Magia con cartas (II)

DESARROLLO

• El mago entrega la baraja de cartas a un espectador y le pide que la baraje. El espectador devuelve la baraja al mago quien mira discretamente la carta que se encuentra en la parte inferior.
• El mago escribe en un papel, sin que nadie vea, la carta que visualizó. Dobla este papel varias veces y pide al espectador que lo guarde en un bolsillo.
• El mago saca doce cartas de la parte superior del mazo, boca abajo, y las coloca sobre una mesa. Luego, el mago pide al espectador que elija, al azar, cuatro de estas cartas y les dé la vuelta dejando sus caras visibles y recuerde cuáles son. Las cartas restantes las recoge el mago y las coloca en la parte inferior del mazo restante.
• El mago explica al espectador que colocará cartas, boca abajo, sobre cada una de las cuatro que eligió. El número de cartas colocadas será igual a la diferencia entre el número 10 y el valor de la carta elegida. Por ejemplo, el mago colocará siete cartas sobre una carta que es un tres, contando en voz alta: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Si se ha elegido una de las figuras (K, Q, J), no se repartirán cartas, ya que, en este truco, las figuras cuentan como diez.
• El mago pide al espectador que sume los valores de las cuatro cartas que eligió inicialmente.
• El mago descarta del mazo restante el número de cartas correspondientes a esta suma, creando un montón sobre la mesa. Muestra la carta que estaba encima de esa pila.
• El mago pide al espectador que saque del bolsillo el papel que le habían entregado al principio y confirme si coincide con la carta que le entregó. ¡Y coinciden!

EXPLICACIÓN

Al recoger las ocho cartas y colocarlas en la parte inferior del mazo coloca la carta que miró el mago en la posición 40. Después de repartir correctamente las cartas y sumar los valores de las cuatro cartas boca arriba, la cuenta recaerá invariablemente en esta carta. ¡La cuenta termina en la novena carta desde el final del mazo!

Si el número de las 4 cartas es:  $$n_1, n_2, n_3, n_4$$

El número de cartas colocadas serán: $$10-n_1+10-n_2+10-n_3+10-n_4=40- (n_1+n_2+n_3+n_4)$$

Al quitar ahora del mazo: $$n_1+n_2+n_3+n_4=40$$

Es decir, la solución es la última carta que ha puesto en el montón, la que está en la posición 40.

Magia con cartas (I)

PREPARACIÓN

Previamente y sin el conocimiento de los espectadores, el mago coloca, desde la parte superior de la baraja, y con las caras hacia abajo, nueve cartas según la siguiente secuencia: 7 3 5 4 9 2 A 6 8.

El palo no tiene importancia. Esta secuencia se puede cambiar, sin embargo, se debe asegurar que la suma de los valores de las tres primeras cartas sea igual a 15, así como la suma de los tríos siguientes. El mago también debe introducir el código 1665 en el candado.

DESARROLLO

• El mago pide prestado al público un objeto, un anillo o un llavero, algo que pueda sujetar a su candado. Después de hacerlo, cambia la combinación discretamente. Le entrega el candado a un espectador y le pide que cambie aleatoriamente los números de la combinación. El candado podrá permanecer en posesión de este último espectador hasta el final del truco.
• Luego, el mago solicita la participación de otros tres espectadores. Distribuye las nueve cartas, que están en la parte superior del mazo, entre los tres voluntarios, siempre boca abajo. Las tres primeras cartas se entregan al primer espectador, las tres siguientes al segundo y las restantes al tercero. Cada espectador puede barajar sus tres cartas.
• El mago dice que los tres espectadores le ayudarán a descubrir el código que le permitirá abrir la cerradura y recuperar el objeto prestado. Para ello, el mago tendrá que sumar tres números, de tres dígitos, que serán presentados por los espectadores con ayuda de las cartas que tengan en la mano. Antes de iniciar todo el procedimiento, el mago pide a los voluntarios que decidan, entre ellos, quién proporcionará las centenas, las decenas y las unidades.
• Después el mago se dirige a una pizarra. Le pide al 'espectador de las centenas' que elija una de sus cartas y anuncie su valor. El mago afirma que esta carta debe descartarse. El mago anota el número anunciado en la pizarra y pide al 'espectador de las decenas' y luego al 'espectador de las unidades' que hagan lo mismo. Cada espectador tiene dos cartas en la mano y en el tablero está grabado un número de tres cifras. El mago repite el procedimiento hasta que se queda sin cartas. Los tres números grabados en la pizarra deben estar alineados para que se puedan sumar con el algoritmo de suma habitual.
• El mago suma los tres números. El mago anuncia al público que la suma obtenida (1665) podría ser la combinación del candado y luego pide al espectador, que lo tiene consigo, que introduzca este código. ¡Y  el candado se abre! ¡MAGIA!

EXPLICACIÓN

Consideremos las 9 cartas: $$a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2,c_3$$ sabiendo que están preparadas para que: $$a_1+a_2+a_3=15 $$ $$b_1+b_2+b_3=15 $$ $$c_1+c_2+c_3=15 $$

 Al sumar podemos tener la siguiente situación:

Independientemente de las permutaciones de las cartas de cada espectador, la suma obtenida siempre será 1665, ya que el algoritmo de suma utilizado se realiza por columnas.

La disección de Dudeney

En general, una disección geométrica consiste en cortar una figura geométrica dada, como un triángulo, un cuadrado u otra figura más compleja, en una serie de piezas que reordenadas dan lugar a otra figura geométrica. Como ejemplo de disección geométrica podemos mostrar la solución a uno de los problemas que el matemático recreativo británico Henry E. Dudeney (1857-1930) comenta en su libro Amusements in mathematics (1917). El problema consiste en saber cómo dividir un cuadrado en cuatro partes para generar una cruz griega, es decir, una cruz con los cuatro brazos iguales. Las soluciones mostradas en el libro, que podían realizarse con dos cortes, eran:

La conocida como disección de Dudeney, de un triángulo equilátero en un cuadrado, aparece en el libro de Henry E. Dudeney, The Canterbury Puzzlescomo “el acertijo del mercero”:

Enseñó [el mercero] un trozo de tela con forma de triángulo equilátero perfecto, como se ve en la ilustración y dijo: “¿Es alguno de vosotros diestro en el corte de género? Estimo que no. Cada hombre a su oficio, y el estudioso puede aprender del lacayo, y el sabio del necio. Mostradme, pues, si podéis, de qué manera puede cortarse este trozo de género en cuatro piezas, para que puedan reunirse y formar un cuadrado perfecto”.

Proceso de disección propuesto por Dudeney a partir del triángulo equilátero ABC:

• Marcar los puntos medios D y E de los AB y BC, respectivamente.
• Prolongar el segmento AE hasta el puto F tal que EF=EB.
• Marcar el punto medio G del segmento AF y trazar el arco de circunferencia de centro G y radio GF=AG.
• Prolongar el segmento CB hasta que corte el arco de circunferencia en H.
• Trazar el arco de circunferencia con centro E y radio EH hasta que corte el lado AC en J.
• Determinar el punto K tal que JK=AD (=DB=BE=EC).
• Trazar el segmento JE.
• Trazar desde D y K los segmentos perpediculaes al segmento JE, dando lugar a los puntos L y M (los segmentos serían DL y KM).
• Los polígonos de la disección son: 1. DBEL, 2. ADLJ, 3. JMK y 4. KMEC.

• Se puede ver la obtención de la disección 'paso a paso'.
• Moviendo las barras de desplazamiento se obtiene el cuadrado.

Problema de Josefo

Flavio Josefo (37-100) en su libro La Guerra de los judíos, nos dejó un interesante problema de matemáticas que ha tenido muchas variantes en los juegos de niños  y que ha atraído a muchos matemáticos. Cardano (1501-1576) recogió una versión del juego que llamó Ludus Josephi y fue Euler (107-1783) el primero que encontró leyes de recurrencia para resolver el problema.

Josefo pertenecía a la aristocracia sacerdotal de Jerusalén y en el año 63 fue enviado a Roma para conseguir la liberación de varios sacerdotes que habían sido hecho prisioneros y lo consiguió gracias a Popea, esposa de Nerón. A su vuelta a Jerusalén, en el año 65, la guerra  con Roma parecía inevitable, Josefo fue nombrado gobernador de Galilea, la guerra se desató al año siguiente y duró hasta el año 73.

 Cuenta Josefo, que cuando los romanos tomaron Jotapata, en la Baja Galilea, él y cuarenta galileos se refugiaron en una cueva y fueron cercados por los romanos. Decidieron morir antes que ser capturados y vendidos como esclavos. Para cumplir esa terrible decisión se colocarían en círculo con los lugares numerados y se matarían entre ellos con una espada mediante el siguiente procedimiento:

El primero mataría al segundo y pasaría la espada al tercero; éste mataría al cuarto y pasaría la espada al quinto y así sucesivamente hasta quedar uno que se quitaría así mismo la vida. Josefo, que sabía de matemáticas, se colocó en la posición del último superviviente y convenció al penúltimo superviviente para entregarse juntos a los romanos y evitar las dos muertes.

En la imagen vemos quién es el superviviente (en blanco) según haya 7 u 8 personas. En diferente color se muestran los eliminados en cada vuelta. Siempre es el 1 el que inicia el proceso.

En la tabla se muestra, para los 16 primeros casos, la posición del superviviente G(n) según el número n de participantes.

Se observa que cuando el número de participantes es una potencia de 2 siempre se salva el que empieza. Se puede comprobar siguiendo las ruedas de 8, 4, 2 y 1 que se muestran en la imagen:

Veamos como se puede obtener para n=13, de forma analítica, el valor G(13)=11:
$$13=8+4+1=8+5=2^3+5$$ $$n=13 \rightarrow G(n)=2·5+1=11$$ Si n es el número de individuos, k el exponente de la potencia de 2 más próxima a n y m lo que falta para ser n, se tiene: $$n=2^k+m \rightarrow G(n)=2m+1$$ En el caso histórico donde n=41 , se tiene: $$41=2^5+9\rightarrow G(41)=2·9+1=19$$ Si expresamos 13 en sistema binario: $$13=8+4+1=2^3+2^2+2^0=1101 $$ y pasamos la primera cifra a la última posición, se obtiene el número buscado: $$1011=2^3+2^1+2^0=8+2+1=11$$ En el caso histórico se tiene: $$41=32+8+1=2^5+2^3+2^0=101001 $$ y pasamos la primera cifra a la última posición, se obtiene el número buscado: $$010011=2^4+2^1+2^0=16+2+1=19$$

Problemas de lógica e ingenio (III)

Aquí llega la tercera entrega de problemas de lógica e ingenio. Os invitamos a que intentéis resolverlos y no dudéis en comentar el artículo incluyendo las soluciones que habéis encontrado.

13. Instantes digitales. El día 29 de junio a las 18 horas, 37 minutos y 45 segundos se produce un "instante digital": 18 h 37' 45'' (29-06) Si te fijas salen todas las cifras del 0 al 9 una sola vez. Como a las cifras se les llama también dígitos podemos decir que es un “instante digital". Pero a lo largo del año hay más instantes de este tipo. ¿Cuál es el primer y el último "instante digital" del año?

Matemáticas en el cine (I) - Una mente maravillosa

Las matemáticas, como ciencia instrumental, aparece constantemente en la vida cotidiana, y por tanto no es de extrañar que sea parte argumental de muchas películas. Así que hemos decidido iniciar una serie de artículos comentando grandes (y no tan grandes :p) obras cinematográficas donde las matemáticas están de algún modo presentes.

En esta primera entrega hablaremos de Una mente maravillosa, película dirigida en 2001 por Ron Howard y protagonizada por Russell Crowe y Jenniffer Connelly que narra la vida del matemático John Forbes Nash.

Una mente maravillosa

Problemas de lógica e ingenio (II)

Aquí llega otra nueva entrega de problemas de lógica e ingenio. Os invitamos a que intentéis resolverlos y no dudéis en comentar el artículo incluyendo las soluciones que habéis encontrado.

07. Producto de capicúas. Un número o una frase que se puede leer del derecho y del revés sin que cambie su valor o su significado se dice capicúa. Aquí tienes un producto capicúa formado dos números de dos cifras que continúa dando lo mismo cuando invertimos sus cifras. Las dos multiplicaciones dan 2.418. ¿Puedes encontrar más? (No valen los números con las dos cifras iguales)

Fel·li o Fix

Es un juego de Marruecos y se basa en las reglas del juego medieval alquerque, que vino a la Península Ibérica gracias a los árabes y que al utilizar el tablero del ajedrez dio origen al juego de damas.

Cinco caminos

Es un juego del norte de China y se suele jugar con dulces y cuando se captura una pieza del contrario se la comen realmente. El ganador también se come los dulces que quedan al finalizar la partida.

Problemas de lógica e ingenio (I)

01. Cada uno en su puesto. En este tablero de ajedrez hay colocados un rey, una reina, una torre, un alfil y un caballo del mismo color. Los círculos indican las casillas que ocupan pero no se dice a que pieza corresponde. Las casillas con número indican el número de piezas que amenazan a esa casilla. Con estas informaciones has de intentar decir donde está cada pieza. ¿Dónde está el rey, la reina, la torre, el alfil y el caballo?