Teorema de Bottama

Un grupo de piratas llega a una isla para enterrar un tesoro. En la isla hay una piedra y dos cocoteros. El capitán manda a dos piratas que partiendo desde la piedra caminen hasta un cocotero cada uno. Al llegar a los cocoteros giran 90º y caminan, alejándose uno del otro, la misma distancia que separa la piedra del cocotero en cada caso. El capitán entierra el tesoro en el punto medio de las posiciones alcanzadas por los piratas. Con el tiempo, los piratas vuelven a por el tesoro y encuentran los cocoteros, pero la piedra ya no estaba. Afortunadamente, el capitán conocía el teorema de Bottema y en pocos minutos señaló el lugar exacto donde estaba enterrado el tesoro.

El teorema afirma lo siguiente:

"Si dibujamos dos cuadrados con un vértice común y trazamos el segmento que une los vértices más distantes, el punto medio de este segmento no depende de la posición del vértice que une dichos cuadrados".

Se pueden modificar las posiciones de la piedra (P), los cocoteros (C) y el tesoro (T). Con las flechas se puede observar la construcción "paso a paso".

Para demostrar el teorema se construye un paralelogramo donde los puntos D y E son las proyecciones de los puntos B y A sobre el segmento que une los puntos donde se sitúan los cocoteros.

T es el punto medio de AB y por tanto TH es la base media del paralelogramo ABDE: $$TH=\frac{BD+AE}{2}$$ Por construcción $$\widehat{BC_2P}=90º$$ y por tanto los ángulos son complementarios: $$BC_2D=90º- PC_2G$$ Se deduce que los triángulos: $$BC_2D \wedge PC_2G$$ son rectángulos e iguales, y por tanto se verifica que: $$BD=C_2G$$ Razonando de manera análoga se cumple que: $$AE=GC_1$$ Sustituyendo en la fórmula inicial: $$TH=\frac{BD+AE}{2}=\frac{C_2G+GC_1}{2}=C_2H=HC_1$$ pues el triángulo rectángulo: $$TC_1C_2$$ es isósceles.Por tanto TH no depende de la posición de P.

Los piratas, partiendo de un punto cualquiera, situado en la zona donde escondieron el tesoro, repiten el proceso y lo encuentran ya que como indica el teorema de Bottema el punto de partida no influye para encontrar el tesoro. Hay una forma más rápida que sería situados un pirata en cada cococtero y girando 45º cada uno hacia la zona del tesoro, avanzar el mismo número de pasos hasta encontrarse y allí estaría el tesoro.

D'Alembert y la divisibilidad

Jean le Ronde d'Alembert junto con Denis Diderot fueron dos figuras decisivas de La Ilustración. A ellos se debe, fundamentalmente, la elaboración y dirección de L'Enciclopédie (1751-1772), obra magna que recogía con una visión laica y basada en la razón, de forma sistemática todos los conocimientos acumulados hasta entonces. Aunque D'Alembert trabajó en distintos campos de las matemáticas, vamos a presentar su pequeña contribución a la teoría de números.

Dado el número: $$n=a_0a_1\cdots a_n$$ cuyo desarrollado en potencias es: $$n=10^ma_0+ \cdots +10a_{m-1}+a_m$$ Si es divisible por 10-p, también lo es el número (y viceversa): $$n^*=p^ma_0+ \cdots +pa_{m-1}+a_m$$ Restando ambos números: $$n-n^*=(10^m-10^p)a_0+\cdots+(10-p)a_{m-1}$$ y aplicando la identidad: $$a^m-b^m=(a-b)(a^{m-1}+a^{m-2}b+a^{m-3}b^2+a^{m-4}b^3\cdots+b^{m-1})$$ a cada paréntesis, se observa que n-n* es un múltiplo de 10-p Si n y n-n* son múltiplos de 10-p, entonces n* es múltiplo de 10-p.

Análogamente, si n es divisble por 10+p, también lo es el número (y viceversa): $$n^{**}=(-p)^ma_0+ \cdots +(-p)a_{m-1}+a_m$$ En este caso se debe aplicar la identidad: $$a^m+b^m=(a+b)(a^{m-1}-a^{m-2}b+a^{m-3}b^2-a^{m-4}b^3\cdots\pm b^{m-1})$$ Para diferentes valores de p se obtienen varios criterios de divisibilidad.

Divisibilidad por 9:10-p=10-1=9 $$n^*=a_0+ \cdots +a_{m-1}+a_m$$ La suma de las cifras ha de ser un múltiplo de 9.

Divisibilidad por 11:;10+p=10+1=11 $$n^{**}=(-1)^ma_0+ \cdots -a_{m-1}+a_m$$ La diferencia entre la suma de las cifras pares y la suma de las cifras impares es un múltiplo de 11.

Divisibilidad por 7:10-p=10-3=7 $$n^*=3^ma_0+ \cdots +3a_{m-1}+a_m$$
Divisibilidad por 13:10+p=10+3=13

$$n^{**}=(-3)^ma_0+ \cdots -3a_{m-1}+a_m$$ La divisibilidad por 7 fue enunciada en el siglo XIII por Benalbana el Granatí. Veamos un ejemplo del criterio de divisibilidad por 7 aplicado de forma iterada al número 1547: $$[(1\cdot3+5)\cdot3+4]\cdot3+7=91$$ $$9\cdot 3+1=28$$ $$2\cdot 3+8=14$$ $$1\cdot 3+4=7$$

• Del libro D'Alembert y Condorcet. Ricardo Moreno Castillo. La Matemática en sus personajes 51. Editorial Nivola.

Un juego 'burro' (II)

Como vimos, hay juegos en los que las ganancias disminuyen cuando aumenta la probabilidad de ganar en cada turno. Son los denominados donkey games o 'juegos burro'.

Recordemos el funcionamiento del juego:

Una moneda tiene una probabilidad p de salir cara (C) y una probabilidad 1-p de salir cruz (X). Se realizan series de lanzamientos. En cada turno si sale cara se gana un euro, si sale cruz se pierde un euro y si sale lo mismo que en la tirada anterior se cancela la ganancia o la pérdida. Por ejemplo, en la secuencia XCCC la ganancia será cero. Si p=0.5 el juego es justo y la ganancia media es cero. En cambio si p aumenta el jugador termina perdiendo y si p disminuye el jugador termina ganando.
Supongamos muchos jugadores participando simultáneamente y observamos un turno determinado: Sea N0 el número de jugadores sin ganancia ni pérdida,  N1 con ganancia  N2 con pérdida en un turno determinado.
En el turno siguiente, el número de jugadores sin ganancia ni pérdida será: $$N_0'=pN_1+(1-p)N_2$$ pues sale cara y había cara o sale cruz y había cruz.
El número de jugadores con ganancia será: $$N_1'=pN_0+pN_2$$ pues sale cara y no había nada o sale cara y había cruz.
El número de jugadores con pérdida será:
$$N_2'=(1-p)N_0+(1-p)N_1$$ pues sale cruz y no había nada o sale cruz y había cara.

Un juego 'burro' (I)

Aunque parezca paradójico, hay juegos en los que las ganancias disminuyen cuando aumenta la probabilidad de ganar en cada turno. Se denominan donkey games o 'juegos burro'. Christian van den Broeck y Bart Cleuren, físicos del Centro Universitario de Limburg, en Bélgica, estudian este tipo de juegos.Veamos uno de ellos:

Una moneda tiene una probabilidad p de salir cara (C) y una probabilidad 1-p de salir cruz (X). Se realizan series de lanzamientos. En cada turno si sale cara se gana un euro, si sale cruz se pierde un euro y si sale lo mismo que en la tirada anterior se cancela la ganancia o la pérdida. Por ejemplo, en la secuencia XCCC la ganancia será cero. Si p=0.5 el juego es justo y la ganancia media es cero. En cambio si p aumenta el jugador termina perdiendo y si p disminuye el jugador termina ganando.
Supongamos muchos jugadores participando simultáneamente y observamos un turno determinado: Sea N0 el número de jugadores sin ganancia ni pérdida,  N1 con ganancia  N2 con pérdida en un turno determinado.
En el turno siguiente, el número de jugadores sin ganancia ni pérdida será: $$N_0'=pN_1+(1-p)N_2$$ pues sale cara y había cara o sale cruz y había cruz.
El número de jugadores con ganancia será: $$N_1'=pN_0+pN_2$$ pues sale cara y no había nada o sale cara y había cruz.
El número de jugadores con pérdida será:
$$N_2'=(1-p)N_0+(1-p)N_1$$ pues sale cruz y no había nada o sale cruz y había cara.

 Las soluciones estacionarias se obtienen cuando, después de muchas iteraciones, los nuevos valores coinciden con los anteriores. Resolviendo el sistema:
$$\begin{eqnarray*} N_0 = pN_1+(1-p)N_2 \\ N_1=pN_0+pN_2 \\ N_2=(1-p)N_0+(1-p)N_1 \end{eqnarray*}$$ se obtienen las soluciones: $$N_1=\frac{p(2-p)}{p^2-p+1}N_0 \wedge N_2=\frac{1-p^2}{p^2-p+1}N_0$$ La ganancia en un turno es: $$G=pN_0-(1-p)N_0-N_1+N_2=$$ $$(2p-1)N_0-\frac{p(2-p)}{p^2-p+1}N_0+\frac{1-p^2}{p^2-p+1}N_0=\frac{p(p-1)(2p-1)}{p^2-p+1}N_0$$ El número total de jugadores es: $$N_0+N_1+N_2=N_0+\frac{p(2-p)}{p^2-p+1}N_0+\frac{1-p^2}{p^2-p+1}N_0=$$ $$\frac{-p^2+p+2}{p^2-p+1}N_0=\frac{-(p+1)(p-2)}{p^2-p+1}N_0$$ La ganancia media es: $$\overline{G}=\frac{\frac{p(p-1)(2p-1)}{p^2-p+1}}{\frac{-(p+1)(p-2)}{p^2-p+1}}=\frac{p(1-p)(1-2p)}{(1+p)(2-p)}$$

Teorema de Miquel (II)

Otro teorema geométrico de Auguste Miquel es el siguiente:

Sea un pentágono cualquiera ABCDE. Se prolongan las lados hasta su intersección en los puntos F, G, H. I y J respectivamente. Se trazan las circunferencias que pasan por tres puntos ABF, BCG, CDH, DEI y EAJ. Estas circunferencias se cortan de dos en dos en un vértice del pentágono y en otro punto. Estos puntos P, Q, R, S y T pertenecen a la misma circunferencia.

Se puede modificar el pentágono desplazando sus vértices A, B, C, D y E. Con las flechas se puede observar la construcción "paso a paso".

Selectividad ciencias sociales-Curso 15/16

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 15/16.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de junio

Selectividad ciencias-Curso 15/16

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 15/16.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

Teorema de Miquel (I)

El matemático francés Auguste Miquel enunció en 1838 el siguiente teorema geométrico: Sea un triángulo cualquiera ABC. Sobre sus lados se sitúan los puntos D, E y F que se pueden desplazar a lo largo de los lados CB, AC y AB respectivamente. Se trazan las circunferencias: $$ AEF, BDF, CDE$$ que pasan por un vértice y los puntos móviles adyacentes. Entonces las tres circunferencia se cortan en un punto común M, llamado punto de Miquel.
Además si se trazan los segmentos: $$MD, ME, MF$$ que unen el punto de Miquel con los puntos móviles, se observa que los ángulos: $$\widehat{AFM}=\widehat{BDM}=\widehat{CEM}$$

Se puede modificar el triángulo desplazando sus vértices A, B y C. Tambíen mover los puntos D, E y F situados sobre los lados y así comprobar el teorema. Con las flechas se puede observar la construcción "paso a paso".

La tiranía de la mayoría

Alexis de Tocqueville (1805-1859), fue un pensador, jurista, político e historiador francés, precursor de la sociología clásica y uno de los más importantes ideólogos del liberalismo. En su obra Democracia en América, anunciaba potenciales amenazas para la joven república norteamericana. Lo esencial en democracia es que la minoría (sea pequeña o casi la mitad del electorado) tenga siempre voz, sea escuchada y respetada, como también en algún momento intervenga en los actos de gobierno. El respeto a disentir sigue siendo lo fundamental, lo definitorio del proceso democrático.

A continuación se muestra una situación en que se analiza la presencia o no de la Tiranía de la Mayoría al aplicar el método de votación de la media. Supongamos que los extranjeros residentes en una ciudad necesitan tener asistencia sanitaria. Para ellos es una necesidad básica, pero para el resto de la población supone más impuestos. Los deseos de la Minoría entran en conflicto con la Mayoría. De acuerdo con estos criterios, en un votación la Minoría puntúa con 9 la asistencia sanitaria y con 0 no tener la prestación. En cambio el resto de la población valora con un 4 la asistencia y con un 5 lo contrario.

Distinguimos entre el SI o el NO a la asistencia sanitaria y se calculan las puntuaciones medias de las dos opciones cuando la Minoría es del 10%:

\begin{equation*}\label{lan} \overline{x}(NO)=\frac{10 \cdot 0+ 90\cdot 5}{100}=4.5 \ \wedge \ \overline{x}(SI)=\frac{10 \cdot 9+ 90\cdot 4}{100}=4.5 \end{equation*}

Se observa que coinciden y por tanto cuando la Minoría supere el 10% de la población conseguirá ganar la votación.

Paradoja de Simpson-Yule

Fue citada en 1951 por el estadístico Edward Hugh Simpson (1922-), pero anteriormente por Udny Yule (1871-1951), de ahí que se conozca también como el efecto Yule-Simpson y muestra que una tendencia que aparece en varios grupos de datos, desaparece cuando estos grupos se combinan y en su lugar aparece la tendencia contraria para los datos agregados.
En unas elecciones se presentan el Partido Progresista y el Partido Conservador en la mancomunidad formada por las localidades de Villavieja y Villanueva. La tabla recoge los votos obtenidos por cada partido en cada localidad y conjuntamente, indicando el voto femenino y masculino en cada caso.

Progresista-Conservador	Mujeres	Hombres	Total
Villanueva	210-490	240-60	450-550
Villavieja	80-320	450-150	530-470

La nueva tabla muestra los porcentajes de voto obtenido por el Partido Progresista en cada localidad por sexos y globalmente. Se observa que el porcentaje de votos obtenidos en Villanueva es superior al obtenido en Villavieja, tanto en mujeres como en hombres, y en cambio para los datos globales es más votado en Villavieja que en Villanueva. La paradoja se produce cuando son grandes las diferencias entre los tamaños de los sectores y la diferencia entre los porcentajes de cada sector.

Porcentaje Progresista	Mujeres	Hombres	Total
Villanueva	30%	80%	45%
Villavieja	20%	75%	53%

Matemáticamente se expresa:

$$\frac{a}{b}<\frac{A}{B} \wedge \frac{c}{d}<\frac{C}{D} \Rightarrow \frac{a+c}{b+d}>\frac{A+C}{B+D}$$

• Basado en un artículo de Juan M.R. Parrondo en Investigación y Ciencia.

La media aritmética y otras medias (II)

El matemático alemán Otto Hölder propuso una definición generalizada de la media. Esta media depende de un parámetro que para determinados valores dan lugar a las medias conocidas. $$\overline x (k)=\left (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_i^k} \right )^{1/k} \rightarrow \overline x (k)=\left [\frac{1}{2}(a^k+b^k) \right ]^{1/k}$$ Se muestra la fórmula para n valores y la que se va a utilizar para dos valores a y b.

• ARITMÉTICA: $$k=1 \rightarrow A=\frac{a+b}{2}$$
• CUADRÁTICA: $$k=2 \rightarrow Q=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$
• ARMÓNICA: $$k=-1 \rightarrow H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$
• GEOMÉTRICA: $$k \rightarrow 0 \rightarrow G=\sqrt{ab}$$

Veamos la obtención de la última media: $$\lim_{k \to 0}\left [\frac{1}{2} (a^k+b^k) \right ]^{1/k}=1^\infty$$ Recordando que si: $$\lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}=1^\infty$$ se puede hacer el cambio: $$f(x)=1+h(x) \wedge \lim_{x \to a}h(x)=0$$ $$ \lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}= \lim_{x \to a}\left [ 1+h(x)\right ]^{\frac{1}{h(x)}h(x)g(x)}=$$ $$\lim_{x \to a}e^{h(x)g(x)}=\lim_{x \to a}e^{(f(x)-1)g(x)}$$ Aplicando el algoritmo a nuestro caso: $$\lim_{k \to 0}\left [ \frac{1}{2}(a^k+b^k) -1\right ]\frac{1}{k}=\frac{0}{0}$$ y aplicando la regla de l'Hôpital: $$\lim_{k \to 0}\frac{1}{2}\frac{(a^kLa+b^kLb)}{1}=\frac{1}{2}(La+Lb)=L(ab)^{1/2}$$ Por tanto, el límite es: $$e^{L(ab)^{1/2}}=(ab)^{1/2}=\sqrt{ab}$$

La media aritmética y otras medias (I)

Para el conjunto de datos: $$x_1,x_2,\cdots x_n$$ y en particular para los datos a y b, se definen las siguientes medias:

• ARITMÉTICA: $$A=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i} \rightarrow A=\frac{a+b}{2}$$
• GEOMÉTRICA: $$G=\left [\prod_{i=1}^{n}{x_i}\right ]^{1/n} \rightarrow G=\sqrt{ab}$$
• ARMÓNICA: $$H=n \left [ \sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_i}}\right ]^{-1} \rightarrow H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$
• CUADRÁTICA: $$Q=\left [\frac{1}{n}\prod_{i=1}^{n}{x_i}^2\right ]^{1/2} \rightarrow Q=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$

Estas medias cumplen las siguientes desigualdades: $$H \leq G \leq A \leq C$$

¿Hay otra forma de cortar una pizza?

Si queremos dividir en 12 trozos o porciones iguales una tarta hexagonal o una pizza (necesariamente circular), la forma habitual es hacer cortes radiales. En el caso de la tarta se unen con segmentos los vértices del polígono con su centro, dando origen a 6 triángulos equiláteros y posteriormente desde el centro del polígono se trazan las alturas de cada unos de los triángulos, obteniéndose así 12 triángulos rectángulos idénticos. En el caso de la pizza se divide en 12 sectores circulares de 30 grados cada uno, que es la forma tradicional de dividir una pizza.

Matemáticos de la Universidad de Liverpool han llevado al extremo la preocupación de no pocos amantes de la pizza por compartir este popular alimento distribuyendo equitativamente las porciones.
Pero ¿y si el centro de la pizza tiene un complemento que algunas personas prefieren evitar, mientras que otros les gusta más la zona crujiente del borde?
Un estudio publicado en arXiv por Joel Haddley y Stephen Worsley explora las posibilidades y variaciones sobre una porción convencional de pizza, aunque su aplicación real sea complicada para cualquier cortador, incluso los que elaboran profesionalmente este producto.