El matemático alemán Otto Hölder propuso una definición generalizada de la media. Esta media depende de un parámetro que para determinados valores dan lugar a las medias conocidas.
$$\overline x (k)=\left (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_i^k} \right )^{1/k} \rightarrow \overline x (k)=\left [\frac{1}{2}(a^k+b^k) \right ]^{1/k}$$
Se muestra la fórmula para n valores y la que se va a utilizar para dos valores a y b.
- ARITMÉTICA: $$k=1 \rightarrow A=\frac{a+b}{2}$$
- CUADRÁTICA: $$k=2 \rightarrow Q=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$
- ARMÓNICA: $$k=-1 \rightarrow H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$
- GEOMÉTRICA: $$k \rightarrow 0 \rightarrow G=\sqrt{ab}$$
Veamos la obtención de la última media:
$$\lim_{k \to 0}\left [\frac{1}{2} (a^k+b^k) \right ]^{1/k}=1^\infty$$
Recordando que si:
$$\lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}=1^\infty$$
se puede hacer el cambio:
$$f(x)=1+h(x) \wedge \lim_{x \to a}h(x)=0$$
$$ \lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}= \lim_{x \to a}\left [ 1+h(x)\right ]^{\frac{1}{h(x)}h(x)g(x)}=$$
$$\lim_{x \to a}e^{h(x)g(x)}=\lim_{x \to a}e^{(f(x)-1)g(x)}$$
Aplicando el algoritmo a nuestro caso:
$$\lim_{k \to 0}\left [ \frac{1}{2}(a^k+b^k) -1\right ]\frac{1}{k}=\frac{0}{0}$$
y aplicando la regla de l'Hôpital:
$$\lim_{k \to 0}\frac{1}{2}\frac{(a^kLa+b^kLb)}{1}=\frac{1}{2}(La+Lb)=L(ab)^{1/2}$$
Por tanto, el límite es:
$$e^{L(ab)^{1/2}}=(ab)^{1/2}=\sqrt{ab}$$
