martes, 30 de enero de 2024

Teorema de Conway

Sea un triángulo cualquiera ABC con incentro O y cuya circunferencia inscrita es tangente a los lados en Q, R y S. Los segmentos del mismo color son iguales: CR=CQ (azul ), AS=AR (verde) y BS=BQ (rojo) por construcción.
  • Se prolonga el segmento AB hasta F, siendo AF=AP (azul)+PF (rojo).
  • Se prolonga el segmento AB hasta I, siendo BG=BL (verde)+LI (azul).
  • Se prolonga el segmento BC hasta H, siendo BH=BK (verde)+KH (azul).
  • Se prolonga el segmento BC hasta D, siendo CD=CN (rojo)+ND (verde).
  • Se prolonga el segmento CA hasta G, siendo AG=AJ (azul)+JG (rojo).
  • Se prolonga el segmento CA hasta E, siendo CE=CM (rojo)+ME (verde).
Se observa que los siguientes segmentos son iguales por estar formados por tres subsegmentos de diferente color:
  • SF=AS (verde)+AP (azul)+PS (rojo)
  • SI=SB (rojo)+BL (verde)+LI (azul)
  • QD=QC (azul)+CN (rojo)+ND (verde)
  • QH=QB(rojo)+BK (verde)+KH (azul)
  • RE=RC (azul)+CM (rojo)+ME (verde)
  • RG=RA (verde)+AJ (azul)+JG (rojo)
Los triángulos OSF, OSI, ORG, ORE, OQD y OQH son rectángulos y como tienen los mismos catetos, también tienen la misma hipotenusa que es el radio de la circunferencia que pasa por los puntos D, E, F, G H e I. Estos puntos cumplen las condiciones que impone el teorema de Conway (longitudes prolongadas de los lados desde un vértice iguales a la longitud del lado opuesto). Queda probado el teorema de Conway y además que el centro de esa circunferencia es el incentro del triángulo.



  • Se pueden mover los vértices del triángulo.
  • Se puede ver la construcción 'paso a paso'.
Generalización del teorema (Francisco Javier García Capitán):

En el triángulo ABC se sitúa en su interior un punto arbitrario D . Se traza la recta que pasa por el lado AB y su paralela por el vértice opuesto C. Se traza el segmento que pasa por A y D y que corta  en E y el segmento que pasa por B y D que corta en F. Se traza el segmento paralelo al lado AC desde F que corta en G y el segmento paralelo al lado BC que corta en H. Los puntos G y H son dos de los seis puntos buscados. Repitiendo, de forma análoga el proceso, a partir de los lados BC y AC respectivamente se obtendrían los cuatro puntos restantes. Por estos seis puntos pasa una elipse que se convierte en cÍrculo cuando el punto variable D coincide con el incentro del triángulo.
  • Se pueden mover los vértices del triángulo.
  • Se puede desplazar el punto hueco y al situarlo sobre el incentro se obtiene una circunferencia.

jueves, 30 de noviembre de 2023

Dados no transitivos (III)

Se pueden construir dados no transitivos utilizando los sólidos platónicos. El hexaedro o cubo está representado por el 'Efron Dice'. Para el tetraedro se tiene el 'Tiggermann Dice' que se muestra en la figura.
Se puede extender el 'Tiggermann Dice' para el tetraedro al octaedro, simplemente repitiendo los valores de las caras: $$1,1,4,4,4,4,4,4$$ $$3,3,3,3,3,3,6,6$$ $$2,2,2,2,5,5,5,5$$ Nicholas Pasciuto propone otra numeración de las caras y le llama 'Nichlman Dice' formado por las primeras letras de su nombre y las últimas del apellido de su mentor el Dr. Ward Heilman.
Para el dodecaedro existen varios conjuntos de dados. Uno de ellos es ampliar para cuatro caras más 'Timmermann Dice'. Otra opción es el conjunto de dados 'Schward Dice'
$$0,0,0,0,0,16,16,17,17,17,17,17$$ $$5,5,5,5,14,14,14,14,18,18,18,18$$ $$6,6,6,12,12,12,19,1,9,19,19,19,19$$ $$3,3,11,11,11,11,11,20,20,20,20,20$$ $$15,15,15,15,15,15,15,15,15,15,15,15$$ 
Michael Winkleman inventó un nuevo conjunto no transitivo de sólo tres dados que llamó 'Miwin's Dodecahedral Dice'.
Finalmente para el icosadero se puede expandir el 'Timmermann Dice'. Otra posibilidad, no reversible con dos dados, es el conjunto 'Pascanell Dice'.

miércoles, 11 de octubre de 2023

Teorema de Mickey Mouse

Sean los círculos (A) y (B) tangentes exteriores al círculo (C) con los puntos de tangencia F y G, respectivamente. Sean D y E los puntos de tangencia de la recta tangente a ambos círculos, repsectivamente. Si la recta que pasa por D y F se corta con la recta que pasa por E y G en el punto E, entonces ese punto pertenece al círculo (C) y la recta tangente en ese punto es paralela a la recta que pasa por D y E.
DEMOSTRACIÓN

Para la demostración sólo se necesitan los círculos de centros A y C. La prolongación del segmento DF corta al círculo de centro C en el punto H. Los triángulos ADF y CFH son isósceles porque dos de sus lados son radios de los círculos respectivos. Como los ángulos AFD y CFH son iguales, al ser opuestos por el vértice, también son iguales a los ángulos ADF y CHF. Por tanto AD es paralelo a CH, y ya que AD es perpendicular a la tangente al círculo (A) en D, también es verdad para CH. Pero CH es también perpendicular a la tangente al círculo (C) en H. Por tanto ambas tangentes son paralelas.

Podemos decir que H se encuentra en la perpendicular a la tangente en D a través de (C). Dado que originalmente (A) y (B) comparten esa tangente DE, EG necesariamente pasa por H, de modo que las prolongaciones de CA y DB se encuentran en el círculo (C).

De la prueba anterior queda claro que la presencia de dos 'orejas' de Mickey Mouse en el teorema, aunque divertida, no es esencial. El resultado básico solo trata con un círculo (O1), mientras que la afirmación sigue siendo válida para cualquier número de círculos (O2), (O3),…, simultáneamente tangentes a (O) y a una tangente seleccionada a (O1).



  • Se puede modificar el tamaño y la posición del círculo grande moviendo los puntos C e I.
  • Se puede cambiar el tamaño de los círculos pequeños moviendo los puntos A y B.
  • Se pueden desplazar los círculos tangentes sobre el círculo grande moviendo los puntos F y G.
  • Se puede ver a Mickey Mouse pulsando en el botón.
  • martes, 29 de agosto de 2023

    Dados no transitivos (II)

    La idea de los dados no transitivos existe desde principios de la década de 1970. Aquí hay otro famoso juego con cuatro dados no transitivos conocido como 'Efron Dice' e inventado por el estadístico estadounidense Brad Efron (1938-).
    En la imagen se muestra el diagrama de árbol donde el dado azul gana al dado naranja y el grafo que muestra que el juego no es trasitivo.
    $$p(R>V)=p(3)·p(2)=1·\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$$ $$p(V>A)=p(2)·p(1)+p(6)=\frac{2}{3}·\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$ $$p(A>N)=p(1)·p(0)+p(5)=\frac{1}{2}·\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$$ $$p(N>R)=p(4)=\frac{2}{3}$$
    Vemos que dado rojo gana al verde, el verde al azul, el azul al naranja y el naranja al rojo y todos con las misma probabilidad 2/3. Si nos fijamos en los dados opuestos en el grafo, se puede comprobar que el dado verde gana al dado naranja con probabilidad 5/9 pero los dados rojo y azul tienen la misma probabilidad de ganar. Se dice que el exitoso inversor estadounidense Warren Buffett es fanático de dados no transitivos. Cuando desafió a su amigo Bill Gates con un juego de dados Efron, Bill comenzó a sospechar e insistió para que Warren eligiera primero.

    Otro conjunto de cinco dados no transitivos conocido como 'Grime dice' fue creado por el matemático James Grime (1980-) que colabora en la plataforma de videos de divulgación matemática Numberphile .
    $$p(R>V)=p(2)·p(1)+p(7)=\frac{1}{2}·\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$$ $$p(V>A)=p(1)·p(0)+p(6)=\frac{1}{3}·\frac{1}{6}+\frac{2}{3}=\frac{13}{18}$$ $$p(A>N)=p(5)·p(4)=\frac{5}{6}·\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$$ $$p(N>M)=p(4)·p(3)+p(9)=\frac{5}{6}·\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{13}{18}$$ $$p(M>R)=p(3)·p(2)+p(8)=\frac{2}{3}·\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$
    En la imagen el grafo de la izquierda muestra el ciclo, indicando que el juego no es transitivo, y el grafo de la derecha muestra un ciclo alternativo.
    $$p(N>R)=p(R>A)=\frac{7}{12}$$ $$p(A>M)=p(M>V)=p(V>N)=\frac{5}{9}$$ La primera 'cadena' de dados es más fuerte que la segunda. En el primer caso la probabilidad media de ganar es más del 69% mientras en el segundo caso no llega al 57%.
    Unos dados curiosos llevan en sus caras los siguientes números: 0, 1, pi, la constante de Euler, la proporción áurea y el conjugado de la proporción áurea.
    ¿Estos dados forman un conjunto no transitivo? Con dos dados, ¿el orden se invierte como antes?

    domingo, 25 de junio de 2023

    Selectividad Ciencias-Curso 2022-2023

    A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 22/23.

    Enunciados y soluciones de junio
    Enunciados y soluciones de julio