La media derivada

¿Existe un operador, que se comporte como una media derivada?
$$H^2f(x)=Df(x)$$
Existe y estaría representado por:
$$Hf(x)=D^\frac{1}{2}f(x)$$
Más aún,  para todo a>0 real, se puede conseguir un operador:
$$D^af(x)$$ que recibe el nombre de derivada fraccional.

Si tomamos la función potencial: $$f(x)=x^k$$
su derivada a-ésima es:
$$D^ax^k=\frac{k!}{(k-a)!}x^{k-a}$$
Teniendo en cuenta la función gamma:
$$\Gamma(z+1)=\int_0^\infty t^ze^{-t}\,\mathrm{d}z$$
que verifica para números reales positivos:
$$\Gamma(z+1)=z!$$
la derivada a-ésima se expresa como:
$$D^ax^k=\frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k+1-a)}x^{k-a}$$
Aplicamos la media derivada una primera vez a la función potencial de 2º grado:
$$D^\frac{1}{2}x^2=\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(5/2)}x^{3/2}$$
Aplicamos de nuevo la media derivada a la función obtenida: $$\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(5/2)}D^\frac{1}{2}x^{3/2}=\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(5/2)}\frac{\Gamma(5/2)}{\Gamma(2)}x=2x$$
y observamos que hacer dos medias derivadas equivale a una derivada.

Si es necesario calcular la función gamma para un número fraccionario, se usa la fórmula de duplicación:
$$\Gamma(z)·\Gamma(z+1)=z^{1-2z}·\sqrt {\pi}·\Gamma(2z)$$
Si la derivada n-ésima de la función seno es:
$$D^nsen x=sen(x+n\frac{\pi}{2})$$
podemos extender la derivación para cualquier número real a>0:
$$D^asen x=sen(x+a\frac{\pi}{2})$$

Con el deslizador a podrás elegir la 1ª derivada fraccional y con el deslizador b elegir una 2ª derivación fraccional. Podrás observar que si a+b es un número natural, se obtiene una derivada "tradicional".

El Cálculo Fraccional trata del estudio de los llamados operadores de derivación e integración de orden fraccionario sobre dominios reales o complejos y sus aplicaciones. En realidad dichos operadores surgen con el objetivo de generalizar los conceptos de integración y de derivada para valores no enteros.

El origen del Cálculo Fraccional se remonta a 1675, momento en el que Leibniz introduce la noción de la derivada de orden n de una función. Fue posteriormente en 1695 cuando los primeros resultados publicados son citados en una carta de L'Hôpital a Leibniz, en la cual L'Hôpital plantea la cuestión del posible significado de la derivada de orden n si n=1/2. La respuesta intuitiva en ese momento de Leibniz fue: "...y esto es una paradoja aparente que permitirá en el futuro extraer consecuencias muy útiles".

A partir de aquí, son muchos los matemáticos que han estudiado este tema y han aportado su contribución al desarrollo de lo que hoy conocemos sobre Cálculo Fraccionario. Entre ellos podemos destacar a Euler, Lagrange,Fourier, Abel, Liouville, Riemann, Grünwald, Letnikov, Holmgren, Cauchy, Hadamard, Hardy, Riesz, Weyl, etc.

Sus aplicaciones van desde el control y la robótica hasta el estudio de los polímeros o las ondas sísmicas.