Problema de Fagnano

El triángulo DEF inscrito en el triángulo ABC que tiene un perímetro mínimo es aquel que tiene como vértices los pies de las alturas del triángulo ABC.
Resuelto analíticamente por Fagnano. Hay dos soluciones geométricas debidas a H. A. Schwartz y a L. Fejér. Veamos esta última.

En el triángulo inscrito DEF, se considera D fijo y los vértices E y F variables. Se refleja D sobre los lados AB y BC, obteniéndose los puntos D y D', que forman el triángulo isósceles D'CD'', pues CD'=CD'' y con el ang(D'CD'')=2·ang(C).

Es evidente que el triángulo inscrito DE'F' es el que tiene menor perímetro para el punto D fijo, pues DE=ED', DF=FD'', DE'=E'D' y D''F'=F'D y al estar alineados los puntos D, E', F' y D'' la distancia DE+EF+FD
Ahora se desplaza D para conseguir que el triángulo DE'F' tenga un perímetro aún menor. Como D'D''=2·CD·sen(C)  y el ángulo C es fijo, la distancia D'D'' será mínima cuando lo sea la distancia CD y esto ocurre cuando CD sea la altura del triángulo desde el vértice C.

Razonando de manera análoga con los otros puntos E y F, se deduce que el tríángulo de perímetro mínimo es el llamado triángulo órtico.