Pentágono y decágono regulares

En la figura se muestran un decágono y un pentágono regulares inscritos en una circunferencia de radio unidad.

Los triángulos PQR y OPQ, al tener los ángulos iguales, son semejantes: $$\frac{x}{1-x}=\frac{1}{x} \rightarrow x^2+x-1=0 \rightarrow x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$ y el lado del decágono inscrito en una circunferencia de radio unidad tiene de valor la razón aúrea o número de oro.

Aplicando el teorema del coseno al triángulo OPS: $$y^2=1^2+1^2-2·cos(72)=2-2·cos(72)$$ Aplicando el teorema del coseno al triánguloPQR: $$x^2=x^2+(1-x)^2-2x(1-x)·cos(72) \rightarrow cos(72)=\frac{1-x}{2x}$$ Y sustituyendo el valor del cos(72) en la ecuación anterior: $$y^2=2-2\frac{1-x}{2x}=\frac{3x-1}{x}\rightarrow \frac{3\frac{\sqrt{5}-1}{2}-1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$$ $$y^2=\frac{10-2\sqrt{5}}{4} \rightarrow y=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$$ se obtiene el valor del lado del pentágono inscrito en una circunferencia de radio unidad. Si el radio no es unitario, los lados de los polígonos serán proporcionales al valor de ese radio.

Vamos a indicar el método clásico, utilizado por los griegos, para la construcción del pentágono con 'regla y compás':

• Se trazan dos ejes perpendiculares que se cortan en O.
• Se traza una circunferencia de radio OQ.
• Sea P el punto medio del segmento OS.
• Se traza una circunferencia con centro en P y radio PQ.
• Esta circunferencia Intersecta con el eje horizontal en el punto R.
• El segmento QR es el lado del pentágono y el segmento OR es el lado del decágono.
• Al mover el punto Q se puede modificar el tamaño de la circunferencia y su polígono inscrito.
• Se muestra el tamaño del radio y los lados de los respectivos polígonos.

Se puede observar la construcción 'paso a paso' y moviendo el punto Q modificar el tamaño de la figura.


Veamos que el segmento OR es el lado del decágono inscrito: $$\overline{PQ}^2=1^2+(\frac{1}{2})^2 \rightarrow \overline{PQ}=\frac{\sqrt{5}}{2}$$ $$\overline{OR}=\overline{PR}-\overline{OP}=\overline{PQ}-\overline{OP}=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\phi$$ Veamos que el segmento QR es el lado del pentágono inscrito: $$\overline{QR}^2=\overline{OR}^2+\overline{OQ}^2=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2+1^2 \rightarrow \overline{QR}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$$