sábado, 6 de julio de 2013

La media derivada

¿Existe un operador, que se comporte como una media derivada?
H2f(x)=Df(x)

Existe y estaría representado por:
Hf(x)=D12f(x)

Más aún,  para todo a>0 real, se puede conseguir un operador:
Daf(x)
que recibe el nombre de derivada fraccional.

Si tomamos la función potencial: f(x)=xk

su derivada a-ésima es:
Daxk=k!(ka)!xka

Teniendo en cuenta la función gamma:
Γ(z+1)=0tzetdz

que verifica para números reales positivos:
Γ(z+1)=z!

la derivada a-ésima se expresa como:
Daxk=Γ(k+1)Γ(k+1a)xka

Aplicamos la media derivada una primera vez a la función potencial de 2º grado:
D12x2=Γ(3)Γ(5/2)x3/2

Aplicamos de nuevo la media derivada a la función obtenida: Γ(3)Γ(5/2)D12x3/2=Γ(3)Γ(5/2)Γ(5/2)Γ(2)x=2x

y observamos que hacer dos medias derivadas equivale a una derivada.

Si es necesario calcular la función gamma para un número fraccionario, se usa la fórmula de duplicación:
Γ(z)·Γ(z+1)=z12z·π·Γ(2z)

Si la derivada n-ésima de la función seno es:
Dnsenx=sen(x+nπ2)

podemos extender la derivación para cualquier número real a>0:
Dasenx=sen(x+aπ2)


Con el deslizador a podrás elegir la 1ª derivada fraccional y con el deslizador b elegir una 2ª derivación fraccional. Podrás observar que si a+b es un número natural, se obtiene una derivada "tradicional".

El Cálculo Fraccional trata del estudio de los llamados operadores de derivación e integración de orden fraccionario sobre dominios reales o complejos y sus aplicaciones. En realidad dichos operadores surgen con el objetivo de generalizar los conceptos de integración y de derivada para valores no enteros.
El origen del Cálculo Fraccional se remonta a 1675, momento en el que Leibniz introduce la noción de la derivada de orden n de una función. Fue posteriormente en 1695 cuando los primeros resultados publicados son citados en una carta de L'Hôpital a Leibniz, en la cual L'Hôpital plantea la cuestión del posible significado de la derivada de orden n si n=1/2. La respuesta intuitiva en ese momento de Leibniz fue: "...y esto es una paradoja aparente que permitirá en el futuro extraer consecuencias muy útiles".

A partir de aquí, son muchos los matemáticos que han estudiado este tema y han aportado su contribución al desarrollo de lo que hoy conocemos sobre Cálculo Fraccionario. Entre ellos podemos destacar a Euler, Lagrange,Fourier, Abel, Liouville, Riemann, Grünwald, Letnikov, Holmgren, Cauchy, Hadamard, Hardy, Riesz, Weyl, etc.

Sus aplicaciones van desde el control y la robótica hasta el estudio de los polímeros o las ondas sísmicas.

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