Selectividad Ciencias Sociales Curso-2024-2025

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias sociales del curso 24/25.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

Selectividad Ciencias-Curso 2024-2025

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 24/25.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

Selectividad Ciencias Sociales-Curso 2023-2024

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias sociales del curso 23/24.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

Selectividad Ciencias-Curso 2023-2024

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 23/24.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

Juego de dados Passage

Passage es uno de los juegos más antiguos de apuestas con dados. Se dice que fue utilizado por los verdugos en la crucifición de Jesús de Nazaret para repartirse sus vestiduras. 

  Cuando llegaron al lugar llamado Gólgota, le dieron a beber vino mezclado con hiel; él lo probó, pero no quiso beberlo. Después de crucificarlo, se repartieron su ropa echándola a suertes y luego se sentaron a custodiarlo. San Mateo XXVII 35.

En francés se llamaba Passe-dix  y en alemán Paschen. El juego se menciona en Los tres mosqueteros de Alejandro Dumas (1844) y también aparece en ediciones de Gargantúa y Pantagruel de Rabelais, al menos desde 1884. En Inglaterra, el juego fue específicamente prohibido por la Ley de Juegos de 1739. Francis Grose, en A Classical Dictionary of the Vulgar Tongue, indica que en 1785 Passage era un 'juego de campamento' jugado entre soldados, y que la persona encargada de llevar a cabo el juego en todo el ejército era llamada el head cully of the pass o el passage bank.

En la Figura  se muestra el cuadro obra  de Daniel Nikolaus Chodowiecki (aquí firmó 'Huquier',y la dirección de la publicación también es falsa). 

En su turno, un jugador lanza tres dados hasta conseguir un doble. Si la suma de los dados es superior a 10, gana y en caso contrario pierde y es eliminado. Si hay apuestas el jugador que hace de banca se encarga de cobrar y pagar las mismas.

Hay un 50% de probabilidad de obtener un doble en tres dados; de esas tiradas válidas, la mitad están  por encima de diez, por lo que el juego es justo. Las apuestas ganadoras se pagan 1:1, y por tanto la banca no tiene ventaja.

La inclusión del requisito que sacar un doble sólo sirve para aumentar la tensión del juego, ya que los resultados son los mismos sin él (la probabilidad de sacar más de diez en tres dados no cambia).

Vassilios Hombas (2012) ofrece una generalización de este juego a cualquier número de dados, calculando los `puntos de pase' (el máximo número de puntos para perder) en cada caso. Hay que tener en cuenta que este cálculo ignora el requisito de dobles, lo que puede alterar el juego para números de dados distintos de tres.

¿Cuántas tiradas diferentes son posibles? ¿Cuántas tiradas diferentes hay con doble? ¿Cuántas de ellas son ganadoras? ¿Cuántas son ganadores sin tener en cuenta dobles? Comparar las probabilidades de ganar en cada caso. Indicar 'puntos de pase' para 1, 2, 3, ... n dados. 

Juego de dados Hubbub

El juego originalmente no tenía nombre. Se ganó el nombre de Hubbub porque los colonos europeos del siglo XVIII que presenciaron el juego escucharon a los jugadores decir 'hub, hub, hub' mientras jugaban:

They have a kind of dice game which are plum stones painted, which they cast in a tray with a mighty noise and sweating.- Roger Williams, 1643.

Hubbub es un juego originario de Arapaho en Oklahoma. Utilizan cinco dados planos que decoran por una de las caras para representar un equilibrio entre lo positivo y lo negativo de la vida. Se suelen decorar con motivos estrellados. En el centro se colocan 21 sticks o varitas que se van retirando cada jugador a lo largo del juego. En la Figura se muestran tanto los dados como las varitas. El juego Bowl and Dice es una versión más complicada de este juego.

Los jugadores lanzan los dados y según los resultados obtenidos retiran los sticks que les correspondan. Una vez retirados los 21 sticks el jugador que tenga más es el ganandor.

Los resultados posibles son los siguientes:

• 5 decorados ó 5 sin decorar: 3 puntos (sticks).
• 4 decorados y 1 sin decorar o al contrario: 1 punto (stick).
• 3 decorados y 2 sin decorar o al contrario: 0 puntos (sticks).

En la Figura se muestra un resultado con puntuación nula:

¿Qué probabilidad hay de obetenr 3 puntos en una tirada? ¿Y de obtener 1 punto? ¿Y ninguno? ¿Es razonable la asignación de puntos?

Dados no transitivos (III)

Se pueden construir dados no transitivos utilizando los sólidos platónicos. El hexaedro o cubo está representado por el 'Efron Dice'. Para el tetraedro se tiene el 'Tiggermann Dice' que se muestra en la figura.

Se puede extender el 'Tiggermann Dice' para el tetraedro al octaedro, simplemente repitiendo los valores de las caras: $$1,1,4,4,4,4,4,4$$ $$3,3,3,3,3,3,6,6$$ $$2,2,2,2,5,5,5,5$$ Nicholas Pasciuto propone otra numeración de las caras y le llama 'Nichlman Dice' formado por las primeras letras de su nombre y las últimas del apellido de su mentor el Dr. Ward Heilman.

Para el dodecaedro existen varios conjuntos de dados. Uno de ellos es ampliar para cuatro caras más 'Timmermann Dice'. Otra opción es el conjunto de dados 'Schward Dice'

$$0,0,0,0,0,16,16,17,17,17,17,17$$ $$5,5,5,5,14,14,14,14,18,18,18,18$$ $$6,6,6,12,12,12,19,1,9,19,19,19,19$$ $$3,3,11,11,11,11,11,20,20,20,20,20$$ $$15,15,15,15,15,15,15,15,15,15,15,15$$ 

Michael Winkleman inventó un nuevo conjunto no transitivo de sólo tres dados que llamó 'Miwin's Dodecahedral Dice'.

Finalmente para el icosadero se puede expandir el 'Timmermann Dice'. Otra posibilidad, no reversible con dos dados, es el conjunto 'Pascanell Dice'.

Dados no transitivos (II)

La idea de los dados no transitivos existe desde principios de la década de 1970. Aquí hay otro famoso juego con cuatro dados no transitivos conocido como 'Efron Dice' e inventado por el estadístico estadounidense Brad Efron (1938-).

En la imagen se muestra el diagrama de árbol donde el dado azul gana al dado naranja y el grafo que muestra que el juego no es trasitivo.

$$p(R>V)=p(3)·p(2)=1·\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$$ $$p(V>A)=p(2)·p(1)+p(6)=\frac{2}{3}·\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$ $$p(A>N)=p(1)·p(0)+p(5)=\frac{1}{2}·\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$$ $$p(N>R)=p(4)=\frac{2}{3}$$

Vemos que dado rojo gana al verde, el verde al azul, el azul al naranja y el naranja al rojo y todos con las misma probabilidad 2/3. Si nos fijamos en los dados opuestos en el grafo, se puede comprobar que el dado verde gana al dado naranja con probabilidad 5/9 pero los dados rojo y azul tienen la misma probabilidad de ganar. Se dice que el exitoso inversor estadounidense Warren Buffett es fanático de dados no transitivos. Cuando desafió a su amigo Bill Gates con un juego de dados Efron, Bill comenzó a sospechar e insistió para que Warren eligiera primero.

Otro conjunto de cinco dados no transitivos conocido como 'Grime dice' fue creado por el matemático James Grime (1980-) que colabora en la plataforma de videos de divulgación matemática Numberphile .

$$p(R>V)=p(2)·p(1)+p(7)=\frac{1}{2}·\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$$ $$p(V>A)=p(1)·p(0)+p(6)=\frac{1}{3}·\frac{1}{6}+\frac{2}{3}=\frac{13}{18}$$ $$p(A>N)=p(5)·p(4)=\frac{5}{6}·\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$$ $$p(N>M)=p(4)·p(3)+p(9)=\frac{5}{6}·\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{13}{18}$$ $$p(M>R)=p(3)·p(2)+p(8)=\frac{2}{3}·\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

En la imagen el grafo de la izquierda muestra el ciclo, indicando que el juego no es transitivo, y el grafo de la derecha muestra un ciclo alternativo.

$$p(N>R)=p(R>A)=\frac{7}{12}$$ $$p(A>M)=p(M>V)=p(V>N)=\frac{5}{9}$$ La primera 'cadena' de dados es más fuerte que la segunda. En el primer caso la probabilidad media de ganar es más del 69% mientras en el segundo caso no llega al 57%.
Unos dados curiosos llevan en sus caras los siguientes números: 0, 1, pi, la constante de Euler, la proporción áurea y el conjugado de la proporción áurea.

¿Estos dados forman un conjunto no transitivo? Con dos dados, ¿el orden se invierte como antes?

Selectividad Ciencias-Curso 2022-2023

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 22/23.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

Selectividad Ciencias Sociales-Curso 2022-2023

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias sociales del curso 22/23.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

Dados no transitivos (I)

Sean tres dados: rojo, verde y azul con sus caras numeradas como se muestra en la imagen.

Si el primer jugador elige el dado verde, entonces, si el segundo jugador elige el dado rojo tiene una mayor probabilidad de ganar. Observando el diagrama de árbol:

$$p(R>V)=p(3)·p(2)+p(6)=\frac{5}{6}·\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{7}{12}$$ Análogamente el dado verde 'gana' al azul y el dado azul 'gana' al rojo: $$p(V>A)=p(2)·p(1)+p(5)=\frac{1}{2}·\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{7}{12}$$ $$p(A>R)=p(4)·p(3)=\frac{5}{6}·\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$$

Se forma un ciclo que se visualiza en el grafo dirigido de la imagen y por tanto no se cumple la propiedad transitiva. Por lo tanto, siempre que tu oponente elija primero, siempre podrás elegir un dado con más posibilidades de ganar, con una probabilidad promedio de ganar de alrededor del 62%, aunque te gustaría que eligiera el dado rojo.
Tim Rowett presentó este juego de dados no transitivos en el Gathering for Gardner V (2002). Es una fundación educativa sin ánimo de lucro para mantener el legado del divulgador matemático Martin Gardner (1914-2010).

Si se lanzan dos dados del mismo color entonces el ciclo se invierte. Los dados verdes 'ganan' a los dados rojos: $$ p(VV>RR)=p(7)·p(6)+p(10)·p(6)+p(10)·p(9)=$$ $$\frac{18}{36}·\frac{25}{36}+\frac{9}{36}·\frac{25}{36}+\frac{9}{36}·\frac{10}{36}=\frac{765}{1296}=\frac{85}{144}$$ teniendo en cuenta que los dados verdes pueden sumar 4,7,10 y los dados rojos pueden sumar 6,9,12.

En el diagrama de árbol se muestra como ganan los dados verdes a los dados rojos y el grafo dirigido visualiza un ciclo de sentido inverso.

Los dados azules 'ganan' a los dados verdes: $$ p(AA>VV)=p(5)·p(4)+p(8)·p(4)+p(8)·p(7)=$$ $$\frac{10}{36}·\frac{9}{36}+\frac{25}{36}·\frac{9}{36}+\frac{25}{36}·\frac{18}{36}=\frac{765}{1296}=\frac{85}{144}$$ teniendo en cuenta que los dados azules pueden sumar 2,5,8 y los dados verdes pueden sumar 4,7,10.

Los dados rojos 'ganan' a los dados azules: $$ p(RR>AA)=p(6)·p(2)+p(6)·p(5)+p(9)+p(12)=$$ $$\frac{25}{36}·\frac{1}{36}+\frac{25}{36}·\frac{10}{36}+\frac{10}+\frac{1}{36}=\frac{671}{1296}$$ teniendo en cuenta que los dados rojos pueden sumar 6,9,12 y los dados azules pueden sumar 2,5,8. La probabilidad media de ganar con dos dados es alrededor del 57% y la probabilidad de que los dados rojos ganen a los dados azules es muy ajustada.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

• Se puede jugar contra el ordenador eligiendo el número de partidas y en cada tirada cualquiera de los tres colores con los botones de la izquierda.
• Se muestran los resultados acumulados después de cada tirada así como la gráfica correspondiente.
• Se puede jugar contra el ordenador eligiendo series de jugadas del tamaño deseado y siempre con un color determinado con los botones de la derecha.
• Se muestran los resultados acumulados después de cada serie así como la gráfica correspondiente.

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Modelos de urnas

Un modelo de urnas se construye a partir de un conjunto de urnas que contengan bolas de diferentes colores. Luego se establecen unas reglas que fijan el procedimiento de añadir o retirar bolas de las urnas en función del color de la bola extraída.  Dentro de los modelos de urnas tienen una importancia especial los llamados "Modelos por Contagio", esto es, modelos donde la ocurrencia de un suceso tiene efecto de cambiar la probabilidad de las posteriores ocurrencias de ese mismo suceso. 

Una urna contiene N bolas, a rojas y b verdes; se extrae al azar una bola, se reemplaza y se añaden c bolas del mismo color y d bolas del color contrario. Se hace una nueva extracción aleatoria de la urna (que ahora contiene a+b+c+d bolas) y se repite el procedimiento sucesivamente. 

Modelo directo:

Cuando se fija el número n de repeticiones del experimento y se conoce como el  Modelo de Bernard Frieman que lo propuso en 1947. Viene definido por los siguientes parámetros:

$$(a,b,c,d,n)$$

El Modelo de Pólya es un caso particular del modelo anterior cuando el parámetro d=0, y viene definido por los parámetros:

$$(a,b,c,0,n)$$

La probabilidad de que la primera bola extraída sea roja es:

$$p(r_1)=\frac{a}{N}$$

La probabilidad de que las dos primera bolas extraídas sean rojas es:

$$p(r_1,r_2)=\frac{a}{N}\frac{a+c}{N+c}$$

 La }de que las tres primera bolas extraídas sean rojas es:

$$p(r_1,r_2,r_3)=\frac{a}{N}\frac{a+c}{N+c}\frac{a+2c}{N+2c}$$

 La probabilidad de que las k primeras bolas extraídas sean rojas es:

$$p(r_1,r_2,\dots r_k)=\frac{a}{N}\frac{a+c}{N+c}\dots\frac{a+(k-1)c}{N+(k-1)c}=\frac{a^{(k,c)}}{N^{(k,c)}}$$

que es la forma simbólica y abreviada de expresar el productorio.

Si además se quiere que en las  restantes extracciones las bolas sean verdes:

$$p(r_1,r_2,\dots r_k,v_{k+1},v_{k+2}\dots v_n)=$$

$$\frac{a^{(k,c)}}{N^{(k,c)}}\frac{N-a}{N+kc}\frac{N-a+c}{N+(k+1)c}\dots \frac{N-a+(n-k-1)c}{N+(n-1)c}=$$

$$\frac{a^{(k,c)}(N-a)^{(n-k,c)}}{N^{(n,c)}}$$

Como esta probabilidad no depende del orden en que aparecen las k bolas rojas y las n-k bolas verdes, la fórmula final será:

$$\binom{n}{k}\frac{a^{(k,c)}(N-a)^{(n-k,c)}}{N^{(n,c)}}$$

Dependiendo del valor del parámetro c se tiene:

• Si c>0 el éxito y el fracaso son contagiosos, en el sentido de que un éxito o un fracaso aumenta la probabilidad de un futuro éxito o fracaso, respectivamente.
• Si c=0 los sucesos son independientes y no se alteran las condiciones iniciales.
• Si c<0 el éxito disminuye la probabilidad de un nuevo éxito  y el fracaso disminuye la probabilidad de un nuevo fracaso.

Las distribuciones de probabilidad que obtienen según los valores del parámetro c son:

• Si c=-1: Distribución hipergeométrica.
• Si c=0: Distribución binomial.
• Si c=1: Distribución hipergeométrica negativa.
• Si c=a=N-a: Distribución uniforme discreta.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

• Se puede elegir elegir el número de bolas negras 'N' y bolas rojas 'R' iniciales.
• Se pueden modificar los parámetros 'a' y 'b' de bolas de cada color que se añaden en cada iteración.
• Se puede fijar el número de iteraciones 'k'.
• Se muestran los valores y la gráfica de las sucesivas iteraciones. 
• Se muestran el número de bolas negras y rojas finales y su proporción.

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