Teorema de Conway

Sea un triángulo cualquiera ABC con incentro O y cuya circunferencia inscrita es tangente a los lados en Q, R y S. Los segmentos del mismo color son iguales: CR=CQ (azul ), AS=AR (verde) y BS=BQ (rojo) por construcción.

• Se prolonga el segmento AB hasta F, siendo AF=AP (azul)+PF (rojo).
• Se prolonga el segmento AB hasta I, siendo BG=BL (verde)+LI (azul).
• Se prolonga el segmento BC hasta H, siendo BH=BK (verde)+KH (azul).
• Se prolonga el segmento BC hasta D, siendo CD=CN (rojo)+ND (verde).
• Se prolonga el segmento CA hasta G, siendo AG=AJ (azul)+JG (rojo).
• Se prolonga el segmento CA hasta E, siendo CE=CM (rojo)+ME (verde).

Se observa que los siguientes segmentos son iguales por estar formados por tres subsegmentos de diferente color:

• SF=AS (verde)+AP (azul)+PS (rojo)
• SI=SB (rojo)+BL (verde)+LI (azul)
• QD=QC (azul)+CN (rojo)+ND (verde)
• QH=QB(rojo)+BK (verde)+KH (azul)
• RE=RC (azul)+CM (rojo)+ME (verde)
• RG=RA (verde)+AJ (azul)+JG (rojo)

Los triángulos OSF, OSI, ORG, ORE, OQD y OQH son rectángulos y como tienen los mismos catetos, también tienen la misma hipotenusa que es el radio de la circunferencia que pasa por los puntos D, E, F, G H e I. Estos puntos cumplen las condiciones que impone el teorema de Conway (longitudes prolongadas de los lados desde un vértice iguales a la longitud del lado opuesto). Queda probado el teorema de Conway y además que el centro de esa circunferencia es el incentro del triángulo.

• Se pueden mover los vértices del triángulo.
• Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

Generalización del teorema (Francisco Javier García Capitán):

En el triángulo ABC se sitúa en su interior un punto arbitrario D . Se traza la recta que pasa por el lado AB y su paralela por el vértice opuesto C. Se traza el segmento que pasa por A y D y que corta  en E y el segmento que pasa por B y D que corta en F. Se traza el segmento paralelo al lado AC desde F que corta en G y el segmento paralelo al lado BC que corta en H. Los puntos G y H son dos de los seis puntos buscados. Repitiendo, de forma análoga el proceso, a partir de los lados BC y AC respectivamente se obtendrían los cuatro puntos restantes. Por estos seis puntos pasa una elipse que se convierte en cÍrculo cuando el punto variable D coincide con el incentro del triángulo.

• Se pueden mover los vértices del triángulo.
• Se puede desplazar el punto hueco y al situarlo sobre el incentro se obtiene una circunferencia.