La disección de Dudeney

En general, una disección geométrica consiste en cortar una figura geométrica dada, como un triángulo, un cuadrado u otra figura más compleja, en una serie de piezas que reordenadas dan lugar a otra figura geométrica. Como ejemplo de disección geométrica podemos mostrar la solución a uno de los problemas que el matemático recreativo británico Henry E. Dudeney (1857-1930) comenta en su libro Amusements in mathematics (1917). El problema consiste en saber cómo dividir un cuadrado en cuatro partes para generar una cruz griega, es decir, una cruz con los cuatro brazos iguales. Las soluciones mostradas en el libro, que podían realizarse con dos cortes, eran:

La conocida como disección de Dudeney, de un triángulo equilátero en un cuadrado, aparece en el libro de Henry E. Dudeney, The Canterbury Puzzlescomo “el acertijo del mercero”:

Enseñó [el mercero] un trozo de tela con forma de triángulo equilátero perfecto, como se ve en la ilustración y dijo: “¿Es alguno de vosotros diestro en el corte de género? Estimo que no. Cada hombre a su oficio, y el estudioso puede aprender del lacayo, y el sabio del necio. Mostradme, pues, si podéis, de qué manera puede cortarse este trozo de género en cuatro piezas, para que puedan reunirse y formar un cuadrado perfecto”.

Proceso de disección propuesto por Dudeney a partir del triángulo equilátero ABC:

• Marcar los puntos medios D y E de los AB y BC, respectivamente.
• Prolongar el segmento AE hasta el puto F tal que EF=EB.
• Marcar el punto medio G del segmento AF y trazar el arco de circunferencia de centro G y radio GF=AG.
• Prolongar el segmento CB hasta que corte el arco de circunferencia en H.
• Trazar el arco de circunferencia con centro E y radio EH hasta que corte el lado AC en J.
• Determinar el punto K tal que JK=AD (=DB=BE=EC).
• Trazar el segmento JE.
• Trazar desde D y K los segmentos perpediculaes al segmento JE, dando lugar a los puntos L y M (los segmentos serían DL y KM).
• Los polígonos de la disección son: 1. DBEL, 2. ADLJ, 3. JMK y 4. KMEC.

• Se puede ver la obtención de la disección 'paso a paso'.
• Moviendo las barras de desplazamiento se obtiene el cuadrado.