^2})=(1,\frac{1}{3},\frac{1}{18})$$ El porcentaje de aumento de la población en cada etapa tiende a estabilizarse en un 50%: $$x(k)\simeq\frac{3}{2}x(k-1)$$ La proporción de hembras en cada clase se estabiliza en los porcentajes dados por el vector propio: $$x(k)\simeq (\frac{3}{2})^k(1,\frac{1}{3},\frac{1}{18})=(\frac{3}{2})^k(72\%,24\%,4\%)$$
Descargar .XLS
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Con las flechas se elige la población inicial en cada  clase de edad.
  • Con las flechas se elige el número de descendientes en cada  clase de edad.
  • Con las flechas se elige la tasa de supervivencia en las dos primeras clases de edad.
  • Con la flecha se elige el período temporal de cada etapa.
  • Se observa numéricamente la evolución de la distribución de clases.
  • Se observa numéricamente la evolución del crecimiento de las clases.
  • Se muestra la gráfica de la evolución de la distribución de clases.
  • Se muestra gráficamente la evolución del crecimiento de las clases.

martes, 9 de julio de 2019

Selectividad ciencias sociales-Curso 18/19

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 16/17.

Enunciados y soluciones de junio
Enunciados y soluciones de julio

lunes, 8 de julio de 2019

Selectividad ciencias-Curso 18/19

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 18/19.

Enunciados y soluciones de junio
Enunciados y soluciones de julio

martes, 28 de mayo de 2019

Aritmética Lunar (II)

En la Aritmética Lunar también se pueden construir cuadrados mágicos: la suma de cada fila, de cada columna y de las dos diagonales deben valer lo mismo.

El cuadrado mágico que se muestra es el más pequeño posible en cualquier base mayor que 2.
También se puede obtener un cuadrado mágico en base 2:
Un número lunar m se dice que domina a un número lunar si los dígitos de m son mayores que los dígitos correspondientes de n. Esto es equivalente a que m+n=m. Por ejemplo 375 domina a 172. Si B es la base de numeración, se indica de la forma siguiente:
$$m \gg_B n, 375\gg_B 172 $$
En los dos cuadrados mágicos, se observa, que hay una entrada que domina a todas las demás (22 y 1111). Se observa que si una entrada domina a todas las demás, su valor debe coincidir con las sumas del cuadrado mágico.

¿Hay cuadrados mágicos en los que la entrada mayor no coincide con el valor de las sumas?. La respuesta es sí y se muestra en el cuadrado mágico de la izquierda donde la mayor entrada es 43 y las sumas son 44.

Además como en la suma de la la Aritmética Lunar no hay 'acarreos', cualquier cuadrado formado por un subconjunto de dígitos de un cuadrado mágico también lo es, como se observa en el cuadrado mágico de la derecha formado únicamente por las decenas del anterior.
Por tanto, cualquier cuadrado mágico se puede representar como suma de cuadrados mágicos como se muestra a continuación.
Los dos primeros cuadrados mágicos representan los únicos casos de entradas mínimas usando un único dígito (no se consideran las rotaciones y reflexiones). El de la derecha no se considera como tal pues si se elimina una entrada (poner 0) sigue siendo mágico, cosa que no ocurre con los otros dos.
También se pueden formar cuadrados mágicos de potencias. El cuadrado mágico de la derecha parece ser el más pequeño posible. El primero tiene como sumas 48·48=448 y el segundo 24·24=224, es decir, que las sumas  en ambos cuadrados mágicos son también potencia de 2.

Si un número a tiene las cifras  en orden creciente de izquierda a derecha: $$a=a_k\dots_1a_0 \wedge a_{i+1} \leq a_i$$ entonces la potencia de orden n del número a se obtiene repitiendo n veces cada cifra excepto la última: $$a^n=\overbrace{a_ka_k\dots a_k} \dots \overbrace{a_1 a_1\dots a_1}a_0$$ En el cuadrado mágico siguiente se ha aplicado este método para la tercera potencia:
Vemos que la potencia obtenida es también un cuadrado mágico. Cualquier potencia dará un cuadrado mágico y por tanto existirán infinitos cuadrados mágicos de esas potencias. Existen otras familias de potencias como la que se muestra a continuación:

El siguiente es un cuadrado mágico de cuadrados en base 2. Su sumas son 1001·1001 y es el más pequeño posible en dicha base:
El siguiente cuadrado mágico de cuadrados no da una suma que sea a su vez un cuadrado, como en los casos anteriores. Las sumas valen 439 que además es un número primo lunar.
Existen cuadrados mágicos de cuadrados cuya suma es también un cuadrado mágico de cuadrados. Forman tripletas pitagóricas y en estos cuadrados se muestran nueve. Cumplen el Teorema de Pitágoras en la Aritmética Lunar.

viernes, 26 de abril de 2019

Aritmética Lunar (I)

Marc LeBrun introdujo la llamada Aritmética Lunar, antes conocida como Aritmética `triste' (`Dismal' Arithmetic). En esta Aritmética sólo se puede sumar y multiplicar. 

La regla para sumar dos dígitos es: $$a+b=max(a,b)$$ La regla para multiplicar dos dígitos es: $$a \times b=min(a,b)$$ A continuación se muestra el resultado de un par de sumas y multiplicaciones:
El resultado de los cuadrados de los primeros números es:
Se sabe que un número primo es aquel que sólo puede obtenerse como producto de sí mismo por el elemento unidad (el uno). Pero en esta aritmética el elemento unidad es el nueve. En las multiplicaciones siguientes se observa que ni el 1 ni el 7 pueden ser el elemento unidad. Sin embargo se ve que cualquier número multiplicado por el 9 da de resultado ese número.
A continuación se muestran los primeros números primos:
Vamos a probar que el número 109 es primo. Supongamos que no lo es, entonces deberá expresarse como producto de dos números ab y cd. El dígito a (o el c) debe valer 1 para poder conseguir que el producto empiece por 1. Además los dígitos b y d deben valer 9 para que el producto termine en 9. Al terminar la multiplicación se observa que c debería valer 0, pero eso obliga a que el producto no empiece por 1. Por contradicción se concluye que el número 109 es primo.
 
Existen infinitos números primos en la Aritmética Lunar. Para saber más cosas de los primos lunares en La Enciclopedia de Secuencias de Enteros.

martes, 26 de marzo de 2019

Karen Uhlenbeck, Premio Abel 2019

La estadounidense Karen Uhlenbeck, de 76 años, se convirtió el martes pasado, Día Internacional de la Mujer, en la primera mujer en ganar el premio Abel de Matemáticas, un galardón que otorga la Academia Noruega de Ciencias y Letras, creado en 2002 con el objetivo de compensar la ausencia de un Nobel en esta rama de la ciencia. Ha sido un espaldarazo para la ciencia en general y en particular para las miles de mujeres que investigan sobre distintos aspectos de la realidad.

“Karen Uhlenbeck recibe el Premio Abel 2019 por su trabajo fundamental sobre análisis geométrico y teoría gauge, que ha transformado drásticamente el paisaje matemático”, indicó en un comunicado el presidente del comité Abel, Hans Munthe-Kaas. “Sus teorías han revolucionado nuestro modo de entender las superficies mínimas, como la formada por las burbujas de jabón, y los problemas de minimización generales en dimensiones más altas”, añadió la institución noruega en el escrito.


Su trabajo ha sido descrito como uno de los más importantes en Matemáticas del siglo XX. “Soy matemática. Los matemáticos hacen una investigación exótica, por lo que es difícil describir exactamente lo que hago en términos sencillos. Trabajo con ecuaciones diferenciales parciales que originalmente se derivaron de la necesidad de describir cosas como el electromagnetismo, pero han sufrido un siglo de cambios en el que se utilizan de una manera mucho más técnica para observar las formas del espacio”, explicó ella misma en su autobiografía.

Sus compañeros y compañeras no sólo destacan su capacidad, sino que la definen como una fuente de inspiración. “Es una maestra inspiradora y una mentora dedicada a miles de estudiantes, motivándolos a alcanzar grandes alturas en sus vidas académicas y profesionales. El Premio Abel es el honor más alto en Matemáticas, y es uno de los que la profesora Uhlenbeck se merece”, comentó el presidente de la Academia Noruega de Ciencias y Letras, Gregory L. Fenves.

La laureada dama es profesora emérita en la Universidad de Texas en Austin. También es docente de investigación invitada en la Universidad de Princeton y profesora asociada del Instituto de Estudios Avanzados (Institute for Advanced Study, IAS), de la Universidad de Princeton, en Estados Unidos.

Para Paul Goldbart, decano de la Facultad de Ciencias Naturales y profesor de Física en la Universidad de Texas en Austin, la “revolución” causada por los avances de la científica se dio “en la intersección de las Matemáticas y la Física”. Y añadió: “Sus ideas pioneras tienen aplicaciones en una variedad de temas fascinantes, desde la teoría de cuerdas, que pueden ayudar a explicar la naturaleza de la realidad, a la geometría del espacio-tiempo”.

Nacida en Cleveland (Ohio), “desarrolló técnicas y métodos de análisis global que están actualmente en la caja de herramientas de todo geómetra y analista”, indicó la Academia Noruega de Ciencias y Letras. Graduada en la Universidad de Michigan, se doctoró en la de Brandeis, pero fue en la de Chicago, en la década de 1980, donde se convirtió en un referente internacional. En 1983 recibió una beca MacArthur. En 1986 la eligieron para integrar la Academia Nacional de Ciencias de EEUU, y en 2000 se hizo acreedora a la Medalla Nacional de la Ciencia. En 2007 recibió el Premio Steele por una contribución seminal a la investigación de la American Mathematical Society.

Sus intereses matemáticos incluyen las ecuaciones en derivadas parciales no lineales, las teorías gauge, topológica cuántica de campos y de Morse, e inició el tratamiento analítico de la geometría diferencial. Yau y Karen Uhlenbeck probaron la existencia y unicidad de métricas Hermiticas–Einstein (o equivalentemente conexiones Yang–Mills Hermíticas) para fibrados estables sobre variedades Kähler compactas, extendiendo un resultado de Donaldson para superficies algebraicas proyectivas, y de M.S. Narasimhan y C.S. Seshadri para curvas algebraicas. Los resultados y los métodos utilizados en ese artículo han sido muy influyentes en geometría algebraica y teoría de curvas. Este resultado se denomina ahora Teorema de Donaldson–Uhlenbeck–Yau.


El nombre de pila de la laureada es Karen Keskulla, pero adoptó el apellido de su primer marido, el bioquímico estadounidense Olke Uhlenbeck, del que después de divorció. Su relación le dejó huellas que ella recuerda en sus testimonios. “Los padres de mi primer marido eran viejos intelectuales europeos y mi suegro era un físico famoso -el holandés George Uhlenbeck-. Fueron muy influyentes para mí. Tenían una actitud ante la vida diferente de la de los estadounidenses. Recuerdo a mi suegra leyendo a Proust en francés y dándome la versión en inglés”, ha escrito la investigadora: “Mis suegros valoraban el mundo intelectual de una manera que mis padres no hacían: mis padres valoraban las cosas intelectuales, pero creían que ganar dinero era más importante”.

También es una activista en favor de la igualdad de sexos en las ciencias y las matemáticas. Ella misma contó las dificultades que tuvo de joven para avanzar en el mundo de las matemáticas. “Cuando buscaba trabajo me dijeron que las personas no contrataban mujeres. Que debía ir a casa y tener bebés. Así que los lugares interesados en mi esposo - el biofísico Olke C. Uhlenbeck, del que luego se separó-, no estaban interesados en contratarme. Recuerdo que me dijeron que había reglas del nepotismo y que no podían contratarme por este motivo”.


Esta distinción, que lleva el nombre del matemático noruego Niels Henrik Abel, quien murió prematuramente a los 27 años en 1829, cuenta con un premio de 6 millones de coronas (620.000 euros o 703.517 dólares) y es uno de las más prestigiosas condecoraciones en el mundo en Matemáticas junto a la medalla Fields, que se otorga cada cuatro años. Este galardón, que se había entregado a 19 hombres hasta ahora, es considerado el “Nobel” de las Matemáticas.

Décadas después de aquellos rechazos, la norteamericana se ha convertido en la primera mujer que recibe el premio Abel, creado en 2002 por el gobierno noruego con el objetivo de compensar la ausencia de un Nobel de Matemáticas. El rey de Noruega, Harald V, realizará la entrega del galardón el 21 de mayo, en una ceremonia a realizarse en la ciudad de Oslo.

martes, 26 de febrero de 2019

Los círculos gemelos del arbelos (II)

En Septiembre de 2014, Floor van Lamoen publicó su descubrimiento de un par de gemelos arquimedianos (círculos iguales construidos en un arbelos).

Sea el arbelos con un semicírculo de diámetro AB, mientras el punto C, móvil en AB, define dos semicírculos más pequeños de centros O1 y O2 en AC y CB respectivamente. Se trazan las perpendiculares a AB desde O1 y O2 que intersectan con el semícírculo mayor en D y E respectivamente. Los segmentos DA y DC intersectan con el semicírculo de centro O1 en F y G, respectivamente. Este segmento es el diámetro de un círculo arquimediano. De forma análoga se obtiene el segmento HK al intersectar EC y EB con el semicírculo de centro O2. Pues bien, este nuevo círculo arquimediano es 'gemelo' del obtenido anteriormente.

Se pueden mover los puntos A y B para modificar el segmento AB. Así mismo, al desplazar sobre ese segmento el punto C, se comprueba la igualdad de los círculos del arbelos. Desactivando el botón 'construcción' el arbelos toma el aspecto de un buho. Se puede observar la construcción 'paso a paso'.

miércoles, 2 de enero de 2019

Los círculos gemelos del arbelos (I)

En un arbelos hay dos círculos 'gemelos' que son tangentes al semicírculo mayor, a un semicírculo menor y al segmento vertical que divide al semicírculo mayor y es tangente a los semicírculos menores.

Sea el arbelos, construido sobre el segmento AB, de medidas:
$$ AB=1 \wedge AC=r, \rightarrow BC=1-r$$
Los radios de los círculos gemelos miden: $$ R=\frac{1}{2}r(1-r)$$
Observando la figura y aplicando el teorema de Pitágoras en los triángulos DFG y HEK se obtiene: $$DG=\frac{1}{2}r+R   \wedge  DF=\frac{1}{2}r-R \rightarrow GF=\sqrt{2rR}$$ $$KE=\frac{1}{2}(1-r)+R \wedge  HE=\frac{1}{2}(1-r)-R \rightarrow KH=\sqrt{2(1-r)R}$$
El punto G, centro de un círculo gemelo, tiene de coordenadas:
$$x_1=r-R=\frac{1}{2}r(1+r) \wedge y_1=\sqrt{2rR}=r\sqrt{1-r}$$
El punto K, centro del otro círculo gemelo, tiene de coordenadas:
$$x_2=r+R=\frac{1}{2}r(3-r) \wedge y_2=\sqrt{2(1-r)R}=(1-r)\sqrt{r}$$
Se pueden mover los puntos A y B para modificar el segmento AB. Así mismo, al desplazar sobre ese segmento el punto C, se comprueba la igualdad de los círculos del arbelos. Se puede observar la construcción 'paso a paso'.

lunes, 26 de noviembre de 2018

Algoritmo de Moessner

El algoritmo, propuesto por el matemático Alfred Moessner en 1951 (aunque el resultado sería demostrado por Oskar Perrone al año siguiente), permite obtener las sucesiones de potencias de números naturales (como por ejemplo, la sucesión de los cuadrados, 1, 4, 9, 16, 25,…) a partir de la sencilla sucesión de los números naturales (1, 2, 3, 4, 5,...). Este método, de gran belleza, aparece en el libro The book of numbers de los matemáticos John H. Conway y Richard K. Guy.

En la serie de los números naturales eliminamos los múltiplos de 2 (dejamos un número y eliminamos el siguiente), y con los números resultantes se hacen las sumas acumulativas, obteniendo los cuadrados de los números naturales.
Ahora eliminamos los múltiplos de 3 (dejamos dos números y eliminamos el siguiente). Con los números resultantes dejamos uno y eliminamos el siguiente. Finalmente, con los números resultantes se hacen las sumas acumulativas, obteniendo los cubos de los números naturales.
Ahora eliminamos los múltiplos de 4 (dejamos tres números y eliminamos el siguiente). Con los números resultantes dejamos dos y eliminamos el siguiente.Con los números resultantes dejamos uno y eliminamos el siguiente. Finalmente, con los números resultantes se hacen las sumas acumulativas, obteniendo las cuartas potencias de los números naturales. Y así sucesivamente...
Sin embargo, este tipo de construcción se puede aplicar a situaciones más generales aún. Por ejemplo, ¿qué ocurriría, en la construcción de Moessner, si en lugar de mantener fija la distancia entre los números eliminados, se fuese incrementando dicha distancia. Un primer caso podría ser que se incremente en una posición la distancia anterior entre los números eliminados. En este caso obtendríamos los factoriales de los números naturales.