Selectividad Ciencias Sociales Curso-2024-2025

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias sociales del curso 24/25.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

Selectividad Ciencias-Curso 2024-2025

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 24/25.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

Magia con cartas (II)

DESARROLLO

• El mago entrega la baraja de cartas a un espectador y le pide que la baraje. El espectador devuelve la baraja al mago quien mira discretamente la carta que se encuentra en la parte inferior.
• El mago escribe en un papel, sin que nadie vea, la carta que visualizó. Dobla este papel varias veces y pide al espectador que lo guarde en un bolsillo.
• El mago saca doce cartas de la parte superior del mazo, boca abajo, y las coloca sobre una mesa. Luego, el mago pide al espectador que elija, al azar, cuatro de estas cartas y les dé la vuelta dejando sus caras visibles y recuerde cuáles son. Las cartas restantes las recoge el mago y las coloca en la parte inferior del mazo restante.
• El mago explica al espectador que colocará cartas, boca abajo, sobre cada una de las cuatro que eligió. El número de cartas colocadas será igual a la diferencia entre el número 10 y el valor de la carta elegida. Por ejemplo, el mago colocará siete cartas sobre una carta que es un tres, contando en voz alta: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Si se ha elegido una de las figuras (K, Q, J), no se repartirán cartas, ya que, en este truco, las figuras cuentan como diez.
• El mago pide al espectador que sume los valores de las cuatro cartas que eligió inicialmente.
• El mago descarta del mazo restante el número de cartas correspondientes a esta suma, creando un montón sobre la mesa. Muestra la carta que estaba encima de esa pila.
• El mago pide al espectador que saque del bolsillo el papel que le habían entregado al principio y confirme si coincide con la carta que le entregó. ¡Y coinciden!

EXPLICACIÓN

Al recoger las ocho cartas y colocarlas en la parte inferior del mazo coloca la carta que miró el mago en la posición 40. Después de repartir correctamente las cartas y sumar los valores de las cuatro cartas boca arriba, la cuenta recaerá invariablemente en esta carta. ¡La cuenta termina en la novena carta desde el final del mazo!

Si el número de las 4 cartas es:  $$n_1, n_2, n_3, n_4$$

El número de cartas colocadas serán: $$10-n_1+10-n_2+10-n_3+10-n_4=40- (n_1+n_2+n_3+n_4)$$

Al quitar ahora del mazo: $$n_1+n_2+n_3+n_4=40$$

Es decir, la solución es la última carta que ha puesto en el montón, la que está en la posición 40.

Magia con cartas (I)

PREPARACIÓN

Previamente y sin el conocimiento de los espectadores, el mago coloca, desde la parte superior de la baraja, y con las caras hacia abajo, nueve cartas según la siguiente secuencia: 7 3 5 4 9 2 A 6 8.

El palo no tiene importancia. Esta secuencia se puede cambiar, sin embargo, se debe asegurar que la suma de los valores de las tres primeras cartas sea igual a 15, así como la suma de los tríos siguientes. El mago también debe introducir el código 1665 en el candado.

DESARROLLO

• El mago pide prestado al público un objeto, un anillo o un llavero, algo que pueda sujetar a su candado. Después de hacerlo, cambia la combinación discretamente. Le entrega el candado a un espectador y le pide que cambie aleatoriamente los números de la combinación. El candado podrá permanecer en posesión de este último espectador hasta el final del truco.
• Luego, el mago solicita la participación de otros tres espectadores. Distribuye las nueve cartas, que están en la parte superior del mazo, entre los tres voluntarios, siempre boca abajo. Las tres primeras cartas se entregan al primer espectador, las tres siguientes al segundo y las restantes al tercero. Cada espectador puede barajar sus tres cartas.
• El mago dice que los tres espectadores le ayudarán a descubrir el código que le permitirá abrir la cerradura y recuperar el objeto prestado. Para ello, el mago tendrá que sumar tres números, de tres dígitos, que serán presentados por los espectadores con ayuda de las cartas que tengan en la mano. Antes de iniciar todo el procedimiento, el mago pide a los voluntarios que decidan, entre ellos, quién proporcionará las centenas, las decenas y las unidades.
• Después el mago se dirige a una pizarra. Le pide al 'espectador de las centenas' que elija una de sus cartas y anuncie su valor. El mago afirma que esta carta debe descartarse. El mago anota el número anunciado en la pizarra y pide al 'espectador de las decenas' y luego al 'espectador de las unidades' que hagan lo mismo. Cada espectador tiene dos cartas en la mano y en el tablero está grabado un número de tres cifras. El mago repite el procedimiento hasta que se queda sin cartas. Los tres números grabados en la pizarra deben estar alineados para que se puedan sumar con el algoritmo de suma habitual.
• El mago suma los tres números. El mago anuncia al público que la suma obtenida (1665) podría ser la combinación del candado y luego pide al espectador, que lo tiene consigo, que introduzca este código. ¡Y  el candado se abre! ¡MAGIA!

EXPLICACIÓN

Consideremos las 9 cartas: $$a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2,c_3$$ sabiendo que están preparadas para que: $$a_1+a_2+a_3=15 $$ $$b_1+b_2+b_3=15 $$ $$c_1+c_2+c_3=15 $$

 Al sumar podemos tener la siguiente situación:

Independientemente de las permutaciones de las cartas de cada espectador, la suma obtenida siempre será 1665, ya que el algoritmo de suma utilizado se realiza por columnas.

2025: un año muy matemático

Este año es un cuadrado perfecto: $$2025=45^2$$ El anterior no lo conocimos, fue 1936 y el próximo no lo conceremos, será 2116. Además el año se puede expresar de muchas maneras:

• 2025=34·52 (suma igual de las cifras)
• 2025=272+362 (suma igual de las cifras)
• 2025=13+23+33+43+53+63+73+83+93

Sucesión de Connell

La sucesión de Connell es una sucesión de números naturales construida de la siguiente manera: empezamos anotando el primer impar, luego los dos siguientes pares, los tres siguientes impares,…. Y así, sucesivamente, formando la sucesión: $$1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, \dots$$ El término general de esta sucesión viene dado por la expresión: $$C_n=2n-\lfloor \frac{1}{2} \sqrt{8n+7}+1\rfloor$$ Para términos, suficientemente avanzados, se cumple: $$ \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{C_n}{n}=2$$ Las subsucesiones son: $$ S_1=\{1\}, S_2=\{2,4\}, S_3=\{5,7,9\}, S_4=\{10,12,14,16\} \dots$$ Los números triangulares (poligonales de orden 3) se obtienen con la fórmula: $$T(n)=P_3(n)=\frac{1}{2}n(n+1) \rightarrow 1, 3, 6, 10, ...\dots$$ Observando los últimos números de cada subsucesión se cumple: $$C(T_n)=n^2$$ Stevens generalizó la sucesión de Connell, donde el término general es: $$C_{m,r} \wedge m \geq 2 \wedge r \geq 1$$ Se parte del entero 1 que es un número congruente con 1 (mod m); le sigue el entero 1+r congruente con 2 (mod m); luego el entero 1+2r congruente con 3 (mod m) y así sucesivamente. Si m=2 y r=1 (los valores mínimos) se obtiene la sucesión de Connell. De forma más detallada se tiene su definición:

• La sucesión está formada por subsucesiones concatendas S1, S2, S3,...
• La subsucesión S1 está formada por el elemento 1.
• Si la subsucesión Sn termina en el elemento e, la subsucesión Sn+1 empieza en e+1.
• Si la subsucesión Sn contiene t términos, la subsucesión Sn+1 contiene t+r términos.
• Si la sucesión es creciente y la diferencia entre dos términos consecutivos de la misma subsucesión es m.

Sea la sucesión: C3,2: 1;2,5,8;9,12,15,18,21;22,25,28,31,34,37,40,...

Los números octogonales (poligonales de orden 8) se obtienen con la fórmula: $$P_8(n)=n(3n-2) \rightarrow 1, 8, 21, 40, ...\dots$$ Observando los últimos números de cada subsucesión se cumple: $$P_8(n)=C_{3,2}(n^2)$$ Sea la sucesión: C3,1: 1;2,5;6,9,12;13,16,19,22;23,26,29,32,35...

Los números pentagonales (poligonal de orden 5) se obtienen con la fórmula: $$P_5(n)=\frac{1}{2}n(3n-1) \rightarrow 1, 5, 12, 22, 35...\dots$$ Se observa que los últimos números de cada subsucesión son P5(n).

Hay una fórmula general para los números poligonales: $$P_k(n)=\frac{1}{2}n[(k-2)n-k+4]$$ que se puede comprobar su validez para los casos anteriores y obtener P4(n): $$P_3(n), P_5(n), P_8(n), P_4(n)=n^2$$. También existe otra fórmula general que relaciona las sucesiones generalizadas de Connell con los número poligonales: $$C_{m,r}[P_{r+2}(n)]=P_{m\cdot r+2}(n)$$ que se puede aplicar a dos casos anteriores: $$C_{2,1}[P_3(n)]=P_4(n) \wedge C_{3,2}[P_4(n)]=P_8(n)$$ Para términos suficientemente avanzados, se cumple: $$ \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{C_{m,r}(n)}{n}=m$$

Selectividad Ciencias Sociales-Curso 2023-2024

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias sociales del curso 23/24.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

Selectividad Ciencias-Curso 2023-2024

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 23/24.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

Selectividad Ciencias Sociales-Curso 2022-2023

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias sociales del curso 22/23.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

Otras formas de multiplicar

EL MÉTODO EGIPCIO

Es un método por duplicación que sólo necesita saber sumar. Para multiplicar A·B, en una columna se escriben las sucesivas potencias de 2: 1,2,4,8,16,... mientras sean números menores que B. La otra columna se obtiene duplicando los valores a partir de A. Así mediante suma de potencias de 2, siempre se puede obtener el multiplicador B. Se buscan los números correspondientes de la otra columna y sumándolos se obtiene el producto A·B.

En la imagen se muestra un ejemplo, donde se puede ver el criterio a seguir para seleccionar las potencias de 2 necesarias para obtener el producto de A·B.

EL MÉTODO HINDÚ

Este algoritmo, también conocido como de las 'celosías' fue originado en la India y transmitido a China y Arabia llegando a Italia durante los siglos XV y XVI. Se construye una caja rectangular dividida en celdas cuadradas que a su vez están partidas por la mitad, como se observa en la figura. Encima de la caja se sitúan las cifras del multiplicando y a la derecha las del multiplicador.

Se multiplica cada cifra del multiplicando por cada una del multiplicador situando el resultado en la celda cuadrada correspondiente, separando las decenas de las unidades. Se hacen las sumas diagonales que van dando las diferentes cifras del producto, teniendo en cuenta que si una suma es de dos dígitos, las decenas se añade a la suma diagonal siguiente.

EL MÉTODO VÉDICO

La matemática védica de Bhárati Krishná Tirthá es un sistema de cálculo mental desarrollado por Shri Bhárati Krishná Tirtháji a mediados del siglo XX quien dijo haberse basado en el Átharva Vedá, un antiguo texto de los Vedás (los cuatro textos más antiguos de la literatura india). Vamos a analizar la multiplicación con este método.

En la figura los puntos representan cada una de las cifras, correspondiendo los de la primera línea al multiplicando y los de la segunda al multiplicador. Las líneas indican qué cifras son las que hay que multiplicar y sumar para obtener las cifras del producto. Si el resultado es de dos dígitos, la cifra de las decenas se suma a la operación siguiente.

EL MÉTODO JAPONÉS

Aunque se cree que fue inventado por los mayas, recibe este nombre porque lo utilizan los maestros japoneses para enseñar a sus alumnos. En este método se dibujan grupos de líneas verticales que indican las cifras del multiplicando y grupos de líneas horizontales que indican las cifras del multiplicador y se señalan los puntos de intersección, como se muestra en la imagen.

Se forman cuatro grupos de puntos (separados por las líneas discontinuas) y el número en cada grupo indica una de las cifras del producto. Se empieza con las unidades situadas en la parte inferior derecha de la imagen. Si el resultado es de dos dígitos, la cifra de las decenas se suma a la operación siguiente.

Sucesiones de 'Somos'

Estas sucesiones deben su nombre a su creador, el matemático americano Michael Somos.

 Con la relación de recurrencia: $$a_n=a_{n-1} \wedge a_0=1$$ se obtiene la sucesión Somos-1: $$1,1,1,1,1,\ldots$$

Con la relación de recurrencia:

$$a_n=\frac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}} \wedge a_0,a_1=1$$ se obtiene la sucesión Somos-2: $$1,1,1,1,1,\ldots$$

Con la relación de recurrencia:

$$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-2}}{a_{n-3}} \wedge a_0,a_1,a_2=1$$ se obtiene la sucesión Somos-3: $$1,1,1,1,1,\ldots$$

Vemos que los elementos semilla de la sucesión son siempre 1 y que el número de éstos coincide con el orden de la sucesión y que todas la sucesiones son iguales.

Con la relación de recurrencia:

$$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-3}+a_n^2}{a_{n-4}} \wedge a_0,a_1,a_2,a_3=1$$

 se obtiene la sucesión Somos-4: 

$$1,1,1,1,1,2,7,23,59,314,1529,8209,83313,620297,7869898\ldots$$

Se observa que la sucesión crece muy rápido pero siempre con valores enteros a pesar que en la fórmula de recurrencia hay un denominador.

Con la relación de recurrencia:

$$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-4}+a_{n-2}a_{n-3}}{a_{n-5}} \wedge a_0,a_1,a_2,a_3,a_4=1$$ se obtiene la sucesión Somos-5:

$$1,1,1,1,1,2,3,5,11,37,83,274,1217,6161,22823,165713 \ldots$$

La sucesión Somos-6 es:

$$1,1,1,1,1,1,3,5,9,23,75,37,421,1103,5047,41873,281527 \ldots$$

La sucesión Somos-7 es:

$$1,1,1,1,1,1,,3,5,9,17,41,137,769,1925,7203,340821 \ldots$$

Vemos que estas sucesiones siguen dando siempre valores enteros. ¿Se romperá esto alguna vez y aparecerá un número fraccionario?

Con la relación de recurrencia:

$$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-7}+a_{n-2}a_{n-6}+a_{n-3}a_{n-5}+a_{n-4}^2a}{a_{n-8}} \wedge a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5=1$$

se obtiene la sucesión Somos-8:

$$1,1,1,1,1,1,1,1,4,7,13,25,61,187,775,5827,14815, \ldots$$

Calculamos el siguiente término:

$$a_{17}=\frac{a_{16}a_{10}+a_{15}a_{11}+a_{14}a_{12}+a_{13}^2}{a_9}=$$ $$\frac{14815\cdot 13+5827 \cdot 25+775 \cdot 61+ 187^2}{7}=\frac{420514}{7}$$

Hemos tenido que llegar a es término de Somos-8 para que aparezca un número no entero. 

 Todas estas sucesiones se deducen de una fórmula general: $$a_n=\frac{\sum_{i=1}^{\lfloor k/2 \rfloor}a_{n-i}a_{n-(k-i)}}{a_{n-k}}$$ $$a_i=1 \hspace{0.5 cm}i=0,\ldots k-1$$ El símbolo superior del sumatorio indica 'parte entera'. Las siguientes sucesiones Somos obtienen el primer término fraccionario en posiciones cada vez más avanzadas: $$k=9,10,11, 12,13,14,15, \ldots \rightarrow a_{19},a_{20},a_{22},a_{24},a_{27},a_{28},a_{30},\ldots$$

Selectividad Ciencias Sociales-Curso 2021-2022

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias sociales del curso 21/22.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

Método de Lill

El ingeniero y oficial del ejército austríaco Eduard Lill (1830-1900) ideó en matemáticas un procedimiento gráfico para determinar las raíces reales de un polinomio, que en esencia es una representación gráfica del algoritmo de Horner. Publicó su invento en 1867 en la revista francesa 'Nouvelles Annales de Mathématiques', y Charles Hermite proporcionó una descripción del mismo para el 'Compes rendus' del mismo año. Más tarde se conoció como el método de Lill.

El método de Lill implica expresar los coeficientes de un polinomio como magnitudes de una secuencia de segmentos en ángulos rectos entre sí. Encontrar las raíces se convierte en la realización de un problema geométrico. Vamos a explicarlo con el siguiente polinomio:

$$p(x)=1x^3+5x^2+7x+3$$

Siempre se puede hacer que el coeficiente de la potencia más alta sea la unidad, basta dividir todo el polinomio por ese valor. Se construye un primer segmento AB=1 y a continuación se construyen los segmentos perpendiculares correspondientes a los demás coeficientes del polinomio de la siguiente forma:

Hacia arriba BD=5, hacia la izquierda DF=7 y hacia abajo FH=3 porque todos los coeficientes son positivos. Cuando son negativos,  se construyen en el sentido contrario a partir del extremo B. Se traza un segmento AC con el extremo en un punto cualquiera del segmento BD. Se traza el segmento CE perpendicular a AC y el segmento EG perpendicular a CE.

$$tg (\alpha)=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{1}=BC=-x$$

$$tg (\alpha)=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{1}=BC=-x \rightarrow CD=5-(-x)=5+x$$

$$tg (\alpha)=\frac{DE}{CD}=\frac{DE}{5+x}=-x \rightarrow DE=-x(5+x) \rightarrow EF=7+x(5+x)$$

$$tg (\alpha)=\frac{FG}{EF}=\frac{FG}{7+x(5+x)}=-x \rightarrow FG=-x(7+x(5+x)) \rightarrow $$

$$GH=3+x(7+x(5+x))=3+x(7+5x+x^2)=3+7x+5x^2+x^3$$

Es decir, obtenemos el polinomio pero expresado según el algoritmo de Horner.
Si se divide el polinomio por x+2, se tiene:

$$\frac{1x^3+5x^2+7x+3}{x+2}=1x^2+3x+1+\frac{1}{x+2}$$

Si se observa la figura que AB=1, CD=3 y EF=1 coinciden con los coeficientes del polinomio cociente; GH=1 es el resto de la división y BC=2 es término independiente del divisor. Para obtener una raíz debemos situar el punto C de forma que la construcción de segmentos perpediculares finalice en el punto H. No hay resto y la división es exacta.

$$p(x)=1x^3+5x^2+7x+3=(x+1)^2(x+2)$$

El polinomio tiene tres raíces (una de ellas doble) y se pueden obtener gráficamente.

• Moviendo el punto azul se obtienen dos raíces diferentes.
• Se puede ver o no la obtención de la otra raíz doble.
• Moviendo el punto rojo se obtiene la segunda raíz doble.
• Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

Desarrollando las potencias siguientes se observa que los coeficientes de los polinomios son los números combinatorios correspondientes al triángulo de Pascal.

$$(x+1)^0=1$$

$$(x+1)^2=1x^2+2x+1$$

$$(x+1)^3=1x^3+3x^2+3x^1+1$$

$$(x+1)^4=1x^4+4x^3+6x^2+4x+1$$

$$(x+1)^5=1x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$$

Podemos obtener, de forma gráfica e iterativa, la solución de cada polinomio y mostrando los segmentos cuyos tamaños son los diferentes números combinatorios.

• Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

Modelo lingüístico de Abrams-Strogatz

El 90% de las lenguas del mundo pueden desaparecer en la próxima generación. Vamos a analizar la competencia entre dos lenguas en un ámbito determinado y donde los individuos son monlingües y como una de ellas acaba imponiéndose a la otra. La atracción hacia una de las lenguas depende de su número de hablantes pero también del 'estatus' de una lengua, entendido como las oportunidades económicas y sociales que dan expresarse en esa lengua. Si X e Y representan dos lenguas que comparten un mismo espacio, se tiene que la velocidad con la que cambia la población que habla la lengua X es:

$$\frac{dx}{dt}=(1-x)\cdot P_{yx}-x \cdot P_{xy}$$ Siendo x la proporción de hablantes de la lengua X, y Pyx y Pxy las probabilidades de cambiar de la lengua Y a la lengua X y viceversa.

$$P_{yx}=sx^a \wedge P_{xy}=(1-s)(1-x)^a$$

donde s es el parámetro que mide el 'estatus' o 'prestigio' de la lengua, siendo: $$0 \leq s \leq 1$$

Si s<1/2 la lengua X tiene menos 'prestigio' que la lengua Y.

El parámetro a mide como influye de la mayor o menor conectividad de la población. Una población muy dispersa dificulta los contactos y disminuye la posibilidad de cambiar de lengua, eso ocurre cuando a>1. En cambio si la población está muy interconectada, ´por ejemplo grandes núcleos de población, se favorece el cambio de idioma, lo que ocurre cuando a<1.

La fracción de hablantes de la lengua X a largo plazo para a=1, se aproxima a la función exponencial decreciente: $$x=e^{(2s-1)t} \wedge s < \frac{1}{2}$$

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

• Se puede elegir la proporción de personas que hablan la lengua X.
• Se pueden modificar los parámetros 's' y 'a'.
• Se puede elegir el instante temporal y observar la proporción que habla cada lengua.
• Se muestran las gráficas de la evolución de las poblaciones.



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Los números de Lah y de Hal

Los números de Lah fueron descubiertos, en 1954, por el matemático esloveno Ivo Lah (1896-1979)  y son los coeficientes que permiten expresar factoriales crecientes en función de factoriales decrecientes.

Un factorial creciente es:

$$x^{(n)}=x(x+1)(x+2) \cdots (x+n-1)$$

Un factorial decreciente es:

$$x_{(n)}=x(x-1)(x-2) \cdots (x-n+1)$$

Así, por ejemplo, se tiene que:

$$x^{(3)}=x(x+1)(x+2)=6x+6x(x-1)+1x(x-1)(x-2)$$

$$x^{(3)}=6x_{(1)}+6x_{(2)}+1x_{(3)}$$

Los números de Lah se denotan como L(n,k) donde n es el grado del polinomio creciente y k los grados de los polinomios decrecientes. Así, en el ejemplo, los números de Lah son:

$$L(3,1)=6, L(3,2)=6, L(3,3)=1$$

y por tanto:

$$x^{(3)}=L(3,1)x_{(1)}+L(3,2)x_{(2)}+L(3,3)x_{(3)}$$

La fórmula general para obtener los factoriales crecientes en función de los factoriales decrecientes es:

$$x^{(n)}=\sum_{k=1}^{n}L(n,k)x_{(k)}$$

y la fórmula para obtener los números de Lah directamente es:

$$L(n,k)=\left( \begin{array}{c} n-1\\ k-1 \end{array} \right) \frac{n!}{k!}$$

Hay una fórmula de recurrencia para obtener, a partir de L(n,1)=n!,  los demás términos del polinomio dado:

$$L(n,k+1)=\frac{n-k}{k(k+1)}L(n,k) \rightarrow L(3,2)=\frac{3-1}{1·2}L(3,1)=6$$

Hay otra fórmula de recurrencia para obtener nuevos números al variar n:

$$L(n+1,k)=(n+k)L(n,k)+L(n,k-1)$$

$$L(n,0)=0 \wedge L(n,k)=0 \wedge k>n$$

Por ejemplo, para obtener los números de Lah para el polinomio de cuarto grado a partir de los números del polinomio de grado tres:

$$L(4,1)=(3+1)L(3,1)+L(3,0)=4·6+0=24$$

$$L(4,2)=(3+2)L(3,2)+L(3,1)=5·6+6=36$$

$$L(4,1)=(3+3)L(3,3)+L(3,2)=6·1+6=12$$

$$L(4,1)=(3+4)L(3,4)+L(3,3)=4·0+1=1$$

Por otra parte llamaremos números de Hal a los coeficientes que permiten expresar factoriales decrecientes en función de factoriales crecientes.

$$x_3{(3)}=x(x-1)(x-2)=6x-6x(x+1)+1x(x+1)(x+2)$$

$$x_{(3)}=6x^{(1)}-6x^{(2)}+1x^{(3)}$$

Así, en el ejemplo, los números de Hal son:

$$H(3,1)=6, H(3,2)=-6, H(3,3)=1$$

y por tanto:

$$x_{(3)}=H(3,1)x^{(1)}+H(3,2)x^{(2)}+H(3,3)x^{(3)}$$

La fórmula de recurrencia es:

$$H(n+1,k)=(n+k)H(n,k)-H(n,k-1)$$

$$H(n,0)=0 \wedge H(n,k)=0 \wedge k>n$$

La fórmula cerrada es:

$$H(n,k)=(-1)^k \left( \begin{array}{c} n-1\\ k-1 \end{array} \right) \frac{n!}{k!}$$

Selectividad ciencias sociales-Curso 20/21

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias sociales del curso 20/21.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

Sucesiones de Fibonacci (II)

Vamos a volver sobre la sucesión de Fibonacci: $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...$$ $$F_1=1,\quad F_2=1,\quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$$ donde el cociente de dos términos consecutivos tiende al número de oro: $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}= \phi$$ Esto permite obtener de forma aproximada un término muy avanzado de la sucesión. $$F_n \approx F_{n-1} \cdot\phi \rightarrow F_n \approx F_{n-2} \cdot\phi^2 \rightarrow F_n \approx \cdot\phi^n $$ Si se quiere obtener un término conociendo el anterior, basta multiplicarlo por el número de oro y redondear: $$F_6 \approx F_5\cdot 1.61803...\approx 8.09016... \rightarrow F_6=8$$ Veamos la diferencia entre la aproximación y el verdadero valor del término 1000000: $$F_{1000000} \approx\phi^{1000000} \approx 4.4 \cdot 10^{208987}$$ $$F_{1000000}= 1.95 \cdot 10^{208987}$$ Supongamos ahora que la sucesión se obtiene sumando (o restando) a un término el anterior de forma aleatoria con probabilidad 1/2: cara (+) o cruz (-). La fórmula de recurrencia ahora será: $$R_{n}=R_{n-1} \pm R_{n-2}$$ Si la secuencia aleatoria fuera: $$+,+,-,-,+,+,-,+,-,-,...$$ la sucesión sería: $$1,1,2,3,1,-2,-1,-3,-2,-5,-3,2,...$$ ¿Tenderá a más infinito, a menos infinito, a cero o será caótica? Pues así como la sucesión de Fibonacci clásica tiende a una tasa de crecimiento, que es el número de oro, la sucesión de Fibonacci aleatoria también tiende a una tasa de crecimiento: $$1.1319882487943...$$ conocida como la constante de Wiswanath. Así que: $$R_{1000000}=1.1319882487943...^{1000000} \approx \pm 8.3 \cdot 10^{53841}$$ Otra forma de obtener la constante es: $$|R_n|^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1.13198... \wedge n\rightarrow \infty$$ Es 'casi seguro', pues existe una remota posibilidad de obtener de forma aleatoria la sucesión de Fibonacci cuya ratio tiende al número de oro. Es evidente que, siguiendo el mismo procedimiento, se puede obtener 'seguro' el número de oro: $$|F_n|^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1.61803... \wedge n\rightarrow \infty$$ Se puede considerar que sumar o restar no sea equiprobable y tenga un sesgo. Si la probabilidad de sumar es 1, se obtendrá la sucesión de Fibonacci clásica y si la probabilidad de restar es 1, entonces se obtiene la sucesión de Fibonacci oscilante con signos alternos. ¿Qué ocurre si sólo se le suma (resta) a un término la mitad del anterior? $$R_n=R_{n-1} \pm \frac{1}{2}R_{n-2}$$ Se obtiene una sucesión que tiende a cero. Pero para valores comprendidos entre 1/2 y 1 ni se anula ni tiende a infinito. Concretamente para el valor 0.70258... ni crece ni decrece. Esto significa que la tasa de crecimiento tiende, aproximadamente, a 1.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

• Se puede obtener el valor de los los términos de la sucesión.
• Se puede obtener el valor absoluto de los los términos de la sucesión.
• Se puede obtener el valor de la tasa de crecimiento.
• Se puede elegir la probabilidad (m) de sumar o restar los términos.
• Se puede elegir la proporción (s) del término que se suma o resta.
• Se muestran las gráficas de los términos, los valores absolutos de los términos y los valores de la constante de Wiswanath.

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Los números de las mazmorras

En un castillo las torres están en la parte alta. De forma simbólica podemos considerar las potencias de potencias como las escaleras para alcanzar la torre. Las operaciones se pueden hacer de abajo a arriba (con paréntesis), o de arriba a abajo (lo correcto).

En el caso ascendente hemos obviado los paréntesis y el resultado, aunque grande, no es comparable con el obtenido en el caso descendente.

Un número  a en base b se obtiene de la siguiente manera:

$$a_b \rightarrow 123_4=(3·4^0+2·4^1+1·4^2)_{10}=27_{10}$$ Pero si hacemos una cadena de números de la forma: $$a_{b_c}$$ diremos, en forma simbólica, que las escaleras nos conducen a las mazmorras o calabozos. En imagen se muestra al amo del calabozo, personaje mítico del famoso juego de rol 'Dragones y Mazmorras'.

Veamos como se van obteniendo los diferentes resultados, a partir del número 10 e incrementando una unidad la nueva base, según se vayan realizando de abajo a arriba (lo correcto) o de arriba a abajo (con paréntesis).

Aunque parece que el orden no altera el resultado, no es cierto si seguimos avanzando en la serie. Cuando vamos de abajo a arriba se tiene:

$$10, 11, 13, 16, 20,25 , 31, 38, 46, 55, 65, 87, ...$$

En cambio si vamos de arriba a abajo los valores son:

$$10, 11, 13, 16,20,30,48,76,132,420,1640,11991...$$

y el crecimiento es mucho más rápido.

Si en vez de ir aumentando desde 10 de forma descendente, se hace de forma ascendente se obtiene:

Y en este supuesto, si vamos de abajo a arriba se tiene la serie: 

$$10, 11, 13, 16, 20,25 , 31, 38, 46, 55, 110,221, ...$$

En cambio, si vamos de arriba a abajo los valores son:

 $$10, 11, 13, 16, 20,28 , 45, 73, 133,348, 4943,22779, ...$$

y también el crecimiento es más rápido.

En particular, para n=35 se obtienen, respectivamente, los siguientes resultados: $$9153583, 8.6168...10^{643}, 41795936, 1.2327...10^{898}$$

Por tanto, cuando se desciende a las mazmorras del castillo, los números obtenidos, aún siendo grandes, no tienen comparación con los obtenidos cuando se sube a las torres del castillo.

Un número no entero en base b se obtiene de la siguiente forma:

$$123.45_b=1·b^2+2·b^1+3·b^0+\frac{4}{b}+\frac{5}{b^2}$$

Si lo aplicamos,de abajo a arriba, a una serie descendente con todos los valores iguales: $$a_{{a_{a}}_{...}}$$, para a=1.1 se obtienen los valores:

Si se obtienen más términos, se observa que la serie va a converger y por tanto, como la diferencia entre dos términos consecutivos será cada vez menor, se debe cumplir que:

 $$1+\frac{1}{\phi}=\phi \rightarrow \phi^2-\phi-1=0 \rightarrow \phi=\frac{1+\sqrt 5}{2}=1.6180...$$ que corresponde al número de oro.

Si a>10 diverge, si a=10 siempre es 10 pero si 1<a<10 es un sistema dinámico de manera que converge a un único valor (ej. a=1.1 al número de oro), bien oscila entre dos valores ( a=1.05) o diverge (ej. a=100/99).

Basado en el paper 'Descending Dungeons and Iterated Base-Changing' de David Applegate, Marc LeBrun and N. J. A. Sloane.

Conjetura de Kollatz (II)

 La conjetura de Collatz, también conocida como la conjetura de 3n+1, conjetura de Ulam o problema de Siracusa, es una conjetura de la teoría de números establecida por Lothar Collatz en 1937.

Si un número n es par se divide por 2:

$$f(n)=\frac{n}{2}$$

Si un número n es impar se multiplica por 3 y se le suma 1:

$$f(n)=3n+1$$

La conjetura dice: Si partimos de cualquier número natural y se aplican los criterios anteriores de  forma sucesiva a los números que se van obteniendo, siempre se termina en 1. Si se continuara el proceso se obtendría {4,2,1} de manera cíclica.

Aunque no existe una demostración matemática de la conjetura, se ha probado que para números menores que 2^68 se cumple. Por otro lado, de los 100.000.000 primeros números, el que genera la secuencia más larga es el 63.728.127 que necesita 947 iteraciones.

Los números que son suma de potencias de 2 con exponente par necesitan pocas iteraciones para llegar al 1. Por ejemplo:

$$2^0+2^2=1+4=5\rightarrow 5·3+1=16=2^4$$

$$2^0+2^2+2^4=1+4+16=21\rightarrow 21·3+1=64=2^6$$

$$2^0+2^2+2^4+2^6=1+4+16+64=85\rightarrow 85·3+1=256=2^8$$

Y como se llega a una potencia de 2, a partir de ahí sólo se necesitan  4, 6 y 8 iteraciones respectivamente.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

• Se puede elegir el valor inicial de la serie.
• Se puede ir cambiando de iteración y obtener el valor correspondiente.

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