Teorema de Napoleón

No es frecuente encontrar políticos interesados por las ciencias y menos por las matemáticas. Uno de estos casos es Napoleón Bonaparte, quien desde pequeño tuvo interés por esta ciencia y a lo largo de su vida estuvo ligado a numerosos matemáticos: Laplace, Fourier, Lagrange, Mascheroni y Monge y creando un sistema educativo donde las ciencias fueran aplicadas en beneficio del Estado.

Logró destacar en la academia militar y convertirse en oficial de artillería, en que las matemáticas tienen un papel fundamental en el cálculo de las trayectorias y la colocación de los cañones.
Con Gaspard Monge tuvo una especial relación en la campaña de Egipto y era fácil verlos discutir, junto al químico Claude Berthollet sobre química, matematicas y religión.

Existen dos problemas atribuidos al emperador, aunque no está claro si  los demostró o simplemente los propuso. Presentamos el más conocido de ellos:

Si en un triángulo ABC se construyen triángulos equiláteros exteriores sobre sus lados, los centros de dichos triángulos equiláteros determinan el triángulo GHI, conocido como triángulo de Napoleón exterior.

Análogamente, si en un triángulo ABC se construyen triángulos equiláteros interiores sobre sus lados, los centros de dichos triángulos equiláteros determinan el triángulo MNO, conocido como triángulo de Napoleón interior.

Además, el área del triángulo incial ABC es igual a la diferencia de las áreas de los triángulos exterior e interior.

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El Algebrista

Letra de Enzo R. Gentile

Música del tango “Mano a mano”

Algebrista te volviste

refinado hasta la esencia

oligarca de la ciencia

matemático bacán.

Hoy mirás a los que sudan

en las otras disciplinas

como dama a pobres minas

que laburan por el pan.

¿Te acordás que en otros tiempos

sin mayores pretensiones

mendigabas soluciones

a una mísera ecuación?

Hoy la vas de riguroso

revisás los postulados

y junás por todos lados

la más vil definición.

Pero no engrupís a nadie

y es inútil que te embales

con anillos, con ideales

y con álgebras de Boole.

Todos saben que hace poco

resolviste hasta matrices

y rastreabas las raíces

con el método de Sturn.

Pero puede que algún día

con las vueltas de la vida

tanta cáscara aburrida

te llegue a cansar al fin.

Y añores tal vez el día

que sin álgebras abstractas

y con dos cifras exactas

te sentías tan feliz.

Si querés cantar el tango aquí tenés la música.

El número de oro y otros números metálicos

A la sucesión de recurrencia:
$$u_{n+1}=pu_{n}+qu_{n-1}$$
le correspnde, en ecuaciones en diferencias, la siguiente ecuación característica:
$$x^{2}-px-q=0$$
cuya solución positiva es:
$$\frac{p+\sqrt{p^2+4q}}{2}$$
Se obtienen así los llamados números metálicos:

p	1	2	3	1	1
q	1	1	1	2	3
número	oro	plata	bronce	cobre	niquel
valor	$$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$	$$1+\sqrt{2}$$	$$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$$	$$2$$	$$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$$

La sucesión con p=q=1 es la conocida sucesión de Fibonacci.
La sucesión generalizada de Fibonacci es:$$G(n+1)=pG(n)+qG(n-1)$$ Y si a y b son los términos iniciales:
$$a,b,pb+qa,p(pb+qa)+qb,...$$ Operando en la expresión recurrente y tomando límites: $$\frac{G(n+1)}{G(n)}=p+\frac{G(n-1)} {G(n)}q$$ $$x=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{G(n+1)}{G(n)}$$ $$x=p+\frac{q}{x}$$ $$x^2-px-q=0$$
se obtiene la ecuación característica de la ecuación en diferencias.

Por tanto, el cociente de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci Generalizda tiende siempre al número metálico corespondiente.

La familia de los números metálicos fue introducida en 1995 por la matemática argentina Vera W. Spinadel.