La tiranía de la mayoría

Alexis de Tocqueville (1805-1859), fue un pensador, jurista, político e historiador francés, precursor de la sociología clásica y uno de los más importantes ideólogos del liberalismo. En su obra Democracia en América, anunciaba potenciales amenazas para la joven república norteamericana. Lo esencial en democracia es que la minoría (sea pequeña o casi la mitad del electorado) tenga siempre voz, sea escuchada y respetada, como también en algún momento intervenga en los actos de gobierno. El respeto a disentir sigue siendo lo fundamental, lo definitorio del proceso democrático.

A continuación se muestra una situación en que se analiza la presencia o no de la Tiranía de la Mayoría al aplicar el método de votación de la media. Supongamos que los extranjeros residentes en una ciudad necesitan tener asistencia sanitaria. Para ellos es una necesidad básica, pero para el resto de la población supone más impuestos. Los deseos de la Minoría entran en conflicto con la Mayoría. De acuerdo con estos criterios, en un votación la Minoría puntúa con 9 la asistencia sanitaria y con 0 no tener la prestación. En cambio el resto de la población valora con un 4 la asistencia y con un 5 lo contrario.

Distinguimos entre el SI o el NO a la asistencia sanitaria y se calculan las puntuaciones medias de las dos opciones cuando la Minoría es del 10%:

\begin{equation*}\label{lan} \overline{x}(NO)=\frac{10 \cdot 0+ 90\cdot 5}{100}=4.5 \ \wedge \ \overline{x}(SI)=\frac{10 \cdot 9+ 90\cdot 4}{100}=4.5 \end{equation*}

Se observa que coinciden y por tanto cuando la Minoría supere el 10% de la población conseguirá ganar la votación.

Paradoja de Simpson-Yule

Fue citada en 1951 por el estadístico Edward Hugh Simpson (1922-), pero anteriormente por Udny Yule (1871-1951), de ahí que se conozca también como el efecto Yule-Simpson y muestra que una tendencia que aparece en varios grupos de datos, desaparece cuando estos grupos se combinan y en su lugar aparece la tendencia contraria para los datos agregados.
En unas elecciones se presentan el Partido Progresista y el Partido Conservador en la mancomunidad formada por las localidades de Villavieja y Villanueva. La tabla recoge los votos obtenidos por cada partido en cada localidad y conjuntamente, indicando el voto femenino y masculino en cada caso.

Progresista-Conservador	Mujeres	Hombres	Total
Villanueva	210-490	240-60	450-550
Villavieja	80-320	450-150	530-470

La nueva tabla muestra los porcentajes de voto obtenido por el Partido Progresista en cada localidad por sexos y globalmente. Se observa que el porcentaje de votos obtenidos en Villanueva es superior al obtenido en Villavieja, tanto en mujeres como en hombres, y en cambio para los datos globales es más votado en Villavieja que en Villanueva. La paradoja se produce cuando son grandes las diferencias entre los tamaños de los sectores y la diferencia entre los porcentajes de cada sector.

Porcentaje Progresista	Mujeres	Hombres	Total
Villanueva	30%	80%	45%
Villavieja	20%	75%	53%

Matemáticamente se expresa:

$$\frac{a}{b}<\frac{A}{B} \wedge \frac{c}{d}<\frac{C}{D} \Rightarrow \frac{a+c}{b+d}>\frac{A+C}{B+D}$$

• Basado en un artículo de Juan M.R. Parrondo en Investigación y Ciencia.