Ramanujan escribió en 1913 una carta al famoso matemático G.H. Hardy de la Universidad de Cambridge con una gran cantidad de curiosas fórmulas matemáticas. Una de las más sorprendentes es la siguiente:
$$1+2+3+4+5...=-1/12$$
Consideramos, ahora, la serie:
$$S_2=1-2+3-4+5...$$
$$2S_2=(1-2+3-4+5...)+(1-2+3-4+5...)=$$
$$1+(-2+1)+(3-2)+(-4+3)+(5-4)...=$$
$$1-1+1-1...=S_1\rightarrow 2S_2=S_1 \rightarrow S_2=\frac{1}{4}$$
Sea
S3 la serie de los número naturales:
$$S_3-S_2=(1+2+3+4+5...)-(1-2+3-4+5...)=$$
$$4+8+12+...=4(1+2+3+4...)=4S_3 $$
$$S_3-S_2=4S_3 \rightarrow 3S_3=-\frac{1}{4} \rightarrow S_3=-\frac{1}{12}$$
Hay varios resultados que chocan con la intuición: No es lógico que dados los términos de las dos primeras series, la segunda sume la mitad que la primera y mucho menos que en la tercera, una suma de términos positivos, dé una suma pequeña y además negativa. Esto se debe al uso de las operaciones elementales con series infinitas no convergentes.
¡Las series divergentes son una invención del diablo! (N.H. Abel)
Para saber si una serie es convergente, se calcula la sucesión de sumas parciales y si tiene límite, éste es la suma. Para la serie geométrica S
4:
$$S_4=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}...=2$$
ya que la sucesión de sumas parciales es:
$$1,\frac{3}{2},\frac{7}{4},\frac{15}{8},\frac{31}{16}...\rightarrow 2$$
Es convergente porque es la serie
S(1/2) donde
x queda dentro del intervalo de convergencia
(-1,1) ,cosa que no ocurre con
S(-1).
Para S
1, si
calculamos la sucesión de sumas parciales vemos que es oscilante:
$$1,0,1,0,1,0...$$
Para S
2, si
calculamos la sucesión de sumas parciales vemos que es oscilante:
$$1,-1,2,-2,3,-3...$$
Para S
3, si
calculamos la sucesión de sumas parciales vemos que es divergente:
$$1,3,6,10,15...$$
¿Podemos justificar, a pesar de todo, las sumas obtenidas? Si consideramos la llamada convergencia de Cesáro: cuando converge la sucesión de medias parciales. Si una sucesión converge de forma estándar, converge modo Cesáro. El recíproco no es cierto.
Así en S
4 la sucesión de medias de la sumas parciales es:
$$1,\frac{3}{4},\frac{7}{12},\frac{15}{32},\frac{31}{80}...\rightarrow 0$$
Así en S
1, la sucesión de medias de la sumas parciales es:
$$1,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{2}{4},\frac{3}{5},\frac{3}{6}...\rightarrow \frac{1}{2}$$
En cambio, en S
2, la sucesión de medias de la sumas parciales:
$$1,0,\frac{2}{3},0,\frac{3}{5},0,\frac{4}{7}...$$
es oscilante, pues los términos pares son siempre 0 y los impares tienden a 1/2.
El criterio de convergencia aplicado es el de Cesáro-1. Si sobre esta sucesión se construye, a su vez, la sucesión de medias parciales (Cesáro-2) se tiene:
$$1,\frac{1}{2},\frac{5}{9},\frac{5}{12},\frac{34}{75},\frac{34}{90}...\rightarrow \frac{1}{4}$$
Esta sucesión se aproxima muy lentamente a su límite. Por ejemplo, sólo después del término 188º (0,26003584) los términos de la sucesión difieren del límite en menos de una décima.
Finalmente vamos a considerar dos funciones muy conocidas en el campo de los números complejos debidas a Peter G. Dirichlet y Bernhard Riemann.
La función "eta" de Dirichlet es:
$$\eta(z)=\frac{1}{1^z}-\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z} -\frac{1}{4^z}+\frac{1}{5^z}\cdots$$
De acuerdo con las convergencias de Cesáro se tiene:
$$\eta(0)=1-1+1-1\cdots=\frac{1}{2} \wedge \eta(-1 )=1-2+3-4\cdots=\frac{1}{4}$$
La función "zeta" de Riemann es:
$$\zeta(z)=\frac{1}{1^z}+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z} +\frac{1}{4^z}+\frac{1}{5^z}\cdots$$
Se observa que:
$$\zeta(-1)=1+2+3+4+5\cdots$$
$$\zeta(z)-\eta(z)=\frac{2}{2^z}+\frac{2}{4^z}+\frac{2}{6^z}\cdots=\frac{2}{2^z}(1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}\cdots)=\frac{2}{2^z}\zeta(z)$$
$$\zeta(z)-\eta(z)=\frac{2}{2^z}\zeta(z)\rightarrow\zeta(z)(1-\frac{2}{2^z})=\eta(z) \rightarrow\zeta(z)=\frac{\eta(z)}{1-2^{1-z}}$$
$$\zeta(-1)=\frac{1}{4}(1-2^2) =\frac{1}{4}(-3)=-\frac{1}{12}$$
Estos resultados son verdaderos cuando las funciones de Dirichlet y Riemann se extienden por continuidad analítica para incluir valores de
z para los que las series anteriores divergen. Son convergentes cuando la parte real de z es mayor que uno.
Este sorprendente resultado ha sido crítico para obtener la dimensión 26 de la teoría de cuerdas y para conocer la llamada fuerza de Casimir en electrodinámica cuántica.
