viernes, 14 de febrero de 2020

Apuestas: La estrategia de Kelly

Sea un juego de apuesta donde la probabilidad p de ganar es superior al 50%. La estrategia consiste en apostar cada vez una fracción fija x de la fortuna disponible en cada apuesta.
Un jugador codicioso, como el juego es favorable, apostará un fracción alta de su fortuna y ganará a menudo pero cuando pierda se resentirá mucho su fortuna. En el caso extremo de apostarlo todo cada vez, irá duplicando su fortuna pero terminará en alguna jugada arruinado. En cambio, un jugador temeroso apostará una pequeña fracción y su fortuna aumentará pero muy lentamente.

¿Qué fracción se debe apostar?
La que haga que la tasa de crecimiento de la fortuna sea máxima

Si se apuesta una fracción x, se tiene 1+x si se gana y 1-x si se pierde. Después de N jugadas se ha ganado en M y se ha perdido en N-M. Si F es la fortuna inicial, después de las N jugadas, la ganancia G será:
$$G=(1+x)^M(1-x)^{N-M}F$$
Tomando logaritmos se tiene:
$$ln\left(\frac{G}{F}\right)=M·ln(1+x)+(N-M)·ln(1-x)$$
Se divide por N ambos términos:
$$\frac{1}{N}· ln\left(\frac{G}{F}\right)=\frac{M}{N}·ln(1+x)+\frac{N-M}{N}·ln(1-x)$$
El término de la izquierda representa la tasa media de crecimiento (TMC) de cada apuesta que queremos sea máxima.  Además las fracciones de porcentaje de aciertos y de pérdidas, cuando el número de apuestas crece, tienden a sus respectivas probabilidades:
$$\frac{M}{N} \rightarrow p \wedge \frac{N-M}{N} \rightarrow 1-p$$
Por tanto:
$$TMC=p·ln(1+x)+(1-p)·ln(1-x)$$

Derivando la expresión e igualando a cero para buscar el máximo, se obtiene:
$$x=2p-1=p-(1-p)$$

Estrategia de Kelly: En un juego favorable con ganancias de igual cuantía que las apuestas, la fracción de fortuna que debe apostarse es igual a la magnitud de la ventaja.

Por ejemplo si p=0.52, 1-p=0.48 y se debe apostar la diferencia 0.52-0.48=0.04 para que la tasa media de crecimiento a largo plazo sea máxima. Apostar, cada vez, el 4% de la fortuna disponible supone una tasa del 0.0008 en cada jugada. Después de N jugadas la ganancia esperada será 1.0008^N, aunque este promedio estará sujeto a grandes fluctuaciones, pues se perderá y ganará varias veces seguidas.
Descargar .XLS
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • El botón serie permite generar 100 apuestas sucesivas.
  • La gráfica muestra la serie partiendo de un valor inicial 100.
  • Con las flechas se elige la probabilidad de éxito de la apuesta.
  • Con las flechas se elige el porcentaje del saldo que se apuesta.
  • Con las flechas se ve la ganancia en una apuesta dada y el saldo hasta ese instante.
  • Se muestran la ganancia y la tasa de ganancia media teóricas.

jueves, 16 de enero de 2020

Matemagia (II)

Vamos a mostrar dos propuestas mágicas basados en los números primos.
  • PROPUESTA I: En una mesa coloca en círculo y boca abajo, 13 cartas. Elige una de ellas y la vuelves a poner boca abajo. A partir de esa carta y en el sentido de las agujas del reloj cuenta hasta llegar a la carta 8 y la volteas. A partir de esa carta repite el proceso volteando las cartas, sucesivamente, hasta que falte una que será la que has elegido. No importa al contar que estén del anverso o del reverso.

¡Los dos números han de ser primos entre sí: mcd(13,8)=1!

EXPLICACIÓN:
Sea n es el número de cartas en círculo y p el número pensado para contar con la condición de que mcd(n,p)=1. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que la  carta elegida está en posición 0.  A partir de la siguiente, contamos p cartas y se voltea. A partir de ella se cuentan otras p cartas (hemos contado ya 2p) y se voltea. Así sucesivamente 3p, 4p,...Sólo cuando contemos n veces, np será múltiplo de n y sólo quedará sin voltear la carta buscada.
Vamos a simplificarlo a 5 cartas {A,B,C,D,E} colocadas alfabéticamente en el sentido de la agujas del reloj, como se muestra en la figura. Si eliges la carta C (en naranja) y cuentas cada vez 3, se observa que la primera carta en voltear es la A (pasa de gris a blanco).  Y así sucesivamente se volteando las cartas D, B, E. Finalmente queda sin descubrir la carta C.
Al hacer un recuento en círculo es un problema de congruencia módulo 5:
3 mod 5=3 (A), 6 mod 5=1 (D), 9 mod 5=4 (B), 12 mod 5=2 (D), 15 mod 5=0 (C)

  • PROPUESTA II: Tomamos un número de tres cifras diferentes abc. A partir de él formamos el número de seis dígitos abcabc. Si se divide por 13, el resultado entero es divisible por 11 y al dividir el resultado por 7 se obtiene el número inicial. Sea el número 739739, al dividir por 13 se obtiene 56903. Al dividir ahora por 11 se obtiene 5173. Si finalmente se divide por 7 se obtiene 739.
¡Con números de esa forma ocurre siempre!

EXPLICACIÓN:
  • Un número es divisible por 13 cuando la suma de los productos de las unidades, decenas, centenas... de dicho número por los dígitos de la lista {1,-3,-4.-1,3,4} respectivamente es  0 ó múltiplo de 13. No es el único criterio de divisibilidad.
El número 53927 no es divisible y no se utilizan todos los dígitos de la lista: $$7·1+2·(-3)+9·(-4)+3·(-1)+5·3=-23$$ El número 1604928 si es divisible y se utiliza un dígito dos veces: $$8·1+2·(-3)+9·(-4)+4·(-1)+0·3+6·4+1·1=-13$$ El número abcabc es divisible por 13 independientemente de los valores a, b y c: $$1·c+(-3)·b+(-4)·a+(-1)·c+3·b+4·a=0$$
  • Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras impares y la suma de las cifras pares es 0 ó un múltiplo de 11. Se puede iniciar por la derecha o por la izquierda.
El número 57238 no es divisible y el número 945076 si es divisible: $$(5+2+8)-(7+3)=5 \wedge(9+5+7)-(4+0+6)=11$$ El número abcabc es divisible por 11 independientemente de los valoresa,b y c: $$(a+c+b)-(b+a+c)=0$$
  • Un número es divisible por 7 cuando la suma de los productos de las unidades, decenas, centenas... de dicho número por los dígitos de la lista {1,3,2.-1,-3,-2} respectivamente es 0 ó múltiplo de 7. No es el único criterio de divisibilidad.
El número 3427 no es divisible y no se utilizan todos los dígitos de la lista:$$7·1+2·3+4·2+3·(-1)=18$$El número 864192 si es divisible y utiliza todos los dígitos:
$$2·1+9·3+1·2+4·(-1)+6·(-3)+8·(-2)=-7$$El número abcabc es divisible por 7 independientemente de los valores a, b y c: $$1·c+3·b+2·a+(-1)·c+(-3)·b+(-2)·a=0$$
  • Veamos que al dividir el número abcabc por 7·11·13=1001 se obtiene el número abc:
$$abc·1001= (100a+10b+c)·1001=100100a+10010b+1001c$$ $$=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c=abcabc$$

viernes, 29 de noviembre de 2019

Matemagia (I)

¿Qué es la Matemagia? Es matemática asociada a la magia, presentada de forma amena y dinámica generando asombro y sorpresa. Se presentan tres 'trucos' que utilizan el álgebra elemental y el sistema de numeración decimal.
  • TRUCO I: En una baraja asignamos un número a cada uno de los palos (1=oros, 2=copas, 3=bastos, 4=espadas) y un número a cada carta (8=sota, 9=caballo, 0=rey). Eliges una carta de la baraja y haces los siguientes cálculos: multiplica el número del palo por 2, suma 3 al resultado, multiplica el nuevo resultado por 5 y súmale el número de la carta. Ahora, díme el número obtenido.
  • ¡Sé la carta que has elegido!

EXPLICACIÓN:
Sea el rey de copas la carta elegida (2=palo, 0=carta). Hacemos los cálculos: (2·2+3)5+0=35. Ahora  hacemos 35-15=20. La decena es el palo y la unidad la carta. Sea el 7 de bastos la carta elegida (3=palo, 7=carta). Hacemos los cálculos: (3·2+3)5+7=52. Ahora  hacemos 52-15=37. La decena es el palo y la unidad la carta.

¿Por qué siempre hay que restar 15?

Si x es el número del palo e y el número de la carta, se tiene: $$(2x+3)5+y=10x+15+y$$ Si restamos 15 obtenemos el número: $$10x+y=xy$$ y así sabemos que la decena es el palo y la unidad la carta.
  • TRUCO II: Lanza un dado y multiplica el resultado por 2, súmale 5 y vuelve a multiplicar el resultado por 5. Lanza otro dado y suma el resultado al anterior. Multiplica el resultado por 10 y súmale el resultado de lanzar un tercer dado.
¡Sé el resultado de tus dados!

EXPLICACIÓN:
Supongamos que las tiradas han dado los números 3, 6 y 1. Entonces ((2·3+5)5+6)10+1=611. Le quitamos 250 y obtenemos el 361. Y si el resultado de las tiradas es 4,4,5. Entonces ((2·4+5)5+4)10+5=695. Le quitamos 250 y obtenemos el 361. por tanto siempre conocemos el resultado de los dados.
¿Por qué  siempre hay que restar 250?

Si x, y, z son los resultados de las tres tiradas se tiene: $$(2x+5)5+y=10x+25+y$$ $$(10x+y+25)10+z=100x+10y+z+250$$ Si restamos 250 obtenemos el número: $$100x+10+z=xyz$$ y así sabemos que la centena es el resultado del primer dado, la decena del segundo y la unidad del tercero.

Piensa un número de tres cifras diferentes, invierte sus cifras y resta el número mayor del número menor. Invierte sus cifras y resta de nuevo estos dos últimos números.

¡Sé qué número has obtenido!

EXPLICACIÓN:
Sea un número de tres cifras con la única condición que la cifra de las unidades y la de las centenas no sean la misma. Por ejemplo 572 y invertimos sus cifras y restamos el mayor del menor: 572-275=297. Ahora invertimos las cifras del número obtenido y sumamos ambos números: 297+792=1089. Escogemos ahora el número 736 y repetimos el proceso: 736-637=099. 099+990=0189.
¿Por qué  siempre se obtiene el número 1089?

Sea el número abc con a>c: $$abc-cba=(100a+10b-c)-(100c+10b+a)=99(a-c)$$ Como las cifras van de 0 a 9, se tiene que: $$1 \leq a-c\leq 9 \rightarrow a-c=k \rightarrow 1 \leq k \leq 9$$ El número obtenido se puede expresar de la forma siguiente: $$99k=100k-k=100(k-1+1)-k=100(k-1)+100-k=$$ $$100(k-1)+90+10-k=100(k-1)+9·10+10-k$$ Como: $$1 \leq k \leq 9 \rightarrow 1 \leq 10-k \leq 9$$ El número tiene 10-k unidades, 9 decenas y k-1 centenas. Invirtiendo sus cifras se tiene el número: $$100(10-k)+9·10+k-1$$ Sumando ambos números se tiene: $$100(k-1+10-k)+10(9+9)+10-k+k-1=$$ $$100·9+18·10+9=900+180+9=1089$$ y por tanto se obtiene siempre 1089, independientemente del número elegido inicialmente.

lunes, 28 de octubre de 2019

Gauss y el polígono de 17 lados

Los griegos fueron incapaces de encontrar una construcción con regla y compás para algunos polígonos regulares. Gauss, uno de los más grandes matemáticos que ha existido en 1796, cuando tenía 19 años, se dio cuenta de que el número 17 tiene dos propiedades especiales que, combinadas, implican que existe una construcción de regla y compás para un polígono regular de 17 lados (heptadecágono).
$$x^{17}=1$$
 En el campo de los números complejos, la ecuación tiene como soluciones las raíces de la unidad, vértices de un polígono regular de 17 lados.
El número 17 es primo, y también es una unidad mayor que una potencia de 2, en concreto, 16 + 1. Gauss probó que la combinación de estas dos propiedades implica que la ecuación anterior puede resolverse usando las operaciones habituales de álgebra: suma, resta, multiplicación y división, junto con la formación de raíces cuadradas. Y todas estas operaciones pueden realizarse geométricamente usando regla y compás. En resumen, debe de haber una construcción de regla y compás para un polígono regular de 17 lados.
No escribió una construcción explícita, pero  en su obra maestra Disquisitiones arithmeticae, escribió la fórmula: $$\frac{1}{16}[-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2}\sqrt{17}$$ $$+\sqrt{68+12\sqrt{17}-16\sqrt{34+2}\sqrt{17}-2(1-\sqrt{17})(\sqrt{34-2}\sqrt{17}}]$$
Y probó que el polígono regular de 17 lados puede construirse siempre que se pueda construir un segmento de esa longitud dado un segmento de longitud la unidad. Como solo aparecen raíces cuadradas, es posible trasladar la fórmula a una construcción geométrica bastante complicada.
Sin embargo, hay métodos más eficientes, que descubrieron diferentes personas cuando estaban analizando la prueba de Gauss.  El método propuesto por Gauss en 1796, simplificado por H.W. Richmond en 1893, es el siguiente:
  • Se dibujan dos ejes perpendiculares que se cortan en O.
  • Se dibuja una circunferencia con centro en O y radio OA.
  • Se obtiene un punto B tal que el segmento OB es la cuarta parte del radio OA.
  • Se obtiene el punto D tal que el ángulo OBD es la cuarta parte del ángulo OBC.
  • Se obtiene el punto E tal que el ángulo EBD es de 45º.
  • Se obtiene el punto medio F del segmento EC.
  • Se dibuja la circunferencia de centro F y radio FG que corta al eje vertical en G.
  • Se dibuja la circunferencia de centro D y radio DG que corta al eje horizontal también en H.
  • Se trazan dos rectas verticales por H y F que cortan a la circunferencia en los puntos K y L.
  • Se obtiene el punto medio M del arco KL.
  • El segmento KM es el lado del polígono regular de 17 lados.
Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

domingo, 29 de septiembre de 2019

Pentágono y decágono regulares

En la figura se muestran un decágono y un pentágono regulares inscritos en una circunferencia de radio unidad.
Los triángulos PQR y OPQ, al tener los ángulos iguales, son semejantes: $$\frac{x}{1-x}=\frac{1}{x} \rightarrow x^2+x-1=0 \rightarrow x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$ y el lado del decágono inscrito en una circunferencia de radio unidad tiene de valor la razón aúrea o número de oro.

Aplicando el teorema del coseno al triángulo OPS: $$y^2=1^2+1^2-2·cos(72)=2-2·cos(72)$$ Aplicando el teorema del coseno al triánguloPQR: $$x^2=x^2+(1-x)^2-2x(1-x)·cos(72) \rightarrow cos(72)=\frac{1-x}{2x}$$ Y sustituyendo el valor del cos(72) en la ecuación anterior: $$y^2=2-2\frac{1-x}{2x}=\frac{3x-1}{x}\rightarrow \frac{3\frac{\sqrt{5}-1}{2}-1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$$ $$y^2=\frac{10-2\sqrt{5}}{4} \rightarrow y=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$$ se obtiene el valor del lado del pentágono inscrito en una circunferencia de radio unidad. Si el radio no es unitario, los lados de los polígonos serán proporcionales al valor de ese radio.

Vamos a indicar el método clásico, utilizado por los griegos, para la construcción del pentágono con 'regla y compás':
  • Se trazan dos ejes perpendiculares que se cortan en O.
  • Se traza una circunferencia de radio OQ.
  • Sea P el punto medio del segmento OS.
  • Se traza una circunferencia con centro en P y radio PQ.
  • Esta circunferencia Intersecta con el eje horizontal en el punto R.
  • El segmento QR es el lado del pentágono y el segmento OR es el lado del decágono.
  • Al mover el punto Q se puede modificar el tamaño de la circunferencia y su polígono inscrito.
  • Se muestra el tamaño del radio y los lados de los respectivos polígonos.
Se puede observar la construcción 'paso a paso' y moviendo el punto Q modificar el tamaño de la figura.


Veamos que el segmento OR es el lado del decágono inscrito: $$\overline{PQ}^2=1^2+(\frac{1}{2})^2 \rightarrow \overline{PQ}=\frac{\sqrt{5}}{2}$$ $$\overline{OR}=\overline{PR}-\overline{OP}=\overline{PQ}-\overline{OP}=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\phi$$ Veamos que el segmento QR es el lado del pentágono inscrito: $$\overline{QR}^2=\overline{OR}^2+\overline{OQ}^2=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2+1^2 \rightarrow \overline{QR}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$$

jueves, 29 de agosto de 2019

Modelo de población de Leslie


Cuando la variación de una población se realiza en función del tiempo, obtenemos un proceso (continuo o discreto) que recibe el nombre de dinámica de la población. El objetivo de la dinámica de poblaciones es estudiar los cambios numéricos que sufren las poblaciones, determinar sus causas, predecir su comportamiento y analizar sus consecuencias. Vamos a presentar el modelo de dinámica de Leslie, en honor del autor del método, el fisiólogo Patrick Holt Leslie (1900-1974).
Parece claro que a tasa de mortalidad será mayor entre los individuos de mayor edad que entre los más jóvenes. Asimismo a tasa de fecundidad depende también de la edad. Con carácter general, podemos suponer que la población consiste enteramente de hembras. En realidad, para la mayoría de las especies la cantidad de machos es prácticamente la misma que la de hembras. Por otra parte, en lo que respecta a las cuestiones reproductivas, el papel determinante es jugado por las hembras y no por los machos. Vamos a plantear un modelo en el que se tienen en cuenta características particulares de cada uno de los individuos. Según estas características los agruparemos en clases que sean homogéneas a efectos reproductivos y de supervivencia.


Supongamos que la edad máxima alcanzada por una hembra de una población sea L años y que esta población la dividimos en n clases de edades. Cada clase, es evidente que tendrá L/n años de duración. Por lo tanto las clases serán:
$$[ 0\frac{L}{n}), [\frac{L}{n},\frac{2L}{n}),\cdots, [\frac{(n-1)L}{n},L) $$
Supongamos que en el momento inicial (t = 0) conocemos el número de hembras que hay en cada uno de los intervalos. Llamamos xi(0) al número de hembras existentes en el intervalo i-ésimo en el momento inicial. Podemos construir el vector de la distribución inicial de las edades: 
$$x(0)=(x_1(0),x_2(0), \cdots x_n(0))$$
Al pasar el tiempo, por causas biológicas (nacimientos, envejecimiento, muertes), el número de hembras que hay en cada una de las clases se va modificando. Lo que pretendemos es ver como evoluciona el vector x(0) de distribución inicial con el tiempo. La manera más fácil de proceder, para estudiar el proceso de envejecimiento es hacer observaciones de la población en tiempos discretos haciendo que la duración entre dos tiempos consecutivos de observación sea igual a la duración de los intervalos de edad:
$$ t_0=0, t_1=\frac{L}{n}, t_2=\frac{2L}{n}\cdots , t_k=\frac{kL}{n}, \cdots$$
Bajo esta hipótesis todas las hembras de la clase i+1 en el tiempo tk+1, estaban en la clase i en el tiempo tk (suponiendo que no existen muertes ni nacimientos). Se designa:
  • ai es el promedio de hijas que tiene una hembra mientras permanece en la clase i. Tiene que haber al menos un ai>0, es decir, una clase fértil.
  • bes la fracción de hembras de la clase i que sobreviven y pasan a la clase i+1. El valor de bi no puede ser cero, salvo en la última clase, pues entonces nadie sobreviviría a su clase. 
El vector general de distribución de edades para un tiempo tk es: $$x(k)=(x_1(k),x_2(k),\cdots,x_n(k))$$ El número de hembras en la primera clase en una etapa dada, dependerá de las nacidas en la etapa anterior:
$$x_1(k)=a_1x_1(k-1)+a_2x_2(k-1)+\cdots a_nx_n(k-1)$$ El número de hembras en la clase i+1 en una etapa dada será el número de supervivientes de la clase anterior: $$x_{i+1}(k)=b_ix_i(k-1)$$
Vectorialmente se expresará: $$x(k)=Lx(k-1)$$ siendo L la matriz de Leslie: $$L=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_{n-1} & a_{n-1} \\ b_1 &0 & \ldots & 0 & 0\\ 0 &b_2 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots&\vdots&\vdots&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & b_{n-1}& 0\end{bmatrix}$$
De donde se deduce: $$x(k)=L^kx(0)$$ y por tanto conocida la distribución inicial y la matriz de Leslie se puede conocer la distribución de la población en cualquier etapa.

En la matriz de Leslie se obtiene un único valor propio positivo si hay al menos dos clases consecutivas fértiles (sucederá siempre que se consideren los intervalos suficientemente pequeños). El autovalor o valor propio debe cumplir:
$$Lv_1=\lambda_1 v_1$$ Para ese valor propio, se puede obtener su vector propio asociado:
$$v_1=(1,\frac{b_1}{\lambda_1},\frac{b_1b_2}{\lambda_1^2},\frac{b_1b_2b_3}{\lambda_1^3},\cdots,\frac{b_1b_2b_3\cdots b_{n-1}}{\lambda_1^{n-1}})$$  ¿Cuál será el comportamiento de la población a largo plazo? Se cumplirá: $$x(k)\simeq\lambda_1^k x(0)\rightarrow x(k)\simeq\lambda_1 x(k-1)$$
  • Cada distribución es proporcional a la distribución anterior, siendo esa constante el valor propio positivo de la matriz de Leslie.
  • La proporción de hembras en cada clase se mantiene constante según el vector propio.
  • La población a largo plazo:
    • Crece si el valor propio es mayor que uno.
    • La población decrece si el valor propio es menor que uno.
    • La población se estabiliza si el valor propio es uno.
Veamos un ejemplo: $$L=\begin{bmatrix} 0 & 4 & 3\\ \frac{1}{2} &0 & 0\\ 0 & \frac{1}{4} & 0\end{bmatrix}$$ Se calcula el valor propio: $$|L-\lambda I|=0 \rightarrow \lambda^3-2\lambda- \frac{3}{8}=0 \rightarrow \lambda_1=\frac{3}{2}$$ Se obtiene el vector propio: $$v_1=(1,\frac{b_1}{\lambda_1},\frac{b_1b_2}{\lambda^2})=(1,\frac{1}{3},\frac{1}{18})$$ El porcentaje de aumento de la población en cada etapa tiende a estabilizarse en un 50%: $$x(k)\simeq\frac{3}{2}x(k-1)$$ La proporción de hembras en cada clase se estabiliza en los porcentajes dados por el vector propio: $$x(k)\simeq (\frac{3}{2})^k(1,\frac{1}{3},\frac{1}{18})=(\frac{3}{2})^k(72\%,24\%,4\%)$$
Descargar .XLS
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Con las flechas se elige la población inicial en cada  clase de edad.
  • Con las flechas se elige el número de descendientes en cada  clase de edad.
  • Con las flechas se elige la tasa de supervivencia en las dos primeras clases de edad.
  • Con la flecha se elige el período temporal de cada etapa.
  • Se observa numéricamente la evolución de la distribución de clases.
  • Se observa numéricamente la evolución del crecimiento de las clases.
  • Se muestra la gráfica de la evolución de la distribución de clases.
  • Se muestra gráficamente la evolución del crecimiento de las clases.

martes, 9 de julio de 2019

Selectividad ciencias sociales-Curso 18/19

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 16/17.

Enunciados y soluciones de junio
Enunciados y soluciones de julio

lunes, 8 de julio de 2019

Selectividad ciencias-Curso 18/19

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 18/19.

Enunciados y soluciones de junio
Enunciados y soluciones de julio

martes, 28 de mayo de 2019

Aritmética Lunar (II)

En la Aritmética Lunar también se pueden construir cuadrados mágicos: la suma de cada fila, de cada columna y de las dos diagonales deben valer lo mismo.

El cuadrado mágico que se muestra es el más pequeño posible en cualquier base mayor que 2.
También se puede obtener un cuadrado mágico en base 2:
Un número lunar m se dice que domina a un número lunar si los dígitos de m son mayores que los dígitos correspondientes de n. Esto es equivalente a que m+n=m. Por ejemplo 375 domina a 172. Si B es la base de numeración, se indica de la forma siguiente:
$$m \gg_B n, 375\gg_B 172 $$
En los dos cuadrados mágicos, se observa, que hay una entrada que domina a todas las demás (22 y 1111). Se observa que si una entrada domina a todas las demás, su valor debe coincidir con las sumas del cuadrado mágico.

¿Hay cuadrados mágicos en los que la entrada mayor no coincide con el valor de las sumas?. La respuesta es sí y se muestra en el cuadrado mágico de la izquierda donde la mayor entrada es 43 y las sumas son 44.

Además como en la suma de la la Aritmética Lunar no hay 'acarreos', cualquier cuadrado formado por un subconjunto de dígitos de un cuadrado mágico también lo es, como se observa en el cuadrado mágico de la derecha formado únicamente por las decenas del anterior.
Por tanto, cualquier cuadrado mágico se puede representar como suma de cuadrados mágicos como se muestra a continuación.
Los dos primeros cuadrados mágicos representan los únicos casos de entradas mínimas usando un único dígito (no se consideran las rotaciones y reflexiones). El de la derecha no se considera como tal pues si se elimina una entrada (poner 0) sigue siendo mágico, cosa que no ocurre con los otros dos.
También se pueden formar cuadrados mágicos de potencias. El cuadrado mágico de la derecha parece ser el más pequeño posible. El primero tiene como sumas 48·48=448 y el segundo 24·24=224, es decir, que las sumas  en ambos cuadrados mágicos son también potencia de 2.

Si un número a tiene las cifras  en orden creciente de izquierda a derecha: $$a=a_k\dots_1a_0 \wedge a_{i+1} \leq a_i$$ entonces la potencia de orden n del número a se obtiene repitiendo n veces cada cifra excepto la última: $$a^n=\overbrace{a_ka_k\dots a_k} \dots \overbrace{a_1 a_1\dots a_1}a_0$$ En el cuadrado mágico siguiente se ha aplicado este método para la tercera potencia:
Vemos que la potencia obtenida es también un cuadrado mágico. Cualquier potencia dará un cuadrado mágico y por tanto existirán infinitos cuadrados mágicos de esas potencias. Existen otras familias de potencias como la que se muestra a continuación:

El siguiente es un cuadrado mágico de cuadrados en base 2. Su sumas son 1001·1001 y es el más pequeño posible en dicha base:
El siguiente cuadrado mágico de cuadrados no da una suma que sea a su vez un cuadrado, como en los casos anteriores. Las sumas valen 439 que además es un número primo lunar.
Existen cuadrados mágicos de cuadrados cuya suma es también un cuadrado mágico de cuadrados. Forman tripletas pitagóricas y en estos cuadrados se muestran nueve. Cumplen el Teorema de Pitágoras en la Aritmética Lunar.

viernes, 26 de abril de 2019

Aritmética Lunar (I)

Marc LeBrun introdujo la llamada Aritmética Lunar, antes conocida como Aritmética `triste' (`Dismal' Arithmetic). En esta Aritmética sólo se puede sumar y multiplicar. 

La regla para sumar dos dígitos es: $$a+b=max(a,b)$$ La regla para multiplicar dos dígitos es: $$a \times b=min(a,b)$$ A continuación se muestra el resultado de un par de sumas y multiplicaciones:
El resultado de los cuadrados de los primeros números es:
Se sabe que un número primo es aquel que sólo puede obtenerse como producto de sí mismo por el elemento unidad (el uno). Pero en esta aritmética el elemento unidad es el nueve. En las multiplicaciones siguientes se observa que ni el 1 ni el 7 pueden ser el elemento unidad. Sin embargo se ve que cualquier número multiplicado por el 9 da de resultado ese número.
A continuación se muestran los primeros números primos:
Vamos a probar que el número 109 es primo. Supongamos que no lo es, entonces deberá expresarse como producto de dos números ab y cd. El dígito a (o el c) debe valer 1 para poder conseguir que el producto empiece por 1. Además los dígitos b y d deben valer 9 para que el producto termine en 9. Al terminar la multiplicación se observa que c debería valer 0, pero eso obliga a que el producto no empiece por 1. Por contradicción se concluye que el número 109 es primo.
 
Existen infinitos números primos en la Aritmética Lunar. Para saber más cosas de los primos lunares en La Enciclopedia de Secuencias de Enteros.