Estas sucesiones deben su nombre a su creador, el matemático americano Michael Somos.
Con la relación de recurrencia:
$$a_n=a_{n-1} \wedge a_0=1$$
se obtiene la sucesión Somos-1:
$$1,1,1,1,1,\ldots$$
Con la relación de recurrencia:
$$a_n=\frac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}} \wedge a_0,a_1=1$$
se obtiene la sucesión Somos-2:
$$1,1,1,1,1,\ldots$$
Con la relación de recurrencia:
$$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-2}}{a_{n-3}} \wedge a_0,a_1,a_2=1$$
se obtiene la sucesión Somos-3:
$$1,1,1,1,1,\ldots$$
Vemos que los elementos semilla de la sucesión son siempre 1 y que el número de éstos coincide con el orden de la sucesión y que todas la sucesiones son iguales.
Con la relación de recurrencia:
$$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-3}+a_n^2}{a_{n-4}} \wedge a_0,a_1,a_2,a_3=1$$
se obtiene la sucesión Somos-4:
$$1,1,1,1,1,2,7,23,59,314,1529,8209,83313,620297,7869898\ldots$$
Se observa que la sucesión crece muy rápido pero siempre con valores enteros a pesar que en la fórmula de recurrencia hay un denominador.
Con la relación de recurrencia:
$$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-4}+a_{n-2}a_{n-3}}{a_{n-5}} \wedge a_0,a_1,a_2,a_3,a_4=1$$
se obtiene la sucesión Somos-5:
$$1,1,1,1,1,2,3,5,11,37,83,274,1217,6161,22823,165713 \ldots$$
La sucesión Somos-6 es:
$$1,1,1,1,1,1,3,5,9,23,75,37,421,1103,5047,41873,281527 \ldots$$
La sucesión Somos-7 es:
$$1,1,1,1,1,1,,3,5,9,17,41,137,769,1925,7203,340821 \ldots$$
Vemos que estas sucesiones siguen dando siempre valores enteros. ¿Se romperá esto alguna vez y aparecerá un número fraccionario?
Con la relación de recurrencia:
$$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-7}+a_{n-2}a_{n-6}+a_{n-3}a_{n-5}+a_{n-4}^2a}{a_{n-8}} \wedge a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5=1$$
se obtiene la sucesión Somos-8:
$$1,1,1,1,1,1,1,1,4,7,13,25,61,187,775,5827,14815, \ldots$$
Calculamos el siguiente término:
$$a_{17}=\frac{a_{16}a_{10}+a_{15}a_{11}+a_{14}a_{12}+a_{13}^2}{a_9}=$$
$$\frac{14815\cdot 13+5827 \cdot 25+775 \cdot 61+ 187^2}{7}=\frac{420514}{7}$$
Hemos tenido que llegar a es término de Somos-8 para que aparezca un número no entero.
Todas estas sucesiones se deducen de una fórmula general:
$$a_n=\frac{\sum_{i=1}^{\lfloor k/2 \rfloor}a_{n-i}a_{n-(k-i)}}{a_{n-k}}$$
$$a_i=1 \hspace{0.5 cm}i=0,\ldots k-1$$
El símbolo superior del sumatorio indica 'parte entera'.
Las siguientes sucesiones Somos obtienen el primer término fraccionario en posiciones cada vez más avanzadas:
$$k=9,10,11, 12,13,14,15, \ldots \rightarrow a_{19},a_{20},a_{22},a_{24},a_{27},a_{28},a_{30},\ldots$$