Períodos de Pisano

Leonardo de Pisa o Leonardo Pisano es conocido como Fibonacci, hijo de Bonacci, que era el apodo de su padre. De ahí el nombre de Períodos de Pisano a los obtenidos de la sucesión de Fibonacci.
La operación módulo da el resto de una división entera: $$14 \mod 3 =2$$ donde 2 es el resto de dividir 14 entre 3.

Para la sucesión de Fibonacci: $$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181...$$ la sucesión de restos, es siempre periódica: $$F_i \mod n$$

• restos modulo 2: $$0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1...$$
• restos modulo 3: $$0,1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1...$$
• restos modulo 4: $$0,1,1,2,3,1,0,1,1,3,2,1,0,1,1,3,2,1,0,1,1,2,3,1...$$
• restos modulo 5: $$0,1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,1,1,2...$$
• restos modulo 6: $$0,1,1,2,3,5,2,1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1...$$
• restos modulo 7: $$0,1,1,2,3,5,1,6,1,0,6,6,5,4,2,6,1,0,1,1,2,3,5,1...$$
• restos modulo 8: $$0,1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0,1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1...$$
• restos modulo 9: $$0,1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,0,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1...$$

El período en función del divisor n se indica: $$\pi(n)$$ $$\pi(2)=3, \pi(3)=8,\pi(4)=6,\pi(5)=20$$ $$\pi(6)=24, \pi(7)=16, \pi(8)=12, \pi(9)=24$$ Conforme aumenta el valor del divisor, en general, tiende a aumentar el período. Salvo el caso de n=3 todos los períodos son un número par. Si dos números,m y n, son coprimos: $$\pi(m\cdot n)=\pi(m)\cdot\pi(n)\rightarrow \pi(3)\cdot\pi(4)=8\cdot 6=24=\pi(12)$$

Para las potencias de 2:

$$\pi(n)=\frac{3n}{2}\rightarrow \pi(2)=3, \pi(4)=6, \pi(8)=12$$

Para las potencias de 5:

$$\pi(n)=4n\rightarrow \pi(5)=20$$

Considerando la sucesión de restos módulo 3, dibujamos en un circulo tres puntos equdiastantes correspondientes a los tres restos posibles. Siguiendo la sucesión, se une con un segmento cada punto de un término con el punto del término siguiente (en el caso de coincidir dos términos consecutivos no se traza ningún segmento). En la imagen se muestra como se completa la figura.

En la imagen se muestran las figuras obtenidas para las sucesiones de módulo 2, 3,4,5,6,7,8 y 9.

Nos fijamos en el número de ceros que tiene cada ciclo: 2(1), 3(2), 4(1), 5(4), 6(2), 7(2), 8(2) y 9(2). Si tiene 1 cero hay asimetría, si tiene 4 ceros tiene simetría y si tiene 2 ceros puede o no tener simetría.
En el caso de módulo 10, el periodo es: $$\pi(10)=\pi(2)\cdot\pi(5)=3\cdot 20=60$$ y el ciclo tiene 4 ceros y por tanto la figura es es simétrica.

• Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

Si nos fijamos en los términos de la sucesión de Fibonacci: ...8, 13, 21, 34, 55, 89,... las figuras obtenidas de los restos módulo 8, 21, 55 son idénticas y lo mismo ocurre con las figuras de los restos módulo 13, 34, 89.