tag:blogger.com,1999:blog-34824960555680137542024-02-29T08:26:26.642+01:00Matemáticas EducativasBlog dedicado a la matemática a nivel educativo, contiene innovaciones didácticas, simulaciones en Excel, recortes de prensa, curiosidades, problemas de ingenio, pruebas de selectividad, análisis con Derive y geometría online con GeoGebra, etc.edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.comBlogger274125tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-27424543268886629222024-01-30T18:43:00.000+01:002024-01-30T18:43:03.707+01:00Teorema de Conway<div style="text-align: justify;">Sea un triángulo cualquiera ABC con incentro O y cuya circunferencia inscrita es tangente a los lados en Q, R y S.
Los segmentos del mismo color son iguales:
CR=CQ (azul ), AS=AR (verde) y BS=BQ (rojo) por construcción.</div>
<ul>
<li>Se prolonga el segmento AB hasta F, siendo AF=AP (azul)+PF (rojo).</li>
<li>Se prolonga el segmento AB hasta I, siendo BG=BL (verde)+LI (azul).</li>
<li>Se prolonga el segmento BC hasta H, siendo BH=BK (verde)+KH (azul).</li>
<li>Se prolonga el segmento BC hasta D, siendo CD=CN (rojo)+ND (verde).</li>
<li>Se prolonga el segmento CA hasta G, siendo AG=AJ (azul)+JG (rojo).</li>
<li>Se prolonga el segmento CA hasta E, siendo CE=CM (rojo)+ME (verde).</li>
</ul>
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUj_xNVeVuh9b_9wMauFJu7Pt1tIFwxO3eVrJXfkqA80uQoaGJK7a6ERC444ReS_5VqozQt3T_PiKEycTSPTdXLNWEMHeI87kUGyIiNJ3CUzpuHlhm_iQ2oo_Zuf7ACpyerpGy66ke8t_zgBN-zLI06xKDGVii88C-lq5cS625CFhYslqmbAo0D0tbjQ/s574/demo_conway.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="558" data-original-width="574" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUj_xNVeVuh9b_9wMauFJu7Pt1tIFwxO3eVrJXfkqA80uQoaGJK7a6ERC444ReS_5VqozQt3T_PiKEycTSPTdXLNWEMHeI87kUGyIiNJ3CUzpuHlhm_iQ2oo_Zuf7ACpyerpGy66ke8t_zgBN-zLI06xKDGVii88C-lq5cS625CFhYslqmbAo0D0tbjQ/s400/demo_conway.png" width="400" /></a></div>
Se observa que los siguientes segmentos son iguales por estar formados por tres subsegmentos de diferente color:
<ul>
<li>SF=AS (verde)+AP (azul)+PS (rojo)</li>
<li>SI=SB (rojo)+BL (verde)+LI (azul)</li>
<li>QD=QC (azul)+CN (rojo)+ND (verde)</li>
<li>QH=QB(rojo)+BK (verde)+KH (azul)</li>
<li>RE=RC (azul)+CM (rojo)+ME (verde)</li>
<li>RG=RA (verde)+AJ (azul)+JG (rojo)</li>
</ul>
<div style="text-align: justify;">Los triángulos OSF, OSI, ORG, ORE, OQD y OQH son rectángulos y como tienen los mismos catetos, también tienen la misma hipotenusa que es el radio de la circunferencia que pasa por los puntos D, E, F, G H e I. Estos puntos cumplen las condiciones que impone el teorema de Conway (longitudes prolongadas de los lados desde un vértice iguales a la longitud del lado opuesto).
Queda probado el teorema de Conway y además que el centro de esa circunferencia es el incentro del triángulo.</div>
<div style="text-align: justify;"></div>
<br>
<iframe scrolling="no" title="Teorema de Conway" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ecz2xyu4/width/540/height/371/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="540px" height="371px" style="border:0px;"> </iframe>
<br><br>
<ul>
<li style="text-align: justify;">Se pueden mover los vértices del triángulo.</li>
<li style="text-align: justify;">Se puede ver la construcción 'paso a paso'.</li>
</ul>
Generalización del teorema (Francisco Javier García Capitán):
<br><br>
<div style="text-align: justify;"><span style="background-color: white; text-align: left;">En el triángulo ABC se sitúa en su interior un punto arbitrario D . Se traza la recta que pasa por el lado AB y su paralela por el vértice opuesto C. Se traza el segmento que pasa por A y D y que corta en E y el segmento que pasa por B y D que corta en F. Se traza el segmento paralelo al lado AC desde F que corta en G y el segmento paralelo al lado BC que corta en H. Los puntos G y H son dos de los seis puntos buscados. Repitiendo, de forma análoga el proceso, a partir de los lados BC y AC respectivamente se obtendrían los cuatro puntos restantes. Por estos seis puntos pasa una elipse que se convierte en cÍrculo cuando el punto variable D coincide con el incentro del triángulo.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihZBG2CdkSSvWH4Ft4y7V4ZHw4oCj4d7Rf47F8UIj8QRhnKKqnoWf9jrqrDul7nLdFe9fKyM2X4aqro7LrfJnsT0mBvgtjjDlDhDe47hmeoXMWQm-LYqd3_BmR5XOXE5aYawtibzQyW1CbP3FQgKC3FdXGBmNoZc34Kb9OPcaUAgHCRKO6c-5vVVuvog/s496/demo_conway_2.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="317" data-original-width="496" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihZBG2CdkSSvWH4Ft4y7V4ZHw4oCj4d7Rf47F8UIj8QRhnKKqnoWf9jrqrDul7nLdFe9fKyM2X4aqro7LrfJnsT0mBvgtjjDlDhDe47hmeoXMWQm-LYqd3_BmR5XOXE5aYawtibzQyW1CbP3FQgKC3FdXGBmNoZc34Kb9OPcaUAgHCRKO6c-5vVVuvog/s320/demo_conway_2.png" width="320" /></a></div>
<iframe scrolling="no" title="Generalizción círculo de Conway" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/pvu2h8qx/width/536/height/373/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="536px" height="373px" style="border:0px;"> </iframe>
<ul>
<li style="text-align: justify;">Se pueden mover los vértices del triángulo.</li>
<li style="text-align: justify;">Se puede desplazar el punto hueco y al situarlo sobre el incentro se obtiene una circunferencia.</li>
</ul> edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-70420737079660487712023-11-30T16:55:00.000+01:002023-11-30T17:54:04.980+01:00Dados no transitivos (III)<div style="text-align: justify;">Se pueden construir dados no transitivos utilizando los sólidos platónicos. El hexaedro o cubo está representado por el 'Efron Dice'. Para el tetraedro se tiene el 'Tiggermann Dice' que se muestra en la figura.</div><div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgt7Z4haV7YnJ-zeqMm2vTWVrnObYgaEYP4RlWlH8BRGtqZp0jShdf94t-334KiZyFBnQJVEzySHE0jHiVOGn-0xjqsAHCkIwZUiTg-cLwMJU5NXYIA0iusX08JLzDLeRvKIlv7pCgFzo8ulmSHNU3RKKq3rhBJISHzUUhJqLDiXeLPDPZetcozrNxpog/s584/dados_9.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="156" data-original-width="584" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgt7Z4haV7YnJ-zeqMm2vTWVrnObYgaEYP4RlWlH8BRGtqZp0jShdf94t-334KiZyFBnQJVEzySHE0jHiVOGn-0xjqsAHCkIwZUiTg-cLwMJU5NXYIA0iusX08JLzDLeRvKIlv7pCgFzo8ulmSHNU3RKKq3rhBJISHzUUhJqLDiXeLPDPZetcozrNxpog/s320/dados_9.png" width="320" /></a></div><div style="text-align: justify;">Se puede extender el 'Tiggermann Dice' para el tetraedro al octaedro, simplemente repitiendo los valores de las caras:
$$1,1,4,4,4,4,4,4$$ $$3,3,3,3,3,3,6,6$$ $$2,2,2,2,5,5,5,5$$
Nicholas Pasciuto propone otra numeración de las caras y le llama 'Nichlman Dice' formado por las primeras letras de su nombre y las últimas del apellido de su mentor
el Dr. Ward Heilman.</div><div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7fAAhCeXN8LsFHRmS6hWzbxKH2BqAeuNB0xO-KMDd4_o1vvRE_DVcTcUYG-emujhpn7Bhter5IlJFhqYToxRdw5f8s5MZQJ0lqO_e2B0Zn1kK2i4dveYUk9ZZ4TbLbKfWWscIEjrfUU5jWzkivFc_BctFCzp6OKuICdNsfsMLoK76gi8lQbeRdaD1Ww/s710/dados_10.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="187" data-original-width="710" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7fAAhCeXN8LsFHRmS6hWzbxKH2BqAeuNB0xO-KMDd4_o1vvRE_DVcTcUYG-emujhpn7Bhter5IlJFhqYToxRdw5f8s5MZQJ0lqO_e2B0Zn1kK2i4dveYUk9ZZ4TbLbKfWWscIEjrfUU5jWzkivFc_BctFCzp6OKuICdNsfsMLoK76gi8lQbeRdaD1Ww/s400/dados_10.png" width="400" /></a></div><div style="text-align: justify;">Para el dodecaedro existen varios conjuntos de dados. Uno de ellos es ampliar para cuatro caras más 'Timmermann Dice'. Otra opción es el conjunto de dados 'Schward Dice'</div><div style="text-align: justify;"></div><div style="text-align: justify;">$$0,0,0,0,0,16,16,17,17,17,17,17$$
$$5,5,5,5,14,14,14,14,18,18,18,18$$
$$6,6,6,12,12,12,19,1,9,19,19,19,19$$
$$3,3,11,11,11,11,11,20,20,20,20,20$$
$$15,15,15,15,15,15,15,15,15,15,15,15$$ </div><div style="text-align: justify;"></div><div style="text-align: justify;">Michael Winkleman inventó un nuevo conjunto no transitivo de sólo tres dados que llamó 'Miwin's Dodecahedral Dice'.</div><div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtMIQk5ZDhZq9ug6USBHw8DrkHJ30XDW3HEA3Fj1ljLTlK8WpFSLwaXldVJV6Hdgdud26nYx7oQSBUf_aNaIRs1G_TmYaE7dLsbrH9vqp-y4lj2s-2sCKt-hMg6EHZCZkgCPnh111R4Mvdla2hLBnOcblyDx_epuBsBhtNq2jysZSQkVMdWweo0TrU4Q/s934/dados_11.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="475" data-original-width="934" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtMIQk5ZDhZq9ug6USBHw8DrkHJ30XDW3HEA3Fj1ljLTlK8WpFSLwaXldVJV6Hdgdud26nYx7oQSBUf_aNaIRs1G_TmYaE7dLsbrH9vqp-y4lj2s-2sCKt-hMg6EHZCZkgCPnh111R4Mvdla2hLBnOcblyDx_epuBsBhtNq2jysZSQkVMdWweo0TrU4Q/s400/dados_11.png" width="400" /></a></div><div style="text-align: justify;">Finalmente para el icosadero se puede expandir el 'Timmermann Dice'. Otra posibilidad, no reversible con dos dados, es el conjunto 'Pascanell Dice'.</div><div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4Kv8QHdmi_r2rV_14PigpWofEBoyWMi0-aREYE1qB4YPRzUvHIH-8oYtCa8X4Y3yNHPHzzf6JbqOTFMGvikUgbLVZwYRmfsAAiXSkJX5iK6Nr1kMFCoTS58N00Dl565YsyNCOuWK05qS-LY0y13NRF5P9y9umFwPnENY1JGww1X1V-V7tJRhJku7BcA/s655/dados_12.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="307" data-original-width="655" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4Kv8QHdmi_r2rV_14PigpWofEBoyWMi0-aREYE1qB4YPRzUvHIH-8oYtCa8X4Y3yNHPHzzf6JbqOTFMGvikUgbLVZwYRmfsAAiXSkJX5iK6Nr1kMFCoTS58N00Dl565YsyNCOuWK05qS-LY0y13NRF5P9y9umFwPnENY1JGww1X1V-V7tJRhJku7BcA/s400/dados_12.png" width="400" /></a></div>
edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-57120033495419642152023-10-11T17:06:00.005+02:002023-10-11T17:06:45.871+02:00Teorema de Mickey Mouse<div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><i>Sean los círculos (A) y (B) tangentes exteriores al círculo (C) con los puntos de tangencia F y G, respectivamente. Sean D y E los puntos de tangencia de la recta tangente a ambos círculos, repsectivamente. Si la recta que pasa por D y F se corta con la recta que pasa por E y G en el punto E, entonces ese punto pertenece al círculo (C) y la recta tangente en ese punto es paralela a la recta que pasa por D y E.</i></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTjsntdHjj7RspJCDVjcfHrWYfxe6gg_EORirbXgJF2qsxt8L9ZDYmn2ob6uuwB0-/li>Ikh5DOZuPhdNaoLHpePJ0Bdvh3_pVKDLQL4iVrKb1Hoyke7o8cooHs9Hsd72oBJFkEBOGdGvw8wV4256eHrWks_Zp2zN_BfWYWG9QTnmMNWMSXqHg2K2nj3FPjQ/s405/mickey_mouse_sol.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="405" data-original-width="367" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTjsntdHjj7RspJCDVjcfHrWYfxe6gg_EORirbXgJF2qsxt8L9ZDYmn2ob6uuwB0-Ikh5DOZuPhdNaoLHpePJ0Bdvh3_pVKDLQL4iVrKb1Hoyke7o8cooHs9Hsd72oBJFkEBOGdGvw8wV4256eHrWks_Zp2zN_BfWYWG9QTnmMNWMSXqHg2K2nj3FPjQ/s320/mickey_mouse_sol.png" /></a></div>
DEMOSTRACIÓN
<br><br>
<div style="text-align: justify;">Para la demostración sólo se necesitan los círculos de centros A y C. La prolongación del segmento DF corta al círculo de centro C en el punto H.
Los triángulos ADF y CFH son isósceles porque dos de sus lados son radios de los círculos respectivos. Como los ángulos AFD y CFH son iguales, al ser opuestos por el vértice, también son iguales a los ángulos ADF y CHF. Por tanto AD es paralelo a CH, y ya que AD es perpendicular a la tangente al círculo (A) en D, también es verdad para CH. Pero CH es también perpendicular a la tangente al círculo (C) en H. Por tanto ambas tangentes son paralelas.</div>
<br>
<div style="text-align: justify;">Podemos decir que H se encuentra en la perpendicular a la tangente en D a través de (C). Dado que originalmente (A) y (B) comparten esa tangente DE, EG necesariamente pasa por H, de modo que las prolongaciones de CA y DB se encuentran en el círculo (C).</div>
<br>
<div style="text-align: justify;">De la prueba anterior queda claro que la presencia de dos 'orejas' de Mickey Mouse en el teorema, aunque divertida, no es esencial. El resultado básico solo trata con un círculo (O<span style="font-size: xx-small;">1</span>), mientras que la afirmación sigue siendo válida para cualquier número de círculos (O<span style="font-size: xx-small;">2</span>), (O<span style="font-size: xx-small;">3</span>),…, simultáneamente tangentes a (O) y a una tangente seleccionada a (O<span style="font-size: xx-small;">1</span>).</div>
<br>
<iframe scrolling="no" title="Teorema de Mickey Mouse" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/vgbnegg3/width/539/height/410/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="539px" height="410px" style="border:0px;"> </iframe>
<br><br>
<li>Se puede modificar el tamaño y la posición del círculo grande moviendo los puntos C e I.</li>
<li>Se puede cambiar el tamaño de los círculos pequeños moviendo los puntos A y B.</li>
<li> Se pueden desplazar los círculos tangentes sobre el círculo grande moviendo los puntos F y G.</li>
<li>Se puede ver a Mickey Mouse pulsando en el botón.</li>edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-51082040384731522992023-08-29T17:38:00.000+02:002023-08-29T17:38:22.650+02:00Dados no transitivos (II)<div style="text-align: justify;">La idea de los dados no transitivos existe desde principios de la década de 1970. Aquí hay otro famoso juego con cuatro dados no transitivos conocido como 'Efron Dice' e inventado por el estadístico estadounidense Brad Efron (1938-).</div>
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYWBC5jZx4KwPk4_5-40ceRVA0La2QfKSf4svidnmTW9GcmjTOFZa8s8_wKfHTTFk6qAacijt-eVoxMrKc0E9VLci8v3c09MG5arfX4IB9qUNr5aH9tCiBOX3VQZGLahD0jvO0g9HslkihZxHl4_NVHwB-4h6383-Sqx8usfvkvilYDDfXszzLQk7UOA/s787/dados_4.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="270" data-original-width="787" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYWBC5jZx4KwPk4_5-40ceRVA0La2QfKSf4svidnmTW9GcmjTOFZa8s8_wKfHTTFk6qAacijt-eVoxMrKc0E9VLci8v3c09MG5arfX4IB9qUNr5aH9tCiBOX3VQZGLahD0jvO0g9HslkihZxHl4_NVHwB-4h6383-Sqx8usfvkvilYDDfXszzLQk7UOA/s400/dados_4.png" width="400" /></a></div><div style="text-align: justify;">En la imagen se muestra el diagrama de árbol donde el dado azul gana al dado naranja y el grafo que muestra que el juego no es trasitivo.</div><div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjpeiN7DyvfTHARWF3AHjL2q3RicNZWwJ1K7CsGmkbbNyp2rBP3HCNXlwDPZXxLGeB3ey3VR5Bs9Wt76KcG9fQgzYI9CXpSiTjdRZo42Au9qF3QP9bVj5i7kH9pdHB-2B2cIwrcyUq9Jc-QyvKPVPzWySYTcesxa4duFfMHl-YUndJTVXPDL9fGn9s6Ug/s570/dados_5.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="299" data-original-width="570" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjpeiN7DyvfTHARWF3AHjL2q3RicNZWwJ1K7CsGmkbbNyp2rBP3HCNXlwDPZXxLGeB3ey3VR5Bs9Wt76KcG9fQgzYI9CXpSiTjdRZo42Au9qF3QP9bVj5i7kH9pdHB-2B2cIwrcyUq9Jc-QyvKPVPzWySYTcesxa4duFfMHl-YUndJTVXPDL9fGn9s6Ug/s320/dados_5.png" width="320" /></a></div>
$$p(R>V)=p(3)·p(2)=1·\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$$
$$p(V>A)=p(2)·p(1)+p(6)=\frac{2}{3}·\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$
$$p(A>N)=p(1)·p(0)+p(5)=\frac{1}{2}·\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$$
$$p(N>R)=p(4)=\frac{2}{3}$$
<div style="text-align: justify;">Vemos que dado rojo gana al verde, el verde al azul, el azul al naranja y el naranja al rojo y todos con las misma probabilidad 2/3. Si nos fijamos en los dados opuestos en el grafo, se puede comprobar que el dado verde gana al dado naranja con probabilidad 5/9 pero los dados rojo y azul tienen la misma probabilidad de ganar.
Se dice que el exitoso inversor estadounidense Warren Buffett es fanático de dados no transitivos. Cuando desafió a su amigo Bill Gates con un juego de dados Efron, Bill comenzó a sospechar e insistió para que Warren eligiera primero.
<br /><br />
Otro conjunto de cinco dados no transitivos conocido como 'Grime dice' fue creado por el matemático James Grime (1980-) que colabora en la plataforma de videos de divulgación matemática <i>Numberphile</i> .
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3OVouoJTFp-iD8LO16OPhMl-haZ2C6f4_YHPTXb-xeGx37P3KCX0NKx_Ej68d337Z01li3y5at1EZ7hFlseUjKhsDb_bL6wgSz47UafbSK-BnAGiEupDBwToAqWE7GVLAyx6-KA809_DqI8fi0CbUDaP90avLv6ulw87hxsugK5LovHGRr_bDn2UfCA/s961/dados_6.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="265" data-original-width="961" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3OVouoJTFp-iD8LO16OPhMl-haZ2C6f4_YHPTXb-xeGx37P3KCX0NKx_Ej68d337Z01li3y5at1EZ7hFlseUjKhsDb_bL6wgSz47UafbSK-BnAGiEupDBwToAqWE7GVLAyx6-KA809_DqI8fi0CbUDaP90avLv6ulw87hxsugK5LovHGRr_bDn2UfCA/s400/dados_6.png" width="400" /></a></div>
$$p(R>V)=p(2)·p(1)+p(7)=\frac{1}{2}·\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$$
$$p(V>A)=p(1)·p(0)+p(6)=\frac{1}{3}·\frac{1}{6}+\frac{2}{3}=\frac{13}{18}$$
$$p(A>N)=p(5)·p(4)=\frac{5}{6}·\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$$
$$p(N>M)=p(4)·p(3)+p(9)=\frac{5}{6}·\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{13}{18}$$
$$p(M>R)=p(3)·p(2)+p(8)=\frac{2}{3}·\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$</div>
En la imagen el grafo de la izquierda muestra el ciclo, indicando que el juego no es transitivo, y el grafo de la derecha muestra un ciclo alternativo.
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhX0DlHJEBQVlymJTyhl6uZxWRtN0_cujqqupQbrRRcv1rFr8iFmBmzdGSOsF-2piulORwuM8SDwJ23faR1p52pHb8ZKWEI0yYL_LVwSlSMreCQ7z1ycs2Ewr_ydb5G-eqawV0WeVeXdILfKFCWyfYi6zsFG0v858U-wBu3SLB-BnOsHe2UNvMahqMfrw/s679/dados_7.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="310" data-original-width="679" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhX0DlHJEBQVlymJTyhl6uZxWRtN0_cujqqupQbrRRcv1rFr8iFmBmzdGSOsF-2piulORwuM8SDwJ23faR1p52pHb8ZKWEI0yYL_LVwSlSMreCQ7z1ycs2Ewr_ydb5G-eqawV0WeVeXdILfKFCWyfYi6zsFG0v858U-wBu3SLB-BnOsHe2UNvMahqMfrw/s320/dados_7.png" width="320" /></a></div>
$$p(N>R)=p(R>A)=\frac{7}{12}$$
$$p(A>M)=p(M>V)=p(V>N)=\frac{5}{9}$$
La primera 'cadena' de dados es más fuerte que la segunda. En el primer caso la probabilidad media de ganar es más del 69% mientras en el segundo caso no llega al 57%.
<br />
Unos dados curiosos llevan en sus caras los siguientes números: 0, 1, pi, la constante de Euler, la proporción áurea y el conjugado de la proporción áurea.
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjH4PmfKODZsZVEgKQGn6pil-BDUGgveFOEZqGcVFFscwD8IrXd2m0mSMUGaVmWsyXeghU4MqP1c7l41UQ_drePTf4RbB4sgvV62zgwNoxQZbEIETw3gT-uudMME1F21kYIE7Mp139mxpLZNB7VXYdMgcqDoSl3DSofUnUw7cx56Zyel7mYjQhwicDu5A/s585/dados_8.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="265" data-original-width="585" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjH4PmfKODZsZVEgKQGn6pil-BDUGgveFOEZqGcVFFscwD8IrXd2m0mSMUGaVmWsyXeghU4MqP1c7l41UQ_drePTf4RbB4sgvV62zgwNoxQZbEIETw3gT-uudMME1F21kYIE7Mp139mxpLZNB7VXYdMgcqDoSl3DSofUnUw7cx56Zyel7mYjQhwicDu5A/s320/dados_8.png" width="320" /></a></div>
¿Estos dados forman un conjunto no transitivo? Con dos dados, ¿el orden se invierte como antes?
edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-28738807487637917532023-06-25T16:45:00.008+02:002023-10-04T17:45:27.028+02:00Selectividad Ciencias-Curso 2022-2023<div style="text-align: justify;">
A continuación aparecen los
enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la
Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio
para el bachillerato de ciencias del curso 22/23.</div>
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://drive.google.com/file/d/1Kq8OUnGDVtBng0lQDMKHPjH29pC0yjdR/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a><a href="https://drive.google.com/file/d/1K7k8A0jLbpYehOW32px4HjFoTvacbzwE/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Enunciados y soluciones de junio</td></tr>
</tbody></table>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://drive.google.com/file/d/1ijszcMZziZtmA3iLcQpzKyQKZrCs98rx/view?usp=drive_link" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a><a href="https://drive.google.com/file/d/1K7k8A0jLbpYehOW32px4HjFoTvacbzwE/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Enunciados y soluciones de julio</td></tr>
</tbody></table>edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-62129847799362585242023-06-20T17:10:00.005+02:002023-09-21T15:55:00.074+02:00Selectividad Ciencias Sociales-Curso 2022-2023<div style="text-align: justify;">
A continuación aparecen los
enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la
Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio
para el bachillerato de ciencias sociales del curso 22/23.</div>
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://drive.google.com/file/d/1oEu7plKKM0Yttix49zihZ2MHoL3bti01/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a><a href="https://drive.google.com/file/d/14HC_7ZnVfnk8yY5nhOTp_r9sZjj2wbH6/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Enunciados y soluciones de junio</td></tr>
</tbody></table>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://drive.google.com/file/d/1FzasZJLzgNgsWT3TqbzGc-Q14k_RRidJ/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a><a href="https://drive.google.com/file/d/1v332ZbCY7fO5HB_jVMkjIiiimC_U7dV7/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Enunciados y soluciones de julio</td></tr>
</tbody></table>edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-46137580109276751212023-05-31T18:08:00.002+02:002023-05-31T18:08:38.099+02:00Los cuaterniones de Hamilton<div style="text-align: justify;">La conceptualización de los números complejos se remonta al siglo XVI gracias al aporte del matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576), quien demostró que teniendo un término negativo dentro de una raíz cuadrada se puede obtener la solución a una ecuación. Hasta ese momento, no se creía posible conseguir la raíz cuadrada de un número negativo.
La expresión <i>a+bi</i> para un número complejo fue introducida por René Descartes (1596-1650) y asumida más tarde por Leonhard Euler (1707-1783). Las operaciones de suma y producto de número complejos le dan una estructura de álgebra conmutativa.</div>
</div><div style="text-align: justify;">La suma de dos números complejos es:
$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$
El producto de dos números complejos es:
$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad-bc)i$$
Calculamos el cuadrado del módulo del número producto:
$$(ac-bd)^2+(ad-bc)^2=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$$
y se obtiene el cuadrado del producto de los módulos, llamada por Hamilton, 'ley de los módulos'. William Rowan Hamilton (1805-1865) fue catedrático en el Trinity College de Dublín y uno de los matemáticos más importantes de su época.
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgdnh_udQjJHkSW352YOqr1stX86ncsIqLp9W3ObZTG8-v5wOGQtkNQtBcC9rbl8b7T9R7bFzPpIcKRhsW3zyva12rBvod3ei2bxRE1yp8imZ70cMnYPpbxOckrNJ5_485KSq7obo5b5KumdU0oNfRbXatjo7ceDaeVqqViM67_UcEOpt1DiluLxJAheA/s200/hamilton.jpg" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="200" data-original-width="154" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgdnh_udQjJHkSW352YOqr1stX86ncsIqLp9W3ObZTG8-v5wOGQtkNQtBcC9rbl8b7T9R7bFzPpIcKRhsW3zyva12rBvod3ei2bxRE1yp8imZ70cMnYPpbxOckrNJ5_485KSq7obo5b5KumdU0oNfRbXatjo7ceDaeVqqViM67_UcEOpt1DiluLxJAheA/s200/hamilton.jpg" /></a>
Hamliton intentó ampliar a números hipercomplejos de tres dimensiones, buscando una leyes análogas a las de los números complejos:
$$(a+bi+cj)+(a'+b'i+c'j)=(a+a')+(b+b')i+(c+c')j$$
Con la suma no hay problema pero cuando se trata del producto surgen problemas. Intenta ver si se sigue cumpliendo la ley de los módulos:
$$(a+bi+cj)(a+bi+cj)=(a^2-b^2-c^2)+2abi+2acj+2bcij$$
Considera que, por analogía con los números complejos, se debe cumplir:
$$i^2=j^2=-1$$
Ahora el cuadrado del módulo es:
$$(a^2-b^2-c^2)^2+(2ab)^2+(2ac)^2+(2bc)^2=(a^2+b^2+c^2)^2+(2bc)^2$$
y para que se cumpla la ley de los módulos el último término sobra y por tanto se debería cumplir ij=0.
A Hamilton no le parece correcto y propone:
$$ij=-ji=k$$
pudiendo ser <i>k</i> nulo o no. El término sería:
$$bc(ij+ji)$$
Bajo estas condiciones:
$$ij=-ji=k$$
calcula el producto:
$$(a+bi+cj)(x+yi+zj)=$$
$$(ax-by-cz)+(ay+bx)i+(az+cx)j+(bz-cy)k$$
Y se pregunta si para <i>k=0</i> se cumple la ley de módulos:
$$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax-by-cz)^2+(ay+bx)^2+(az+cx)^2$$
comprobando que no, porque en el término de la derecha faltaría:
$$(bz-cy)^2$$
que es el el cuadrado del coeficiente de <i>k </i>al desarrollar el producto.
Pero si <i>k</i> no fuera nulo, entonces el producto de dos tripletas no sería una tripleta y tendría cuatro términos en lugar de tres.</div><br /><div style="text-align: justify;">Durante prácticamente diez años Hamilton fue incapaz de avanzar en este sentido. Cada
mañana en el desayuno, sus hijos que en cierto modo participaban con afecto
en las esperanzas y los desengaños de su padre a medida que las investigaciones
tenían lugar, le preguntaban:</div><br /><div style="text-align: center;"><i>Bueno Papá, ¿puedes ya multiplicar las tripletas?.</i></div>
<br />
a lo que Hamilton respondía sacudiendo tristemente la cabeza: <div><br /></div><div style="text-align: center;"><i>No. Por ahora sólo puedo sumarlas y restarlas.</i></div><div><br /></div><div style="text-align: justify;"> Sin embargo, algo extraordinario iba a suceder mientras paseaba como de
costumbre con su mujer por el Canal Real en Dublín el 16 de octubre de 1843.
De pronto en un acto de revelación, Hamilton se dio cuenta de que todas sus
dificultades podían verse superadas simplemente con la consideración de tomar
cuatro términos en lugar de tres, es decir, si tomaba <i>k </i>como una tercera
unidad imaginaria añadida a <i>i</i> y <i>j</i>. </div><div><br /></div><div>Hamilton describe este hecho quince años
después en una carta a uno de sus hijos:</div><div><br /></div><div style="text-align: justify;"><i>Mañana será el decimoquinto cumpleaños de los cuaterniones. Surgieron
a la vida, o a la luz, ya crecidos, el 16 de octubre de 1843, cuando
me encontraba caminando con la Sra. Hamilton hacia Dublín, y llegamos
al Puente de Broughman. Es decir, entonces y ahí, cerré el circuito galvánico
del pensamiento y las chispas que cayeron fueron las ecuaciones
fundamentales entre i, j, k; exactamente como las he usado desde entonces.
Saqué, en ese momento, una libreta de bolsillo, que todavía existe, e
hice una anotación, sobre la cual, en ese mismo preciso momento, sentí
que posiblemente sería valioso el extender mi labor por al menos los diez (o
podían ser quince) años por venir. Es justo decir que esto sucedía porque
sentí, en ese momento, que un problema había sido resuelto, un deseo intelectual
aliviado, deseo que me había perseguido por lo menos los quince
años anteriores. No pude resistir el impulso de coger mi navaja y grabar en
una piedra del Puente Brougham la fórmula fundamental con los símbolos
i, j, k:
</i></div>
<div style="text-align: justify;">$$i^2 = j^2= k^2 = ijk = −1 $$</div><div style="text-align: justify;"><i>que contenían la solución del Problema, que desde entonces sobrevive como
inscripción.</i></div>
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHHo-MYvvCSbTw29dzj_10GWd6BqqOUZng8XeP7Pvigra0VrN7c8pAhECBfUuLoEPAby0-4R7Dx2RDxEiZqrQbA0BSJF58FnwEV7T4L_4OObSPmMtdAhJ_1kF7KR95duHAYHYCSkyUrv5SlVeAZ-d1SZtfd4_AdXCj2nxr4NjkbiVnVvVtscPIbYvGJQ/s267/placa_hamilton.jpg" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="189" data-original-width="267" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHHo-MYvvCSbTw29dzj_10GWd6BqqOUZng8XeP7Pvigra0VrN7c8pAhECBfUuLoEPAby0-4R7Dx2RDxEiZqrQbA0BSJF58FnwEV7T4L_4OObSPmMtdAhJ_1kF7KR95duHAYHYCSkyUrv5SlVeAZ-d1SZtfd4_AdXCj2nxr4NjkbiVnVvVtscPIbYvGJQ/s200/placa_hamilton.jpg" width="200" /></a></div><div style="text-align: justify;">Hamilton denominó a estas nuevas expresiones cuaterniones, o números cuaternios. Son números hipercomplejos de la forma:
$$q = a + bi + cj + dk$$
donde <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> y <i>d</i> son números reales, e <i>i</i>, <i>j</i> y <i>k </i>satisfacen la relación:
$$i^2 = j^2 = k^2 = −1$$
Habiendo asumido que:
$$i^2 = j^2 = −1 \wedge k = ij = −ji$$
$$k^2=ijij=-jiij=-ji^2j=j^2=-1$$
Además se tiene:
$$ki=iji=-jii=-ji^2=j \wedge ik=iij=i^2j=-j$$
$$kj=ijj=ij^2=-i \wedge jk=jij=-ijj=-ij^2=i$$
Con todas estas relaciones ya se cumple la ley de los módulos y los números cuaterniones forman un álgebra no conmutativa.</div>edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-86572552505309993592023-04-19T17:03:00.002+02:002023-04-19T17:06:15.508+02:00Dados no transitivos (I)<div style="text-align: justify;">Sean tres dados: rojo, verde y azul con sus caras numeradas como se muestra en la imagen.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAapDd_a3rAA1mEFzMzOqGeA8pWNXOs0HO-6sMi_YERaNcVR3Rx-pDNd04ZoIgKv3zx4wglLoR8x9QVWdbymEfGZODx7we6tgPY2ZdpkZYHbIjsjO7IDvf9G82SvNN157OIMiMsiswZouHp46eSWYY5HWZJbC9nxA5Q8ylWFXGmQf1o3FVwz7ZRLMZ4g/s581/dados_1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="278" data-original-width="581" height="153" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAapDd_a3rAA1mEFzMzOqGeA8pWNXOs0HO-6sMi_YERaNcVR3Rx-pDNd04ZoIgKv3zx4wglLoR8x9QVWdbymEfGZODx7we6tgPY2ZdpkZYHbIjsjO7IDvf9G82SvNN157OIMiMsiswZouHp46eSWYY5HWZJbC9nxA5Q8ylWFXGmQf1o3FVwz7ZRLMZ4g/s320/dados_1.png" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">Si el primer jugador elige el dado verde, entonces, si el segundo jugador elige el dado rojo tiene una mayor probabilidad de ganar. Observando el diagrama de árbol:</div>
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiv3QYJfUke8l2m9hrNMllxnykiN9sGoSVEAPKhZ2826waeH2vX2kaOfZhxloLBmJiG_lPFax4E35yVH9FWsABMh6zU0yfE3Y99F6mnbjgzPI6DgkomoxnEB0__HeGLm451J_3aoEZnPvWws8b0Zrdd8Kmo2lEvf4loAjyLQVoZRdr-AiyiGuxWOu-qug/s613/dados_2.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="287" data-original-width="613" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiv3QYJfUke8l2m9hrNMllxnykiN9sGoSVEAPKhZ2826waeH2vX2kaOfZhxloLBmJiG_lPFax4E35yVH9FWsABMh6zU0yfE3Y99F6mnbjgzPI6DgkomoxnEB0__HeGLm451J_3aoEZnPvWws8b0Zrdd8Kmo2lEvf4loAjyLQVoZRdr-AiyiGuxWOu-qug/s320/dados_2.png" width="320" /></a></div>
$$p(R>V)=p(3)·p(2)+p(6)=\frac{5}{6}·\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{7}{12}$$
Análogamente el dado verde 'gana' al azul y el dado azul 'gana' al rojo:
$$p(V>A)=p(2)·p(1)+p(5)=\frac{1}{2}·\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{7}{12}$$
$$p(A>R)=p(4)·p(3)=\frac{5}{6}·\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$$
<div style="text-align: justify;">Se forma un ciclo que se visualiza en el grafo dirigido de la imagen y por tanto no se cumple la propiedad transitiva. Por lo tanto, siempre que tu oponente elija primero, siempre podrás elegir un dado con más posibilidades de ganar, con una probabilidad promedio de ganar de alrededor del 62%, aunque te gustaría que eligiera el dado rojo.
<br />
Tim Rowett presentó este juego de dados no transitivos en el <i>Gathering for Gardner V</i> (2002). Es una fundación educativa sin ánimo de lucro para mantener el legado del divulgador matemático Martin Gardner (1914-2010).
<br /><br />
Si se lanzan dos dados del mismo color entonces el ciclo se invierte.
Los dados verdes 'ganan' a los dados rojos:
$$ p(VV>RR)=p(7)·p(6)+p(10)·p(6)+p(10)·p(9)=$$
$$\frac{18}{36}·\frac{25}{36}+\frac{9}{36}·\frac{25}{36}+\frac{9}{36}·\frac{10}{36}=\frac{765}{1296}=\frac{85}{144}$$
teniendo en cuenta que los dados verdes pueden sumar 4,7,10 y los dados rojos pueden sumar 6,9,12.
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5-51mZq_4Md09qzjJMo20Rg4NYzIVDTZFwyoQugLYNlRUQsz58x5QoS0qRoAuGwvlest2uS42Psymmuoc4H-49r_T8Y6MRXVaWyrXnKctUXS_ZWA3fX4JX39E9UZjiZ9I03-1w9yguoZ0MDGKCGLLu1mDAvljrL6DPfFtMQXErEYpkghIt7DeVEfvnA/s675/dados_3.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="444" data-original-width="675" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5-51mZq_4Md09qzjJMo20Rg4NYzIVDTZFwyoQugLYNlRUQsz58x5QoS0qRoAuGwvlest2uS42Psymmuoc4H-49r_T8Y6MRXVaWyrXnKctUXS_ZWA3fX4JX39E9UZjiZ9I03-1w9yguoZ0MDGKCGLLu1mDAvljrL6DPfFtMQXErEYpkghIt7DeVEfvnA/s320/dados_3.png" width="320" /></a></div>
En el diagrama de árbol se muestra como ganan los dados verdes a los dados rojos y el grafo dirigido visualiza un ciclo de sentido inverso.
<br /><br />
Los dados azules 'ganan' a los dados verdes:
$$ p(AA>VV)=p(5)·p(4)+p(8)·p(4)+p(8)·p(7)=$$
$$\frac{10}{36}·\frac{9}{36}+\frac{25}{36}·\frac{9}{36}+\frac{25}{36}·\frac{18}{36}=\frac{765}{1296}=\frac{85}{144}$$
teniendo en cuenta que los dados azules pueden sumar 2,5,8 y los dados verdes pueden sumar 4,7,10.
<br /><br />
Los dados rojos 'ganan' a los dados azules:
$$ p(RR>AA)=p(6)·p(2)+p(6)·p(5)+p(9)+p(12)=$$
$$\frac{25}{36}·\frac{1}{36}+\frac{25}{36}·\frac{10}{36}+\frac{10}+\frac{1}{36}=\frac{671}{1296}$$
teniendo en cuenta que los dados rojos pueden sumar 6,9,12 y los dados azules pueden sumar 2,5,8.
La probabilidad media de ganar con dos dados es alrededor del 57% y la probabilidad de que los dados rojos ganen a los dados azules es muy ajustada.
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyOgc3Sb_BB7uyz6SNb9OqQRGfwNnK-SN98c281rhAlgRcfxjApdRMrWmvoSLYk-hW4Fab5eCNzNlXHs8EcNKbaP5eU7LQEGkdo_YugpMIX2agu-oz3ykVuoaWphR1qU5nUPeoIoIkuNbYOtOy7fGoAXxfEySvZ9k3QJlUxc52iF_tvPtZXaISCxHQfQ/s963/dados_no_transitivos.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="538" data-original-width="963" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyOgc3Sb_BB7uyz6SNb9OqQRGfwNnK-SN98c281rhAlgRcfxjApdRMrWmvoSLYk-hW4Fab5eCNzNlXHs8EcNKbaP5eU7LQEGkdo_YugpMIX2agu-oz3ykVuoaWphR1qU5nUPeoIoIkuNbYOtOy7fGoAXxfEySvZ9k3QJlUxc52iF_tvPtZXaISCxHQfQ/s400/dados_no_transitivos.png" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:</div>
<ul>
<li style="text-align: justify;">Se puede jugar contra el ordenador eligiendo el número de partidas y en cada tirada cualquiera de los tres colores con los botones de la izquierda.</li>
<li style="text-align: justify;">Se muestran los resultados acumulados después de cada tirada así como la gráfica correspondiente. </li>
<li style="text-align: justify;">Se puede jugar contra el ordenador eligiendo series de jugadas del tamaño deseado y siempre con un color determinado con los botones de la derecha.</li>
<li style="text-align: justify;">Se muestran los resultados acumulados después de cada serie así como la gráfica correspondiente.</li>
</ul></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://drive.google.com/file/d/1gHhnWuUfIedqWeHPqPth0ysLx0Nv8r_9/view?usp=share_link" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjpf2qzOE-u9wXrf3Yop1mHB30MBhQWqhrJe6kSVODV_XvaCLgov5ZqRUYhLrrCbvCzR1zH8qdvFH_hnpk0MZPmZcikZ9E87upultuljIq6X7WfIJhpiaDvjw4wGbgCBViUks5RyUI845kv/s1600/Excel_48.png" /></a></td></tr>
<tr align="justify"><td class="tr-caption">Descargar .XLS</td></tr>
</tbody></table></div>edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-30461729921449883932023-02-20T16:33:00.000+01:002023-02-20T16:49:40.864+01:00Otras formas de multiplicar<li>EL MÉTODO EGIPCIO</li>
<div style="text-align: justify;">Es un método por duplicación que sólo necesita saber sumar. Para multiplicar A·B, en una columna se escriben las sucesivas potencias de 2: 1,2,4,8,16,... mientras sean números menores que B. La otra columna se obtiene duplicando los valores a partir de A. Así mediante suma de potencias de 2, siempre se puede obtener el multiplicador B. Se buscan los números correspondientes de la otra columna y sumándolos se obtiene el producto A·B.
<br /><br />En la imagen se muestra un ejemplo, donde se puede ver el criterio a seguir para seleccionar las potencias de 2 necesarias para obtener el producto de A·B.</div>
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhffc8fhGAV1Xawxs871l0wfZoP_8klctmcE_39tfvRebnBV37X-l2i1tRnQly7eMOpXHySxf3XwHpU4S0l1XF5V0SmIfbVSrRIBBHu6EvDiHbCuePY4pdk3glAA5q-E-sgqMwIJF2_jxTn13BVGaj9IcAhQNOe0J_s7pocFiulx8AZmJbocppdQxo19w/s455/multiplicar_1.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="410" data-original-width="455" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhffc8fhGAV1Xawxs871l0wfZoP_8klctmcE_39tfvRebnBV37X-l2i1tRnQly7eMOpXHySxf3XwHpU4S0l1XF5V0SmIfbVSrRIBBHu6EvDiHbCuePY4pdk3glAA5q-E-sgqMwIJF2_jxTn13BVGaj9IcAhQNOe0J_s7pocFiulx8AZmJbocppdQxo19w/s320/multiplicar_1.png" width="320" /></a></div>
<li>EL MÉTODO HINDÚ</li>
<div style="text-align: justify;">Este algoritmo, también conocido como de las 'celosías' fue originado en la India y transmitido a China y Arabia llegando a Italia durante los siglos XV y XVI. Se construye una caja rectangular dividida en celdas cuadradas que a su vez están partidas por la mitad, como se observa en la figura. Encima de la
caja se sitúan las cifras del multiplicando y a la derecha las del multiplicador.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div><div style="text-align: justify;">Se multiplica cada cifra del multiplicando por cada una del multiplicador situando el resultado en la celda cuadrada correspondiente, separando las decenas de las unidades.
Se hacen las sumas diagonales que van dando las diferentes cifras del producto, teniendo en cuenta que si una suma es de dos dígitos, las decenas se añade a la suma diagonal siguiente.</div><div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDgRTQ15veoI8pwSwJlMjR5dzPMrDOVUC3mDSrUihc8UO2uWKFtDk63tMqMX-UrHSRLd3vt8KTKahHPBkXfhAtudd08YTD6mlMs8KQQtoKhBRr19WGWG96E1XfBmM7aNsinNVKn7HLWUrAfIXi4ReQiM0MnAnaz3rfYCIXBoxzRTW8jr-dizmn02zdAA/s392/multiplicar_3.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="358" data-original-width="392" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDgRTQ15veoI8pwSwJlMjR5dzPMrDOVUC3mDSrUihc8UO2uWKFtDk63tMqMX-UrHSRLd3vt8KTKahHPBkXfhAtudd08YTD6mlMs8KQQtoKhBRr19WGWG96E1XfBmM7aNsinNVKn7HLWUrAfIXi4ReQiM0MnAnaz3rfYCIXBoxzRTW8jr-dizmn02zdAA/s200/multiplicar_3.png" width="200" /></a></div>
<li>EL MÉTODO VÉDICO</li>
<div style="text-align: justify;">La matemática védica de Bhárati Krishná Tirthá es un sistema de cálculo mental desarrollado por Shri Bhárati Krishná Tirtháji a mediados del siglo XX quien dijo haberse basado en el Átharva Vedá, un antiguo texto de los Vedás (los cuatro textos más antiguos de la literatura india). Vamos a analizar la multiplicación con este método.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div>
<div style="text-align: justify;">En la figura los puntos representan cada una de las cifras, correspondiendo los de la primera línea al multiplicando y los de la segunda al multiplicador. Las líneas indican qué cifras son las que hay que multiplicar y sumar para obtener las cifras del producto. Si el resultado es de dos dígitos, la cifra de las decenas se suma a la operación siguiente.</div>
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnDWDvcP04QKPKkIqEfYv4IkVsEapopB_IyoHB56nq5BB9609HZEPh4h6NFwV6cZXde51BGOpb3Rir7IsFFecct-uiZ3KiZraWD0f-7FUWpAJWzBohBUoHZDLSI00Ut6feDHJ84XIR9PRMsTfQJm8MRFNpyEBatBZHaFrq0Lda679_F-jGaJGu9EdU1w/s482/multiplicar_2.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="482" data-original-width="308" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnDWDvcP04QKPKkIqEfYv4IkVsEapopB_IyoHB56nq5BB9609HZEPh4h6NFwV6cZXde51BGOpb3Rir7IsFFecct-uiZ3KiZraWD0f-7FUWpAJWzBohBUoHZDLSI00Ut6feDHJ84XIR9PRMsTfQJm8MRFNpyEBatBZHaFrq0Lda679_F-jGaJGu9EdU1w/s320/multiplicar_2.png" /></a></div>
<li>EL MÉTODO JAPONÉS</li>
<div style="text-align: justify;">Aunque se cree que fue inventado por los mayas, recibe este nombre porque lo utilizan los maestros japoneses para enseñar a sus alumnos. En este método se dibujan grupos de líneas verticales que indican las cifras del multiplicando y grupos de líneas horizontales que indican las cifras del multiplicador y se señalan los puntos de intersección, como se muestra en la imagen. </div>
<div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Se forman cuatro grupos de puntos (separados por las líneas discontinuas) y el número en cada grupo indica una de las cifras del producto. Se empieza con las unidades situadas en la parte inferior derecha de la imagen. Si el resultado es de dos dígitos, la cifra de las decenas se suma a la operación siguiente.</div></div>
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiB_WCWtdcttu4U5G2PtBaQjrvKvFH6-rvPggDufcuYiEvvtyjnDW94eeS9F6fm0ewsXIG2cRt6BhZj3ug5JSuTR7xR052X5F7jDy0cwuE8WQ5SBvsSDNHXQoTyz-YPlkDAjOycrO_DrHzGZNsipiZOsdRlKyVsCn9XnPOoesqV9YZiFSQrOB3G1Td1iQ/s490/multiplicar_4.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="366" data-original-width="490" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiB_WCWtdcttu4U5G2PtBaQjrvKvFH6-rvPggDufcuYiEvvtyjnDW94eeS9F6fm0ewsXIG2cRt6BhZj3ug5JSuTR7xR052X5F7jDy0cwuE8WQ5SBvsSDNHXQoTyz-YPlkDAjOycrO_DrHzGZNsipiZOsdRlKyVsCn9XnPOoesqV9YZiFSQrOB3G1Td1iQ/s320/multiplicar_4.png" width="320" /></a></div>edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-4730118628587997982023-01-06T15:35:00.000+01:002023-01-06T15:35:48.731+01:00Disección de Dudeney (II)<div style="text-align: justify;">La forma de dividir un triángulo equilátero en cuatro polígonos (2 triángulos y 2 cuadriláteros) para con ellos construir un cuadrado también se conoce como el 'Problema del Mercero" (<i>Haberdasher Problem</i>). En esta nueva entrada se muestra otra forma de obtener la 'Disección de Dudeney':</div>
<ul>
<li style="text-align: justify;">Se construye el triángulo equilátero ABC</li>
<li style="text-align: justify;">Se obtienen los puntos medios D y E de los lados AB y BC.</li>
<li style="text-align: justify;">Se trazan las rectas perpendiculares al lado AC que pasan por D y E.</li>
<li style="text-align: justify;"> Se obtienen los puntos de intersección F y G sobre el lado AC.</li>
<li style="text-align: justify;"> Se traza el segmento EF.</li>
<li style="text-align: justify;"> Se trazan las perpendiculares desde D y G sobre el segmento EF.</li>
<li style="text-align: justify;"> Se obtienen los puntos de interesección H e I.</li>
</ul><div style="text-align: justify;">Si llamamos <i>a</i> al lado del triángulo, se tiene que su área es:
$$A_t=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$
Como ha de ser igual al área de un cuadrado:
$$A_t=A_c \rightarrow \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=l^2 \rightarrow l=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}a$$
<iframe height="369px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wvdmdywa/width/540/height/369/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Disección de Dudeney" width="540px"> </iframe></div><ul><li style="text-align: justify;">Moviendo los deslizadores se puede convertir el triángulo en un cuadrado.</li>
<li style="text-align: justify;">Dada la medida del lado del triángulo (AB) y del segmento (GI) se puede comprobar que estos valores están de acuerdo con que el segmento es la mitad del lado del cuadrado.</li></ul>
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2LQmmLYdTCwyDePGUPKwG7PVXYu7M8kNmIN4j-cBmRGKqnecL3iRHhLP0oslpfk5Ar8YIe3iYYhRruK5p3ntS9nWmxeiGM1GHOCTN8VVzYnk2F-Ec4csBZGn55gLkRxnJBllrxfZONcWKbwGNJ-YwPApZ6egasNNqFI_hmZybWwPtzy1W3amXt9r1nw/s418/haberdasher_imagen.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="369" data-original-width="418" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2LQmmLYdTCwyDePGUPKwG7PVXYu7M8kNmIN4j-cBmRGKqnecL3iRHhLP0oslpfk5Ar8YIe3iYYhRruK5p3ntS9nWmxeiGM1GHOCTN8VVzYnk2F-Ec4csBZGn55gLkRxnJBllrxfZONcWKbwGNJ-YwPApZ6egasNNqFI_hmZybWwPtzy1W3amXt9r1nw/s320/haberdasher_imagen.png" width="320" /></a></div><div style="text-align: justify;">Veamos por qué el segmento IG es la mitad del lado del cuadrado. Simplificamos el cálculo tomando un triángulo equilátero de lado a=2:
$$A_t=A_c \rightarrow \frac{\sqrt{3}}{4}·2^2=l^2 \rightarrow l=\sqrt[4]{3}$$</div><ul>
<li style="text-align: justify;">Se prolonga la altura AE hasta J, de forma que EJ=EB=1 y K es el punto medio de AJ</li>
<li style="text-align: justify;">Se traza el círculo de centro K y radio AK:
$$AK=\frac{1}{2}(AE+EJ)=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$
</li><li style="text-align: justify;"> Se prolonga BE hasta M y se obtiene el triángulo EMK donde:
$$MK=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$
$$EK=AE-AK=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}+1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2} $$ </li>
<li style="text-align: justify;">Aplicando el teorema de Pitágoras:
$$EM=\sqrt{\frac{\sqrt{3}+1}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}-1}{2})^2}=\sqrt[4]{3} $$ </li><div style="text-align: justify;">que es el tamaño del lado del cuadrado.}</div><li style="text-align: justify;"> Se traza el círculo de centro E y radio EF=EM. Y si 'alfa' es el ángulo EFC, aplicando el teorema del seno:
$$sen(\alpha)=\frac{sen(60)·EC}{EF}=\frac{\sqrt{3}/2·1}{\sqrt[4]{3}}=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}$$
</li>
<li style="text-align: justify;">FG=EC=1 y GI es perpendicular a FE:
$$GI=FG·sen(\alpha)=1·\frac{\sqrt[4]{3}}{2}=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}$$</li>
<ul></ul></ul>edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-57730007390759884112022-11-17T20:00:00.004+01:002022-11-17T20:00:54.109+01:00Sucesiones de 'Somos'<div style="text-align: justify;">Estas sucesiones deben su nombre a su creador, el matemático americano Michael Somos.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"> Con la relación de recurrencia:
$$a_n=a_{n-1} \wedge a_0=1$$
se obtiene la sucesión <i>Somos-1</i>:
$$1,1,1,1,1,\ldots$$</div><div style="text-align: justify;">Con la relación de recurrencia:</div><div style="text-align: justify;">$$a_n=\frac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}} \wedge a_0,a_1=1$$
se obtiene la sucesión <i>Somos-2</i>:
$$1,1,1,1,1,\ldots$$</div><div style="text-align: justify;">Con la relación de recurrencia:</div><div style="text-align: justify;">$$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-2}}{a_{n-3}} \wedge a_0,a_1,a_2=1$$
se obtiene la sucesión <i>Somos-3</i>:
$$1,1,1,1,1,\ldots$$</div><div style="text-align: justify;">Vemos que los elementos semilla de la sucesión son siempre 1 y que el número de éstos coincide con el orden de la sucesión y que todas la sucesiones son iguales.</div>
<div style="text-align: justify;">Con la relación de recurrencia:</div><div style="text-align: justify;">$$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-3}+a_n^2}{a_{n-4}} \wedge a_0,a_1,a_2,a_3=1$$</div><div style="text-align: justify;"> se obtiene la sucesión <i>Somos-4</i>: </div><div style="text-align: justify;">$$1,1,1,1,1,2,7,23,59,314,1529,8209,83313,620297,7869898\ldots$$</div><div style="text-align: justify;">Se observa que la sucesión crece muy rápido pero siempre con valores enteros a pesar que en la fórmula de recurrencia hay un denominador.</div>
<div style="text-align: justify;">Con la relación de recurrencia:</div><div style="text-align: justify;">$$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-4}+a_{n-2}a_{n-3}}{a_{n-5}} \wedge a_0,a_1,a_2,a_3,a_4=1$$
se obtiene la sucesión <i>Somos-5</i>:</div><div style="text-align: justify;">$$1,1,1,1,1,2,3,5,11,37,83,274,1217,6161,22823,165713 \ldots$$</div><div style="text-align: justify;">La sucesión <i>Somos-6</i> es:</div>
<div style="text-align: justify;">$$1,1,1,1,1,1,3,5,9,23,75,37,421,1103,5047,41873,281527 \ldots$$</div>
<div style="text-align: justify;">La sucesión <i>Somos-7</i> es:</div><div style="text-align: justify;">$$1,1,1,1,1,1,,3,5,9,17,41,137,769,1925,7203,340821 \ldots$$</div><div style="text-align: justify;">Vemos que estas sucesiones siguen dando siempre valores enteros. ¿Se romperá esto alguna vez y aparecerá un número fraccionario?</div><div style="text-align: justify;">Con la relación de recurrencia:</div><div style="text-align: justify;">$$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-7}+a_{n-2}a_{n-6}+a_{n-3}a_{n-5}+a_{n-4}^2a}{a_{n-8}} \wedge a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5=1$$</div><div style="text-align: justify;">se obtiene la sucesión <i>Somos-8</i>:</div>
<div style="text-align: justify;">$$1,1,1,1,1,1,1,1,4,7,13,25,61,187,775,5827,14815, \ldots$$</div><div style="text-align: justify;">Calculamos el siguiente término:</div><div style="text-align: justify;">$$a_{17}=\frac{a_{16}a_{10}+a_{15}a_{11}+a_{14}a_{12}+a_{13}^2}{a_9}=$$
$$\frac{14815\cdot 13+5827 \cdot 25+775 \cdot 61+ 187^2}{7}=\frac{420514}{7}$$</div><div style="text-align: justify;">Hemos tenido que llegar a es término de <i>Somos-8</i> para que aparezca un número no entero. </div><div style="text-align: justify;"> Todas estas sucesiones se deducen de una fórmula general:
$$a_n=\frac{\sum_{i=1}^{\lfloor k/2 \rfloor}a_{n-i}a_{n-(k-i)}}{a_{n-k}}$$
$$a_i=1 \hspace{0.5 cm}i=0,\ldots k-1$$
El símbolo superior del sumatorio indica 'parte entera'.
Las siguientes sucesiones <i>Somos</i> obtienen el primer término fraccionario en posiciones cada vez más avanzadas:
$$k=9,10,11, 12,13,14,15, \ldots \rightarrow a_{19},a_{20},a_{22},a_{24},a_{27},a_{28},a_{30},\ldots$$</div>edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-88437125474307520432022-10-10T08:19:00.000+02:002022-10-10T08:19:01.916+02:00Teorema de Von Schoonen<div style="text-align: justify;">Frans van Schooten (1615-1660) fue un matemático holandés que debe su fama al desarrollo y explicación de las nuevas ideas matemáticas contenidas en La Géométrie de René Descartes que dieron origen a la geometría analítica. El teorema, que lleva su nombre y es poco conocido, describe una propiedad de los triángulos equiláteros:</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"> <i>Para un triángulo equilátero ABC con un punto D en su circuncentro, los segmentos AD, BD y CD que unen D con cada uno de los vértices del triángulo, verifican que el segmento mayor es igual a la suma de los otros dos.</i></div>
<br /><div style="text-align: center;"><iframe height="370px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fnwnm38t/width/534/height/400/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Teorema de Schoonen" width="534px"> </iframe></div>
<ul><li>Los puntos A y B permiten cambiar la posición y el tamaño de la figura.</li>
<li> El punto D se puede desplazar por la circunferencia.
</li><li>Se puede ver la construcción 'paso a paso'.</li></ul>
El teorema es consecuencia del teorema de Ptolomeo para cuadriláteros inscritos en una circunferencia (cuadriláteros cíclicos):
$$|BC| \cdot |DA|=|AC| \cdot |DB|+|AB| \cdot |DC| \rightarrow |DA|= |DB|+ |DC|$$
siendo |<i>DA</i>| el segmento mayor y ser el triángulo equilátero.edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-51466936770254013542022-08-29T17:32:00.006+02:002022-08-29T17:32:52.297+02:00Modelos de urnas<div style="text-align: justify;">Un modelo de urnas se construye a partir de un conjunto de urnas que contengan bolas de diferentes colores. Luego se establecen unas reglas que fijan el procedimiento de añadir o retirar bolas de las urnas en función del color de la bola extraída. Dentro de los modelos de urnas tienen una importancia especial los llamados "Modelos por Contagio", esto es, modelos donde la ocurrencia de un suceso tiene efecto de cambiar la probabilidad de las posteriores ocurrencias de ese mismo suceso. </div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Una urna contiene <i>N</i> bolas, <i>a</i> rojas y <i>b</i> verdes; se extrae al azar una bola, se reemplaza y se añaden <i>c </i>bolas del mismo color y <i>d</i> bolas del color contrario. Se hace una nueva extracción aleatoria de la urna (que ahora contiene <i>a+b+c+d</i> bolas) y se repite el procedimiento sucesivamente. </div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Modelo directo:</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Cuando se fija el número <i>n</i> de repeticiones del experimento y se conoce como el Modelo de Bernard Frieman que lo propuso en 1947. Viene definido por los siguientes parámetros:</div><div style="text-align: center;">$$(a,b,c,d,n)$$</div><div style="text-align: justify;">El Modelo de Pólya es un caso particular del modelo anterior cuando el parámetro <i>d=0</i>, y viene definido por los parámetros:</div><div style="text-align: justify;"><span style="text-align: center;">$$(a,b,c,0,n)$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="text-align: left;">La probabilidad de que la primera bola extraída sea roja es:</span></div><div>$$p(r_1)=\frac{a}{N}$$</div><div><div>La probabilidad de que las dos primera bolas extraídas sean rojas es:</div><div>$$p(r_1,r_2)=\frac{a}{N}\frac{a+c}{N+c}$$</div><div> La }de que las tres primera bolas extraídas sean rojas es:</div><div>$$p(r_1,r_2,r_3)=\frac{a}{N}\frac{a+c}{N+c}\frac{a+2c}{N+2c}$$</div></div><div><div> La probabilidad de que las k primeras bolas extraídas sean rojas es:</div><div>$$p(r_1,r_2,\dots r_k)=\frac{a}{N}\frac{a+c}{N+c}\dots\frac{a+(k-1)c}{N+(k-1)c}=\frac{a^{(k,c)}}{N^{(k,c)}}$$</div></div><div>que es la forma simbólica y abreviada de expresar el productorio.</div><div>Si además se quiere que en las restantes extracciones las bolas sean verdes:</div><div>$$p(r_1,r_2,\dots r_k,v_{k+1},v_{k+2}\dots v_n)=$$</div><div>$$\frac{a^{(k,c)}}{N^{(k,c)}}\frac{N-a}{N+kc}\frac{N-a+c}{N+(k+1)c}\dots \frac{N-a+(n-k-1)c}{N+(n-1)c}=$$</div><div>$$\frac{a^{(k,c)}(N-a)^{(n-k,c)}}{N^{(n,c)}}$$</div><div>Como esta probabilidad no depende del orden en que aparecen las <i>k</i> bolas rojas y las <i>n-k</i> bolas verdes, la fórmula final será:</div><div>$$\binom{n}{k}\frac{a^{(k,c)}(N-a)^{(n-k,c)}}{N^{(n,c)}}$$</div>
Dependiendo del valor del parámetro <i>c</i> se tiene:
<ul>
<li style="text-align: justify;">Si <i>c>0</i> el éxito y el fracaso son contagiosos, en el sentido de que un éxito o un fracaso aumenta la probabilidad de un futuro éxito o fracaso, respectivamente.</li>
<li style="text-align: justify;">Si <i>c=0</i> los sucesos son independientes y no se alteran las condiciones iniciales.</li>
<li style="text-align: justify;">Si <i>c<0</i> el éxito disminuye la probabilidad de un nuevo éxito y el fracaso disminuye la probabilidad de un nuevo fracaso.</li>
</ul>
Las distribuciones de probabilidad que obtienen según los valores del parámetro <i>c</i> son:
<ul>
<li style="text-align: justify;">Si <i>c=-1</i>: Distribución hipergeométrica.</li><li style="text-align: justify;">Si <i>c=0</i>: Distribución binomial.</li><li style="text-align: justify;">Si <i>c=1</i>: Distribución hipergeométrica negativa.</li><li style="text-align: justify;">Si <i>c=a=N-a</i>: Distribución uniforme discreta.</li>
</ul>
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj1onLWkbg0xRRDoIR7KEn-CFP5Kr8PFgxnjRW1gqLn7c5y_en9GcX5DnyRLTByhjO20ZhzYUUygeU0qSbIgxh5bo6dbNqVpSlG6E1GeViquvuS4To9WfHEwis8dpQJkxUjgBIBgkMxOb8lyepELOHovsz0OjyuuI502y1A0IG8eoEzQOqgD6gNaFC6wg/s1024/friedman.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="609" data-original-width="1024" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj1onLWkbg0xRRDoIR7KEn-CFP5Kr8PFgxnjRW1gqLn7c5y_en9GcX5DnyRLTByhjO20ZhzYUUygeU0qSbIgxh5bo6dbNqVpSlG6E1GeViquvuS4To9WfHEwis8dpQJkxUjgBIBgkMxOb8lyepELOHovsz0OjyuuI502y1A0IG8eoEzQOqgD6gNaFC6wg/s320/friedman.png" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:</div>
<ul>
<li style="text-align: justify;">Se puede elegir elegir el número de bolas negras 'N' y bolas rojas 'R' iniciales.</li>
<li style="text-align: justify;">Se pueden modificar los parámetros 'a' y 'b' de bolas de cada color que se añaden en cada iteración.</li>
<li style="text-align: justify;">Se puede fijar el número de iteraciones 'k'.</li>
<li style="text-align: justify;">Se muestran los valores y la gráfica de las sucesivas iteraciones. </li><li style="text-align: justify;">Se muestran el número de bolas negras y rojas finales y su proporción.</li>
</ul>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://drive.google.com/file/d/1Og9VJIfJS_dtLim4DpDG1XBnpRUS42f7/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjpf2qzOE-u9wXrf3Yop1mHB30MBhQWqhrJe6kSVODV_XvaCLgov5ZqRUYhLrrCbvCzR1zH8qdvFH_hnpk0MZPmZcikZ9E87upultuljIq6X7WfIJhpiaDvjw4wGbgCBViUks5RyUI845kv/s1600/Excel_48.png" /></a></td></tr>
<tr align="justify"><td class="tr-caption">Descargar .XLS</td></tr>
</tbody></table></div>edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-40576196192132987272022-06-17T18:38:00.005+02:002022-08-25T21:58:10.294+02:00Selectividad Ciencias Sociales-Curso 2021-2022<div style="text-align: justify;">
A continuación aparecen los
enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la
Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio
para el bachillerato de ciencias sociales del curso 21/22.</div>
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://drive.google.com/file/d/1mLI83LRDGrtfoDMZvhhN49Zms7tuoCzE/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a><a href="https://drive.google.com/file/d/1vKOLT6KvkYKDKWKrD15iA1qnV5ORo4-d/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Enunciados y soluciones de junio</td></tr>
</tbody></table>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://drive.google.com/file/d/1S_WpgFWbVfCPjkByQLvrqxZS7GqhzZPy/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a><a href="https://drive.google.com/file/d/1G9s-UBVaQrkfSCRiiXMyvj6RwbIy98s9/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Enunciados y soluciones de julio</td></tr>
</tbody></table>edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-11315553464169694622022-06-15T16:07:00.009+02:002022-07-20T20:39:08.425+02:00Selectividad Ciencias-Curso 2021-2022<div style="text-align: justify;">
A continuación aparecen los
enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la
Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio
para el bachillerato de ciencias del curso 21/22.</div>
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://drive.google.com/file/d/19tuXxgo0VZlU5Bh3lYw0aYotMY8jmnS_/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a><a href="https://drive.google.com/file/d/1ApzbzWlWrdT8GfT6cjKQ9ywJbUM67D0p/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Enunciados y soluciones de junio</td></tr>
</tbody></table>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://drive.google.com/file/d/12EYjX92U3OqurhggERiC1Y4Sz79iiEzi/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a><a href="https://drive.google.com/file/d/1GhUA1IGb-zpImX7ZpZAFCE8N4f4wuPu0/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Enunciados y soluciones de julio</td></tr>
</tbody></table>edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-58794949963814017642022-05-27T11:00:00.000+02:002022-05-27T22:03:39.604+02:00En el espíritu de Wasan (II)<div style="text-align: justify;">Podemos añadir que el <i>wasan</i> se desarrollo en el período Tokugawa (1603-1868) cuando el país estaba aislado de las influencias europeas. Al comienzo del período imperial (1868-1945), el país se abrió a occidente adoptando su matemática, lo que supuso el declive de las ideas utilizadas en el <i>wasan</i>.</div><p><span style="text-align: justify;">Veamos otro ejemplo sencillo que también utiliza el teorema de Pitágoras.</span></p>
<p style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;"><i>Una circunferencia es tangente interior a una circunferencia mayor y a su diámetro. Construir la circunferencia tangente a ambas y a ese diámetro y expresar su radio en función de la circunferencia mayor.</i></span></p>
<p style="text-align: justify;">Sea R el radio de la circunferencia mediana de centro E y r el radio del la circunferencia buscada. En el triángulo ADE, aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene:</p>
<p style="text-align: justify;">$$(R+r)^2=AD^2+(R-r)^2 \rightarrow 4Rr=AD^2$$</p>
<p style="text-align: justify;">De forma análoga, en el triángulo ABC se tiene:</p>
<p style="text-align: justify;">$$(2R-r)^2=BC^2+r^2 \rightarrow 4R^2-4Rr=BC^2$$</p>
<p style="text-align: justify;">Como AD=BC se tiene que:</p><p style="text-align: justify;">$$4R^2-4Rr=4Rr \rightarrow 4R^2=8Rr \rightarrow R=2r$$</p>
<p style="text-align: justify;">Entonces el centro A, del la circunferencia buscada, se puede obtener como intersección de dos circunferencias de centros C y E y de radio 3R/2.</p>
<iframe scrolling="no" title="El espíritu de Wasan (II)" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/tutqjh7p/width/535/height/400/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="535px" height="371px" style="border:0px;"> </iframe>
<ul><li>Los puntos azules permiten cambiar la posición y el tamaño de la figura.</li>
<li>Se puede ver la construcción 'paso a paso'.</li></ul>edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-52708919096195031222022-04-18T16:19:00.001+02:002022-05-27T22:05:50.258+02:00En el espíritu de Wasan (I)<p style="text-align: justify;">Hay una palabra, <i>wasan</i>, que utilizan los japoneses para referirse a sus matemáticas frente a <i>yosan</i> o matemáticas occidentales. Aunque el <i>wasan</i> se debe a varios matemáticos japoneses, los iniciadores son Kambei Mori (principio siglo 17) y Yoshida Mitsuyoshi (1598-1672). Veamos un ejemplo sencillo que utiliza el teorema de Pitágoras.</p>
<p style="text-align: justify;"><i>Los centros A y B de dos círcunferencias iguales están en la circunferencia de la otra. Construir una circunferencia tangente a la recta AB, a la circunferencia de centro A interiormente y a la circunferencia de centro B exteriormente.</i></p>
<p style="text-align: justify;">Llamamos AB=a, AF=x y GF=r (el radio de la circunferencia buscada). En el triángulo BFG, aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene:</p>
<p style="text-align: justify;">$$(a+r)^2=r^2+(a+x)^2$$</p>
<p style="text-align: justify;">y , de forma análoga, en el triángulo AFG se cumple:</p>
<p style="text-align: justify;">$$ (a-r)^2=r^2+x^2$$</p><p style="text-align: justify;">
Simplificando ambas ecuaciones y restando se obtiene:</p>
<p style="text-align: justify;">$$4ar=a^2+2ax \rightarrow x+ a/2=2r$$</p>
<p style="text-align: justify;">Significa que el lado EF del cuadrado ACDE, siendo C el punto medio del segmento AB, es un diámetro de la circunferencia buscada. Por tanto es fácil su construcción.</p>
<iframe height="365px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/xfgxkb4m/width/533/height/400/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Espíritu de Wasan (I)" width="533px"> </iframe>
<ul><li>Los puntos A y B permiten cambiar la posición y el tamaño de la figura.</li><li>Se puede ver la construcción 'paso a paso'.</li></ul>edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-87286948196104714522022-02-28T16:15:00.001+01:002022-02-28T16:15:00.166+01:00Método de Lill<p style="text-align: justify;">El ingeniero y oficial del ejército austríaco Eduard Lill (1830-1900) ideó en matemáticas un procedimiento gráfico para determinar las raíces reales de un polinomio, que en esencia es una representación gráfica del algoritmo de Horner. Publicó su invento en 1867 en la revista francesa 'Nouvelles Annales de Mathématiques', y Charles Hermite proporcionó una descripción del mismo para el 'Compes rendus' del mismo año. Más tarde se conoció como el método de Lill.</p>
<p style="text-align: justify;">El método de Lill implica expresar los coeficientes de un polinomio como magnitudes de una secuencia de segmentos en ángulos rectos entre sí. Encontrar las raíces se convierte en la realización de un problema geométrico. Vamos a explicarlo con el siguiente polinomio:</p>
<p style="text-align: justify;">
$$p(x)=1x^3+5x^2+7x+3$$</p><p style="text-align: justify;">Siempre se puede hacer que el coeficiente de la potencia más alta sea la unidad, basta dividir todo el polinomio por ese valor. Se construye un primer segmento AB=1 y a continuación se construyen los segmentos perpendiculares correspondientes a los demás coeficientes del polinomio de la siguiente forma:</p>
<p style="text-align: justify;">Hacia arriba BD=5, hacia la izquierda DF=7 y hacia abajo FH=3 porque todos los coeficientes son positivos. Cuando son negativos, se construyen en el sentido contrario a partir del extremo B. Se traza un segmento AC con el extremo en un punto cualquiera del segmento BD. Se traza el segmento CE perpendicular a AC y el segmento EG perpendicular a CE.</p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiWHnwzpC3_uRJJJgrgK1oHzYckK5APC_P8XjTXycI_D1iBTsAv-qvj8MzxRumKkDOVOIDwGtWWwbvifF0WKtb__Z352NiwT5h5PtPZvvd8FXwvP90w8Dg3OQvTpe_blJRx3bEIOLQjpDd/s443/metodo_lill.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="325" data-original-width="443" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiWHnwzpC3_uRJJJgrgK1oHzYckK5APC_P8XjTXycI_D1iBTsAv-qvj8MzxRumKkDOVOIDwGtWWwbvifF0WKtb__Z352NiwT5h5PtPZvvd8FXwvP90w8Dg3OQvTpe_blJRx3bEIOLQjpDd/s320/metodo_lill.png" width="320" /></a></div>
<p style="text-align: justify;">$$tg (\alpha)=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{1}=BC=-x$$</p>
<p style="text-align: justify;">$$tg (\alpha)=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{1}=BC=-x \rightarrow CD=5-(-x)=5+x$$</p>
<p style="text-align: justify;">$$tg (\alpha)=\frac{DE}{CD}=\frac{DE}{5+x}=-x \rightarrow DE=-x(5+x) \rightarrow EF=7+x(5+x)$$</p>
<p style="text-align: justify;">$$tg (\alpha)=\frac{FG}{EF}=\frac{FG}{7+x(5+x)}=-x \rightarrow FG=-x(7+x(5+x)) \rightarrow $$</p>
<p style="text-align: justify;">$$GH=3+x(7+x(5+x))=3+x(7+5x+x^2)=3+7x+5x^2+x^3$$</p>
Es decir, obtenemos el polinomio pero expresado según el algoritmo de Horner.
<br>
Si se divide el polinomio por x+2, se tiene:
<p style="text-align: justify;">$$\frac{1x^3+5x^2+7x+3}{x+2}=1x^2+3x+1+\frac{1}{x+2}$$</p><div style="text-align: justify;">Si se observa la figura que AB=1, CD=3 y EF=1 coinciden con los coeficientes del polinomio cociente; GH=1 es el resto de la división y BC=2 es término independiente del divisor.
Para obtener una raíz debemos situar el punto C de forma que la construcción de segmentos perpediculares finalice en el punto H. No hay resto y la división es exacta.
<div style="text-align: justify;">$$p(x)=1x^3+5x^2+7x+3=(x+1)^2(x+2)$$</div>
<div style="text-align: justify;">El polinomio tiene tres raíces (una de ellas doble) y se pueden obtener gráficamente.</div><br>
<iframe scrolling="no" title="Método de Lill (I)" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/vz2e4ckp/width/526/height/370/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="526px" height="370px" style="border:0px;"> </iframe>
<ul>
<li style="text-align: justify;">Moviendo el punto azul se obtienen dos raíces diferentes.</li>
<li style="text-align: justify;">Se puede ver o no la obtención de la otra raíz doble.</li>
<li style="text-align: justify;">Moviendo el punto rojo se obtiene la segunda raíz doble.</li>
<li style="text-align: justify;">Se puede ver la construcción 'paso a paso'.</li>
</ul>
</div><div style="text-align: justify;">Desarrollando las potencias siguientes se observa que los coeficientes de los polinomios son los números combinatorios correspondientes al triángulo de Pascal.</div>
<div style="text-align: justify;">$$(x+1)^0=1$$</div><div style="text-align: justify;">$$(x+1)^2=1x^2+2x+1$$</div><div style="text-align: justify;">$$(x+1)^3=1x^3+3x^2+3x^1+1$$</div><div style="text-align: justify;">$$(x+1)^4=1x^4+4x^3+6x^2+4x+1$$</div><div style="text-align: justify;">$$(x+1)^5=1x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$$</div><div style="text-align: justify;"></div>
<div style="text-align: justify;">Podemos obtener, de forma gráfica e iterativa, la solución de cada polinomio y mostrando los segmentos cuyos tamaños son los diferentes números combinatorios.</div><br>
<iframe scrolling="no" title="Triángulo de Pascal y Método de Lill" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dcpejxuj/width/527/height/400/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="527px" height="400px" style="border:0px;"> </iframe>
<ul>
<li style="text-align: justify;">Se puede ver la construcción 'paso a paso'.</li>
</ul>
edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com0HGG5+MQ Morata, España37.5767464 -1.49055837.5228625147301074 -36.646808300000004 67.630630285269888 33.665691699999996tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-35454534854593047822022-01-21T16:27:00.004+01:002022-01-21T16:29:01.232+01:00Períodos de Pisano<div style="text-align: justify;">Leonardo de Pisa o Leonardo Pisano es conocido como Fibonacci, hijo de Bonacci, que era el apodo de su padre. De ahí el nombre de Períodos de Pisano a los obtenidos de la sucesión de Fibonacci.
<br />
La operación módulo da el resto de una división entera:
$$14 \mod 3 =2$$
donde 2 es el resto de dividir 14 entre 3.</div><br />
Para la sucesión de Fibonacci:
$$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181...$$
la sucesión de restos, es siempre periódica:
$$F_i \mod n$$
<ul>
<li>restos modulo 2:
$$0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1...$$</li>
<li>restos modulo 3:
$$0,1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1...$$</li>
<li>restos modulo 4:
$$0,1,1,2,3,1,0,1,1,3,2,1,0,1,1,3,2,1,0,1,1,2,3,1...$$</li>
<li>restos modulo 5:
$$0,1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,1,1,2...$$</li>
<li>restos modulo 6:
$$0,1,1,2,3,5,2,1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1...$$</li>
<li>restos modulo 7:
$$0,1,1,2,3,5,1,6,1,0,6,6,5,4,2,6,1,0,1,1,2,3,5,1...$$</li>
<li>restos modulo 8:
$$0,1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0,1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1...$$</li>
<li>restos modulo 9:
$$0,1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,0,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1...$$</li>
</ul>
El período en función del divisor n se indica:
$$\pi(n)$$
$$\pi(2)=3, \pi(3)=8,\pi(4)=6,\pi(5)=20$$
$$\pi(6)=24, \pi(7)=16, \pi(8)=12, \pi(9)=24$$
Conforme aumenta el valor del divisor, en general, tiende a aumentar el período. Salvo el caso de <i>n=3</i> todos los períodos son un número par.
Si dos números,<i>m</i> y <i>n</i>, son coprimos:
$$\pi(m\cdot n)=\pi(m)\cdot\pi(n)\rightarrow \pi(3)\cdot\pi(4)=8\cdot 6=24=\pi(12)$$
<div>Para las potencias de 2:</div>
<div>$$\pi(n)=\frac{3n}{2}\rightarrow \pi(2)=3, \pi(4)=6, \pi(8)=12$$</div>Para las potencias de 5:
<div>$$\pi(n)=4n\rightarrow \pi(5)=20$$</div><div style="text-align: justify;">Considerando la sucesión de restos módulo 3, dibujamos en un circulo tres puntos equdiastantes correspondientes a los tres restos posibles. Siguiendo la sucesión, se une con un segmento cada punto de un término con el punto del término siguiente (en el caso de coincidir dos términos consecutivos no se traza ningún segmento).
En la imagen se muestra como se completa la figura.
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhyk9gxz5UEd_ZGTnngwcmDzGPaXqTl4RYBuw8WzuJLTnM_f8nohZxzM-ru4nFDK4x2zymlv6vTH8ZdgdLo-4vur170pU177kgp24qbXgdxlCTQt_mKAW0ITbYnc6sGyNaAZcJWk37f5F5b/s395/pisano_2.png" style="display: block; padding: 1em 0; text-align: center; "><img alt="" border="0" width="320" data-original-height="263" data-original-width="395" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhyk9gxz5UEd_ZGTnngwcmDzGPaXqTl4RYBuw8WzuJLTnM_f8nohZxzM-ru4nFDK4x2zymlv6vTH8ZdgdLo-4vur170pU177kgp24qbXgdxlCTQt_mKAW0ITbYnc6sGyNaAZcJWk37f5F5b/s320/pisano_2.png"/></a></div>
En la imagen se muestran las figuras obtenidas para las sucesiones de módulo 2, 3,4,5,6,7,8 y 9.
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh6cwSu_NVwP3Sjkn2KsPMiCc9FrEYap1JOOT3JGOR5ZeRSvaGwWHIqNOxBC3h8Vb7jDkp3ralguybFnVOSom-TdCQAluCkzH_NvWrvWwx86Wf30-4xJnu2H1Rl0MwxIuo1dDf908klZOMc/s614/pisano.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="316" data-original-width="614" height="206" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh6cwSu_NVwP3Sjkn2KsPMiCc9FrEYap1JOOT3JGOR5ZeRSvaGwWHIqNOxBC3h8Vb7jDkp3ralguybFnVOSom-TdCQAluCkzH_NvWrvWwx86Wf30-4xJnu2H1Rl0MwxIuo1dDf908klZOMc/w400-h206/pisano.png" width="400" /></a></div><div style="text-align: justify;">Nos fijamos en el número de ceros que tiene cada ciclo: 2(1), 3(2), 4(1), 5(4), 6(2), 7(2), 8(2) y 9(2). Si tiene 1 cero hay asimetría, si tiene 4 ceros tiene simetría y si tiene 2 ceros puede o no tener simetría.
<br>
En el caso de módulo 10, el periodo es:
$$\pi(10)=\pi(2)\cdot\pi(5)=3\cdot 20=60$$
y el ciclo tiene 4 ceros y por tanto la figura es es simétrica.<br><br>
<iframe height="403px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/akxwvbjm/width/536/height/410/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Períodos de Pisano" width="536px"> </iframe></div>
<ul>
<li style="text-align: justify;">Se puede ver la construcción 'paso a paso'.</li>
</ul>
Si nos fijamos en los términos de la sucesión de Fibonacci: ...8, 13, 21, 34, 55, 89,... las figuras obtenidas de los restos módulo 8, 21, 55 son idénticas y lo mismo ocurre con las figuras de los restos módulo 13, 34, 89.edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-31695310596784813782021-11-25T13:19:00.002+01:002021-11-25T13:23:03.493+01:00La disección de Dudeney<div style="text-align: justify;">En general, una disección geométrica consiste en cortar una figura geométrica dada, como un triángulo, un cuadrado u otra figura más compleja, en una serie de piezas que reordenadas dan lugar a otra figura geométrica.
Como ejemplo de disección geométrica podemos mostrar la solución a uno de los problemas que el matemático recreativo británico Henry E. Dudeney (1857-1930) comenta en su libro <i>Amusements in mathematics</i> (1917). El problema consiste en saber cómo dividir un cuadrado en cuatro partes para generar una cruz griega, es decir, una cruz con los cuatro brazos iguales. Las soluciones mostradas en el libro, que podían realizarse con dos cortes, eran:
</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrkMiqWAhwsWbXdDFAo-jBL_0obdqep58CtScJQccY45YArouNC8cZPBmOCMhJ09AcP7vucYkH16O_5O5h8_2PXdV3kCuB7FH1h5p6XrnY8Y9D112IQbfKOGp27QMIcVSZbfCYrKe44svx/s867/dudeney.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="867" data-original-width="699" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrkMiqWAhwsWbXdDFAo-jBL_0obdqep58CtScJQccY45YArouNC8cZPBmOCMhJ09AcP7vucYkH16O_5O5h8_2PXdV3kCuB7FH1h5p6XrnY8Y9D112IQbfKOGp27QMIcVSZbfCYrKe44svx/s320/dudeney.jpg" width="258" /></a></div><div style="text-align: justify;"></div>
<div style="text-align: justify;">La conocida como disección de Dudeney, de un triángulo equilátero en un cuadrado, aparece en el libro de Henry E. Dudeney, <i>The Canterbury Puzzles</i>como “el acertijo del mercero”:</div>
<p style="text-align: justify;"><span style="font-family: trebuchet; font-size: medium;">Enseñó [el mercero] un trozo de tela con forma de triángulo equilátero perfecto, como se ve en la ilustración y dijo: “¿Es alguno de vosotros diestro en el corte de género? Estimo que no. Cada hombre a su oficio, y el estudioso puede aprender del lacayo, y el sabio del necio. Mostradme, pues, si podéis, de qué manera puede cortarse este trozo de género en cuatro piezas, para que puedan reunirse y formar un cuadrado perfecto”.</span></p>
<p style="text-align: justify;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQkFlHkTLziMrH3Pn9S5Xq67YfbIoU3nCvkvGQJgVVUB_CKaec7EZpnVn1sSGPMzaKRR-lWrfDhjJ-LKWS0aoeiT6pu4Q-9dY6NASQpIJrkYAFR6p0vKTCu9XqqFrL_o4N2Aim_Ni-NrT5/s697/dudeney_2.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="572" data-original-width="697" height="263" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQkFlHkTLziMrH3Pn9S5Xq67YfbIoU3nCvkvGQJgVVUB_CKaec7EZpnVn1sSGPMzaKRR-lWrfDhjJ-LKWS0aoeiT6pu4Q-9dY6NASQpIJrkYAFR6p0vKTCu9XqqFrL_o4N2Aim_Ni-NrT5/s320/dudeney_2.jpg" width="320" /></a></div>
Proceso de disección propuesto por Dudeney a partir del triángulo equilátero ABC:<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhg12A4lT_mxZ1Eiw9ziezd9h795dmbEa6Zqmay9SAqywcv4UM7QnGCxEcs4PnLbEMO4vBfEnMna3m4e4w0Yj6T8bLqajz8vlE2xMbttkii_yDoR8OhF_bqdD_mdMcOptuDP6QJJVD9Ljtr/s423/dudeney_3.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="369" data-original-width="423" height="279" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhg12A4lT_mxZ1Eiw9ziezd9h795dmbEa6Zqmay9SAqywcv4UM7QnGCxEcs4PnLbEMO4vBfEnMna3m4e4w0Yj6T8bLqajz8vlE2xMbttkii_yDoR8OhF_bqdD_mdMcOptuDP6QJJVD9Ljtr/s320/dudeney_3.jpg" width="320" /></a></div>
<ul>
<li style="text-align: justify;">Marcar los puntos medios D y E de los AB y BC, respectivamente.</li>
<li style="text-align: justify;">Prolongar el segmento AE hasta el puto F tal que EF=EB.</li>
<li style="text-align: justify;">Marcar el punto medio G del segmento AF y trazar el arco de circunferencia de centro G y radio GF=AG.</li>
<li style="text-align: justify;">Prolongar el segmento CB hasta que corte el arco de circunferencia en H.</li>
<li style="text-align: justify;">Trazar el arco de circunferencia con centro E y radio EH hasta que corte el lado AC en J.</li>
<li style="text-align: justify;">Determinar el punto K tal que JK=AD (=DB=BE=EC).</li>
<li style="text-align: justify;">Trazar el segmento JE.</li>
<li style="text-align: justify;">Trazar desde D y K los segmentos perpediculaes al segmento JE, dando lugar a los puntos L y M (los segmentos serían DL y KM).</l1>
<li style="text-align: justify;">Los polígonos de la disección son: 1. DBEL, 2. ADLJ, 3. JMK y 4. KMEC.</li>
</ul>
<iframe scrolling="no" title="Disección de Dudeney" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/gy2tkxuy/width/539/height/400/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="539px" height="400px" style="border:0px;"> </iframe>
<ul>
<li>Se puede ver la obtención de la disección 'paso a paso'.</li>
<li style="text-align: justify;">Moviendo las barras de desplazamiento se obtiene el cuadrado.</li>
</ul>edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-1523386661926915442021-10-29T15:46:00.003+02:002021-11-06T17:40:55.585+01:00Modelo lingüístico de Abrams-Strogatz<div style="text-align: justify;">El 90% de las lenguas del mundo pueden desaparecer en la próxima generación. Vamos a analizar la competencia entre dos lenguas en un ámbito determinado y donde los individuos son monlingües y como una de ellas acaba imponiéndose a la otra. La atracción hacia una de las lenguas depende de su número de hablantes pero también del 'estatus' de una lengua, entendido como las oportunidades económicas y sociales que dan expresarse en esa lengua. Si X e Y representan dos lenguas que comparten un mismo espacio, se tiene que la velocidad con la que cambia la población que habla la lengua X es:</div><div style="text-align: justify;">$$\frac{dx}{dt}=(1-x)\cdot P_{yx}-x \cdot P_{xy}$$
Siendo x la proporción de hablantes de la lengua X, y P<span style="font-size: x-small;">yx</span> y P<span style="font-size: x-small;">xy</span> las probabilidades de cambiar de la lengua Y a la lengua X y viceversa.</div>
$$P_{yx}=sx^a \wedge P_{xy}=(1-s)(1-x)^a$$
<div style="text-align: justify;">donde s es el parámetro que mide el 'estatus' o 'prestigio' de la lengua, siendo:
$$0 \leq s \leq 1$$
<div style="text-align: justify;">Si s<1/2 la lengua X tiene menos 'prestigio' que la lengua Y.</div><br>
<div style="text-align: justify;">El parámetro a mide como influye de la mayor o menor conectividad de la población. Una población muy dispersa dificulta los contactos y disminuye la posibilidad de cambiar de lengua, eso ocurre cuando a>1. En cambio si la población está muy interconectada, ´por ejemplo grandes núcleos de población, se favorece el cambio de idioma, lo que ocurre cuando a<1.</div>
La fracción de hablantes de la lengua X a largo plazo para a=1, se aproxima a la función exponencial decreciente:
$$x=e^{(2s-1)t} \wedge s < \frac{1}{2}$$
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSofou4wHs9EjpZgDpowTh4tzRO5VdSzOQuh4FpRiO799qRzjzhyphenhyphenVLxtD0RgKSkLjyi2b09WOFzvSOwCBjNLGVqfyeuhyAgs_oNcuWorQSc3Eefk26EJa6V74Ez_NGHsHzuxcyZKatugMn/s589/abrams_strogatz.png" style="display: block; padding: 1em 0; text-align: center; "><img alt="" border="0" width="320" data-original-height="366" data-original-width="589" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSofou4wHs9EjpZgDpowTh4tzRO5VdSzOQuh4FpRiO799qRzjzhyphenhyphenVLxtD0RgKSkLjyi2b09WOFzvSOwCBjNLGVqfyeuhyAgs_oNcuWorQSc3Eefk26EJa6V74Ez_NGHsHzuxcyZKatugMn/s320/abrams_strogatz.png"/></a></div>
<div style="text-align: justify;">Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:</div>
<ul>
<li style="text-align: justify;">Se puede elegir la proporción de personas que hablan la lengua X.</li>
<li style="text-align: justify;">Se pueden modificar los parámetros 's' y 'a'.</li>
<li style="text-align: justify;">Se puede elegir el instante temporal y observar la proporción que habla cada lengua.</li>
<li style="text-align: justify;">Se muestran las gráficas de la evolución de las poblaciones.</li>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://drive.google.com/file/d/1415YIES-OHQLjzyMMyWWg3jR4XVDbjNp/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjpf2qzOE-u9wXrf3Yop1mHB30MBhQWqhrJe6kSVODV_XvaCLgov5ZqRUYhLrrCbvCzR1zH8qdvFH_hnpk0MZPmZcikZ9E87upultuljIq6X7WfIJhpiaDvjw4wGbgCBViUks5RyUI845kv/s1600/Excel_48.png" /></a></td></tr>
<tr align="justify"><td class="tr-caption">Descargar .XLS</td></tr>
</tbody></table></div>edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-91961513130152824452021-09-27T17:23:00.000+02:002021-09-27T17:23:07.011+02:00Los números de Lah y de Hal<div style="text-align: justify;">Los números de Lah fueron descubiertos, en 1954, por el matemático esloveno Ivo Lah (1896-1979) y son los coeficientes que permiten expresar factoriales crecientes en función de factoriales decrecientes.</div>
<div style="text-align: justify;">Un factorial creciente es:</div><div style="text-align: justify;">
$$x^{(n)}=x(x+1)(x+2) \cdots (x+n-1)$$</div>
<div style="text-align: justify;">Un factorial decreciente es:</div><div style="text-align: justify;">$$x_{(n)}=x(x-1)(x-2) \cdots (x-n+1)$$</div>
<div style="text-align: justify;">Así, por ejemplo, se tiene que:</div>
<div style="text-align: justify;">$$x^{(3)}=x(x+1)(x+2)=6x+6x(x-1)+1x(x-1)(x-2)$$</div>
<div style="text-align: justify;">$$x^{(3)}=6x_{(1)}+6x_{(2)}+1x_{(3)}$$</div>
<div style="text-align: justify;">Los números de Lah se denotan como L(n,k) donde n es el grado del polinomio creciente y k los grados de los polinomios decrecientes. Así, en el ejemplo, los números de Lah son:</div>
<div style="text-align: justify;">$$L(3,1)=6, L(3,2)=6, L(3,3)=1$$</div>
<div style="text-align: justify;">y por tanto:</div><div style="text-align: justify;">$$x^{(3)}=L(3,1)x_{(1)}+L(3,2)x_{(2)}+L(3,3)x_{(3)}$$</div>
<div style="text-align: justify;">La fórmula general para obtener los factoriales crecientes en función de los factoriales decrecientes es:</div>
<div style="text-align: justify;">$$x^{(n)}=\sum_{k=1}^{n}L(n,k)x_{(k)}$$</div>
<div style="text-align: justify;">y la fórmula para obtener los números de Lah directamente es:</div>
<div style="text-align: justify;">$$L(n,k)=\left( \begin{array}{c} n-1\\ k-1 \end{array} \right) \frac{n!}{k!}$$</div>
<div style="text-align: justify;">Hay una fórmula de recurrencia para obtener, a partir de L(n,1)=n!, los demás términos del polinomio dado:</div>
<div style="text-align: justify;">$$L(n,k+1)=\frac{n-k}{k(k+1)}L(n,k) \rightarrow L(3,2)=\frac{3-1}{1·2}L(3,1)=6$$</div><div style="text-align: justify;">Hay otra fórmula de recurrencia para obtener nuevos números al variar n:</div>
<div style="text-align: justify;">$$L(n+1,k)=(n+k)L(n,k)+L(n,k-1)$$</div>
<div style="text-align: justify;">$$L(n,0)=0 \wedge L(n,k)=0 \wedge k>n$$</div>
<div style="text-align: justify;">Por ejemplo, para obtener los números de Lah para el polinomio de cuarto grado a partir de los números del polinomio de grado tres:</div><div style="text-align: justify;">$$L(4,1)=(3+1)L(3,1)+L(3,0)=4·6+0=24$$</div>
<div style="text-align: justify;">$$L(4,2)=(3+2)L(3,2)+L(3,1)=5·6+6=36$$</div><div style="text-align: justify;">$$L(4,1)=(3+3)L(3,3)+L(3,2)=6·1+6=12$$</div>
<div style="text-align: justify;">$$L(4,1)=(3+4)L(3,4)+L(3,3)=4·0+1=1$$</div>
<div style="text-align: justify;">Por otra parte llamaremos números de Hal a los coeficientes que permiten expresar factoriales decrecientes en función de factoriales crecientes.</div>
<div style="text-align: justify;">$$x_3{(3)}=x(x-1)(x-2)=6x-6x(x+1)+1x(x+1)(x+2)$$</div><div style="text-align: justify;">$$x_{(3)}=6x^{(1)}-6x^{(2)}+1x^{(3)}$$</div>
<div style="text-align: justify;"><div>Así, en el ejemplo, los números de Hal son:</div>
<div>$$H(3,1)=6, H(3,2)=-6, H(3,3)=1$$</div><div>y por tanto:</div>
<div>$$x_{(3)}=H(3,1)x^{(1)}+H(3,2)x^{(2)}+H(3,3)x^{(3)}$$</div><div>La fórmula de recurrencia es:</div><div><div>$$H(n+1,k)=(n+k)H(n,k)-H(n,k-1)$$</div><div>$$H(n,0)=0 \wedge H(n,k)=0 \wedge k>n$$</div></div><div>La fórmula cerrada es:</div><div>$$H(n,k)=(-1)^k \left( \begin{array}{c} n-1\\ k-1 \end{array} \right) \frac{n!}{k!}$$</div><div><br /></div></div>edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-73493534266588230932021-08-02T10:02:00.001+02:002021-09-27T17:16:42.621+02:00El problema de la suma cuadrada<div style="text-align: justify;">Elige un número entero N. Dados todos los números enteros de 1 a N, ¿se pueden ordenar de manera que cada par adyacente sume un número cuadrado?
Empecemos con un conjunto pequeño de números no consecutivos, que se pueden ordenar para conseguir el objetivo:
$$\{1,3,6,8,10\} \rightarrow \{8,1,3,6,10\}\rightarrow \{9,4,9,16\}=\{3^2,2^2,3^2,4^2\}$$</div><div style="text-align: justify;"></div><div style="text-align: justify;">No hay forma de encontrar una solucíón sin probar todas las opciones. Es un problema de los llamados tipo NP-complejo. La mejor forma de visualizar estas relaciones es mediante un grafo donde los números son los vértices y las aristas conectan dos vértices cuya suma sea un número cuadrado. El problema tiene solución si hay un camino hamiltoniano, es decir, si podemos pasar una sola vez por todos los vértices.</div>
<br />
<iframe height="400px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/pqk8qxju/width/535/height/400/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Problema de suma cuadrada" width="535px"> </iframe><br />
<div>Se observa que se pueden enlazar hasta 17 números, pero que al añadir el número 18 no es posible: </div>
<div>$$\{17,8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9,16\}$$</div>
<div>$$\{25,9,16,25,16,9,16,25,16,9,16,25,16,9,16,25\}$$</div>
<li>Se puede ver la construcción 'paso a paso'.</li>
<div style="text-align: justify;"> Si añaden los números 19, 20, 21 y 22 sigue sin funcionar, pero si añade el número 23 si se consigue un camino hamiltoniano y por tanto hay una solución:</div>
<div style="text-align: justify;"></div><div style="text-align: justify;">$$\{18,7,9,16,20,5,11,14,2,23,13,12,4,21,15,10,6,19,17,8,1,3,22\}$$</div><div style="text-align: justify;"></div><div style="text-align: justify;">$$\{25,16,25,36,25,16,25,16,25,36,25,16,25,36,25,16,25,36,25,9,4,25\}$$</div><div style="text-align: justify;"></div><div style="text-align: justify;">Si añadimos el número 24 vuelve a fallar pero desde el número 25 en adelante siempre hay una solución.</div>edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-8152433607314114602021-06-24T17:05:00.005+02:002021-07-29T22:20:07.460+02:00Selectividad ciencias sociales-Curso 20/21<div style="text-align: justify;">
A continuación aparecen los
enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la
Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio
para el bachillerato de ciencias sociales del curso 20/21.</div>
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://drive.google.com/file/d/1dPJRAsFGydggv8kiQJivRixyIPqsCFub/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a><a href="https://drive.google.com/file/d/1MboAu0C6Ry7f2g3-a3pr_gn2XnQ0YZ8X/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Enunciados y soluciones de junio</td></tr>
</tbody></table>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://drive.google.com/file/d/1Bx-hXEU8lN20cnlGmrzueWxc1YinoyNn/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a><a href="https://drive.google.com/file/d/1llSF3rUQ3jh04zGd_02XqbuEOrkXYL5G/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Enunciados y soluciones de julio</td></tr>
</tbody></table>
edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3482496055568013754.post-80939276384480709042021-06-20T22:17:00.011+02:002021-08-02T21:55:47.639+02:00Selectividad Ciencias-Curso 20/21<div style="text-align: justify;">
A continuación aparecen los
enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la
Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio
para el bachillerato de ciencias del curso 20/21.</div>
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://drive.google.com/file/d/1hMCKMbe642q8WRsTmidwfiV5s6n5RQpf/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a><a href="https://drive.google.com/file/d/15TqxfSQdU668yjLt3mUlH_xDm7cLyL0l/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Enunciados y soluciones de junio</td></tr>
</tbody></table>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://drive.google.com/file/d/1R7UZiZXep4Qq4zlVfad26hryTWXH_Abp/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a><a href="https://drive.google.com/file/d/1pk4crv_GIQrBJl4Jv6QUQflMFjZPaWxZ/view?usp=sharing" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjINFhbFEy6M85KUoDBPz12rZfHbvVwF2K9NE3SeW9ZbjGR2sGCDESrgtAsOTMZgMdWlETREF5-g58ftRXQg4FrwxsntWxgcjTme96WWqCc0BJx677Zr3LVC4-uhLt7ZHWxCqPY-BVCrUBQ/s1600/File-pdf-48.png" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Enunciados y soluciones de julio</td></tr>
</tbody></table>edumathttp://www.blogger.com/profile/00804032109482152381noreply@blogger.com0