Sea un juego de apuesta donde la probabilidad p de ganar es superior al 50%. La estrategia consiste en apostar cada vez una fracción fija x de la fortuna disponible en cada apuesta.
Un jugador codicioso, como el juego es favorable, apostará un fracción alta de su fortuna y ganará a menudo pero cuando pierda se resentirá mucho su fortuna. En el caso extremo de apostarlo todo cada vez, irá duplicando su fortuna pero terminará en alguna jugada arruinado. En cambio, un jugador temeroso apostará una pequeña fracción y su fortuna aumentará pero muy lentamente.
¿Qué fracción se debe apostar?
La que haga que la tasa de crecimiento de la fortuna sea máxima
Si se apuesta una fracción x, se tiene 1+x si se gana y 1-x si se pierde. Después de N jugadas se ha ganado en M y se ha perdido en N-M. Si F es la fortuna inicial, después de las N jugadas, la ganancia G será:
$$G=(1+x)^M(1-x)^{N-M}F$$
Tomando logaritmos se tiene:
$$ln\left(\frac{G}{F}\right)=M·ln(1+x)+(N-M)·ln(1-x)$$
Se divide por N ambos términos:
$$\frac{1}{N}· ln\left(\frac{G}{F}\right)=\frac{M}{N}·ln(1+x)+\frac{N-M}{N}·ln(1-x)$$
El término de la izquierda representa la tasa media de crecimiento (TMC) de cada apuesta que queremos sea máxima. Además las fracciones de porcentaje de aciertos y de pérdidas, cuando el número de apuestas crece, tienden a sus respectivas probabilidades:
$$\frac{M}{N} \rightarrow p \wedge \frac{N-M}{N} \rightarrow 1-p$$
Por tanto:
$$TMC=p·ln(1+x)+(1-p)·ln(1-x)$$
Derivando la expresión e igualando a cero para buscar el máximo, se obtiene:
$$x=2p-1=p-(1-p)$$
Estrategia de Kelly: En un juego favorable con ganancias de igual cuantía que las apuestas, la fracción de fortuna que debe apostarse es igual a la magnitud de la ventaja.
Por ejemplo si p=0.52, 1-p=0.48 y se debe apostar la diferencia 0.52-0.48=0.04 para que la tasa media de crecimiento a largo plazo sea máxima. Apostar, cada vez, el 4% de la fortuna disponible supone una tasa del 0.0008 en cada jugada. Después de N jugadas la ganancia esperada será 1.0008^N, aunque este promedio estará sujeto a grandes fluctuaciones, pues se perderá y ganará varias veces seguidas.
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