Disección de Dudeney (II)

La forma de dividir un triángulo equilátero en cuatro polígonos (2 triángulos y 2 cuadriláteros) para con ellos construir un cuadrado también se conoce como el 'Problema del Mercero" (Haberdasher Problem). En esta nueva entrada se muestra otra forma de obtener la 'Disección de Dudeney':

• Se construye el triángulo equilátero ABC
• Se obtienen los puntos medios D y E de los lados AB y BC.
• Se trazan las rectas perpendiculares al lado AC que pasan por D y E.
• Se obtienen los puntos de intersección F y G sobre el lado AC.
• Se traza el segmento EF.
• Se trazan las perpendiculares desde D y G sobre el segmento EF.
• Se obtienen los puntos de interesección H e I.

Si llamamos a al lado del triángulo, se tiene que su área es: $$A_t=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$ Como ha de ser igual al área de un cuadrado: $$A_t=A_c \rightarrow \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=l^2 \rightarrow l=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}a$$

• Moviendo los deslizadores se puede convertir el triángulo en un cuadrado.
• Dada la medida del lado del triángulo (AB) y del segmento (GI) se puede comprobar que estos valores están de acuerdo con que el segmento es la mitad del lado del cuadrado.

Veamos por qué el segmento IG es la mitad del lado del cuadrado. Simplificamos el cálculo tomando un triángulo equilátero de lado a=2: $$A_t=A_c \rightarrow \frac{\sqrt{3}}{4}·2^2=l^2 \rightarrow l=\sqrt[4]{3}$$

• Se prolonga la altura AE hasta J, de forma que EJ=EB=1 y K es el punto medio de AJ
• Se traza el círculo de centro K y radio AK: $$AK=\frac{1}{2}(AE+EJ)=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$
• Se prolonga BE hasta M y se obtiene el triángulo EMK donde: $$MK=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$ $$EK=AE-AK=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}+1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2} $$
• Aplicando el teorema de Pitágoras: $$EM=\sqrt{\frac{\sqrt{3}+1}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}-1}{2})^2}=\sqrt[4]{3} $$
que es el tamaño del lado del cuadrado.}
• Se traza el círculo de centro E y radio EF=EM. Y si 'alfa' es el ángulo EFC, aplicando el teorema del seno: $$sen(\alpha)=\frac{sen(60)·EC}{EF}=\frac{\sqrt{3}/2·1}{\sqrt[4]{3}}=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}$$
• FG=EC=1 y GI es perpendicular a FE: $$GI=FG·sen(\alpha)=1·\frac{\sqrt[4]{3}}{2}=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}$$