domingo, 15 de diciembre de 2013

Modelo de epidemia (I)

ModeloSIR de propagación de una enfermedad:
$$S \rightarrow I \rightarrow R$$ donde S es el número de individuos susceptibles de enfermar, I los individuos infectados y R los que se han recuperado de la enfermedad y quedan inmunizados. La población total se mantiene constante:
$$N=S(t)+I(t)+R(t)$$ Las ecuaciones diferenciales son: $$\frac{dS}{dt}=-\alpha SI+\mu (N-S)$$ $$\frac{dI}{dt}=\alpha SI-\beta I-\mu I$$ $$\frac{dR}{dt}=\beta I-\mu R$$ $$\alpha, \beta, \mu$$ son las tasas de contagio, recuperación y de nacimiento-muerte, respectivamente.

El umbral epidemiológico se alcanza cuando: $$K=\frac{ \alpha S}{\beta+\mu}=1$$ Desciende el número de infectados si: $$K\leq 1 \rightarrow \frac{dI}{dt} \leq 1$$ Aumenta el número de infectados si: $$K\geq 1 \rightarrow \frac{dI}{dt}\geq 1$$
Si la tasa de nacimientos-muertes es nula, entonces el modelo simplificado corresponde al de Kermack-McKendrick.

sábado, 16 de noviembre de 2013

Teorema de Poncelet

En un triángulo rectángulo los catetos, la hipotenusa y los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita cumplen las siguientes relaciones: $$b+c=a+2 \cdot r= 2 (R+r)$$ siendo a la hipotenusa , b y c los catetos, r el radio de la circunferencia inscrita y R el radio de la circunferencia circunscrita.

domingo, 27 de octubre de 2013

Juego de ruleta: La Boule

Este juego fue inventado en el siglo XVIII en Francia como una variante del denominado La Hoca. Consiste en una versión reducida de la ruleta tradicional.

Consta de 18 casiilas numeradas del 1 al 9 en dos series, una superior y otra inferior. Los jugadores pueden apostar de manera múltiple: negro (rojo), impar (par), falta (pasa), superior (inferior) o individual a un número cualquiera. El 5 actúa como el 0 de la ruleta tradicional, pero se admite como apuesta individual.


La esperanza de ganancia para el apostante es de -11.11%, y por tanto, muy ventajosa para la banca lo que hace que cada vez sea menos frecuente su presencia en los casinos, salvo en algunos  de Francia.

sábado, 28 de septiembre de 2013

El aparato de Galton

El aparato de Galton es un mecanismo en el que una bola choca con un tope y se desplaza a izquierda o derecha, choca nuevamente y se desplaza de nuevo a izquierda o derecha y así sucesivamente hasta caer en un casillero final.

Para determinar el número esperado de bolas que caen en cada casillero, se puede considerar que al chocar cada bola se duplica, y una se va por la izquierda y otra por la derecha. Se obtienen así los números del triángulo de Pascal.

En cada nivel se obtienen los números combinatorios:
$$\left( \begin{array}{c} n\\ k \end{array} \right),k=0,1,...n$$

Si consideramos que p es la probabilidad de ir a la derecha (éxito) y q=1-p la de ir a la izquierda (fracaso), la probabilidad esperada en cada casillero es:
$$P(k)=\left( \begin{array}{c} n\\ k \end{array} \right) p^kq^{n-k}$$ que sería la probabilidad de k éxitos en un aparato de Galton de n niveles.

sábado, 21 de septiembre de 2013

La distribución binomial

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta. Da la probabilidad  de k de éxitos en n pruebas de Bernoulli independientes.

Un ensayo de Bernoulli sólo tiene dos resultados posibles: éxito con una probabilidad p o fracaso con una probabilidad q=1-p.

La función de probabilidad es: $$f(x)=P(X=x)=\left( \begin{array}{c} n\\ x \end{array} \right) p^xq^{n-x}$$ siendo la media y la varianza de la distribución: $$E[X]=np \wedge V[X]=npq$$ Si n=1 se obtiene la media y la varianza de la distribución de Bernoulli.

jueves, 29 de agosto de 2013

Flores en polares

El concepto abstracto de sistema de coordenadas polares se debe a Isaac Newton, quien en su Método de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736, introduce ocho nuevos sistemas de coordenadas (además de las cartesianas) para resolver problemas relativos a tangentes y curvas, uno de los cuales, el séptimo, es el de coordenadas polares.

En el periódico Acta Eruditorum, Jacob Bernoulli utilizó en 1691 un sistema con un punto en una línea, llamándolos polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se determinaban mediante la distancia al polo y el ángulo respecto al eje polar.

Dentro de las muchas  curvas que se pueden representar utilizando las coordenadas polares, están las flores rosáceas. Sus ecuaciones generales son las siguientes:

Flores I: $$\rho=a \cdot cos(n\theta)+b$$
Flores II: $$\rho=a \cdot  |cos(n\theta)|+b$$
Haz click en "más información" para ver el applet.

domingo, 11 de agosto de 2013

Círculo de Taylor

En un triángulo se trazan las tres alturas. Cada una de ellas, corta a un lado del triángulo en un punto llamado pie de la altura. Desde cada uno de esos puntos se trazan  dos  segementos perpendiculares sobre los otros lados. Los seis puntos obtenidos pertenecen a una circunferencia que encierra el llamado círculo de Taylor.

Estos puntos también se pueden obtener como intersecciones de las rectas paralelas a las alturas respectivas desde los pies de las otras dos.

El círculo de Taylor, es un caso particular de un círculo de Tucker: Aquel cuya circunferencia pasa por los seis puntos determinados sobre los lados de un triángulo por tres segmentos antiparalelos entre sí.

Rectas antiparalelas: Son dos rectas que cortan a otras dos cualesquiera, de modo que los ángulos que forma una de aquellas con otra de éstas sean iguales a los que forman las otras dos.

domingo, 14 de julio de 2013

Selectividad de ciencias - Curso 12/13

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 12/13.

Enunciados y soluciones de junio
Enunciados y soluciones de julio

sábado, 6 de julio de 2013

La media derivada

¿Existe un operador, que se comporte como una media derivada?
$$H^2f(x)=Df(x)$$
Existe y estaría representado por:
$$Hf(x)=D^\frac{1}{2}f(x)$$
Más aún,  para todo a>0 real, se puede conseguir un operador:
$$D^af(x)$$ que recibe el nombre de derivada fraccional.

Si tomamos la función potencial: $$f(x)=x^k$$
su derivada a-ésima es:
$$D^ax^k=\frac{k!}{(k-a)!}x^{k-a}$$
Teniendo en cuenta la función gamma:
$$\Gamma(z+1)=\int_0^\infty t^ze^{-t}\,\mathrm{d}z$$
que verifica para números reales positivos:
$$\Gamma(z+1)=z!$$
la derivada a-ésima se expresa como:
$$D^ax^k=\frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k+1-a)}x^{k-a}$$
Aplicamos la media derivada una primera vez a la función potencial de 2º grado:
$$D^\frac{1}{2}x^2=\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(5/2)}x^{3/2}$$
Aplicamos de nuevo la media derivada a la función obtenida: $$\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(5/2)}D^\frac{1}{2}x^{3/2}=\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(5/2)}\frac{\Gamma(5/2)}{\Gamma(2)}x=2x$$
y observamos que hacer dos medias derivadas equivale a una derivada.

Si es necesario calcular la función gamma para un número fraccionario, se usa la fórmula de duplicación:
$$\Gamma(z)·\Gamma(z+1)=z^{1-2z}·\sqrt {\pi}·\Gamma(2z)$$
Si la derivada n-ésima de la función seno es:
$$D^nsen x=sen(x+n\frac{\pi}{2})$$
podemos extender la derivación para cualquier número real a>0:
$$D^asen x=sen(x+a\frac{\pi}{2})$$

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Con el deslizador a podrás elegir la 1ª derivada fraccional y con el deslizador b elegir una 2ª derivación fraccional. Podrás observar que si a+b es un número natural, se obtiene una derivada "tradicional".

El Cálculo Fraccional trata del estudio de los llamados operadores de derivación e integración de orden fraccionario sobre dominios reales o complejos y sus aplicaciones. En realidad dichos operadores surgen con el objetivo de generalizar los conceptos de integración y de derivada para valores no enteros.
El origen del Cálculo Fraccional se remonta a 1675, momento en el que Leibniz introduce la noción de la derivada de orden n de una función. Fue posteriormente en 1695 cuando los primeros resultados publicados son citados en una carta de L'Hôpital a Leibniz, en la cual L'Hôpital plantea la cuestión del posible significado de la derivada de orden n si n=1/2. La respuesta intuitiva en ese momento de Leibniz fue: "...y esto es una paradoja aparente que permitirá en el futuro extraer consecuencias muy útiles".

A partir de aquí, son muchos los matemáticos que han estudiado este tema y han aportado su contribución al desarrollo de lo que hoy conocemos sobre Cálculo Fraccionario. Entre ellos podemos destacar a Euler, Lagrange,Fourier, Abel, Liouville, Riemann, Grünwald, Letnikov, Holmgren, Cauchy, Hadamard, Hardy, Riesz, Weyl, etc.

Sus aplicaciones van desde el control y la robótica hasta el estudio de los polímeros o las ondas sísmicas.

lunes, 17 de junio de 2013

Selectividad de ciencias sociales - Curso 12/13

A continuación aparecen los enunciados y soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y julio para el bachillerato de ciencias sociales del curso 12/13.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

domingo, 9 de junio de 2013

Las fórmulas de las pensiones


 Con el fin de conseguir la sostenibilidad del sistema de pensiones en España, un grupo de "12 sabios"  han propuesto dos fórmulas perversas.
Factor Equidad Intergeneracional

Con este nombre tan solidario, se pretende adecuar la pensión a la esperanza de vida. Como ésta va aumentando cada año, el valor de la pensión en el momento de la jubilación se irá reduciendo cada año que pase. Ni siquiera "adelantando" nuestra muerte, mejoraríamos la pensión, pues se trabaja con valores de vida media y no sobre las expectativas personales. Tampoco los hombres, que viven de media menos que las mujeres, tendrían una compensación porque el cálculo se hace sin tener en cuenta el sexo.
$$FEI_{j,t+s}=S_{j,t+s}\frac{e_{j,t}}{e_{j,t+s}}$$
siendo
$$S_{j,t+s}$$
pensión inicial de jubilación.
$$e_{j,t}$$
esperanza de vida de los que han entrado en el sistema s años antes.
$$e_{j,t+s}$$
esperanza de vida de los pensionistas el año de su jubilación.

Factor Revalorización Anual

Se pretende desvincular la actualización de las pensiones del Índice de Precios al Consumo (IPC) y relacionarlo con otras variables. Sólo cuando los ingresos del sistema superen a los gastos podrían subir las pensiones, siempre que el número de pensionistas y el valor de la pensión media lo permitan.

$$g_{t+1}=\overline{g}_{í,t+1}-\overline{g}_{p,t+1}-\overline{g}_{s,t+1}+\alpha \{\frac{I_t^*-G_t^*}{G_t^*}\}$$
siendo
$$g_{t+1}$$
la tasa de crecimiento nominal de la pensión.
$$\overline{g}_{í,t+1}$$
la tasa de crecimiento de los ingresos del sistema.
$$\overline{g}_{p,t+1}$$
la tasa de crecimiento del número de pensionistas.
$$\overline{g}_{s,t+1}$$
tasa de crecimiento de la pensión media, debida a la diferencia entre altas y bajas.

Las variables con el símbolo [-] se refieren a medias aritméticas móviles tomando los 5 años anteriores, el actual y los 5 años siguientes.

$$I_t^*$$
los ingresos del sistema del año anterior.
$$G_t^*$$
los gastos del sistema del año anterior.

Las variables con el símbolo [*] se refieren a medias geométricas móviles tomando los 5 años anteriores, el actual y los 5 años siguientes.

$$\alpha$$
factor entre 0 y 1 que marca el ritmo de corrección del desequilibrio presupuestario (decisión del gobierno).

sábado, 25 de mayo de 2013

Movimiento armónico simple (III)

Composición de dos movimientos armónicos simples (MAS) de direcciones perpendiculares.

Misma frecuencia:

Las ecuaciones son:
$$x=Asen(wt) \wedge y=Bsen(wt+\phi)$$
La resultante será:
$$\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}-\frac{2xy}{AB}cos\phi=sen^2\phi$$
Si están en fase: $$\phi=0 \rightarrow y=\frac{B}{A}x$$ Si están en oposición: $$\phi=180º \rightarrow y=-\frac{B}{A}x$$ Si están en cuadratura: $$\phi=90º \rightarrow \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1$$ Distinta frecuencia:

Las ecuaciones son:
$$x=Asen(w_1t) \wedge y=Bsen(w_2t+\phi)$$
Al ser las frecuencias diferentes, la diferencia de fase no es constante y la figura se va modificando de modo continuo, pero siempre inscrita en un rectángulo de semilados A y B.
Se obtienen curvas muy variadas según la relación de los periodos de los movimientos componentes y la diferencia de fase inicial (figuras de Lissayous).

lunes, 20 de mayo de 2013

Cuadrados mágicos (II)

 Un cuadrado mágico es una tabla en forma de matriz cuadrada donde las filas, las columnas y las diagonales principales suman el mismo valor y que recibe el nombre de constante mágica.

El cuadrado mágico más famoso es el de Alberto Durero, llamado diabólico, porque la constante mágica se puede obtener combinando 4 celdas de otras muchas formas: las 4 esquinas, las 4 centrales, las 2 centrales de la fila superior e inferior, las 2 centrales de la primera y última columna, cada uno de los subcuadrados en que se divide el cuadrado completo, etc.
Vamos a determinar la constante mágica para los cuadrados mágicos formados por números en progresión aritmética o geométrica.

La suma de los números del cuadrado mágico que están en progresión aritmética de diferencia d es:
$$S=\frac{a_1+a_m}{2}m=\frac{a_1+a_1+(m-1)d}{2}m=\frac{2a_1+(m-1)d}{2}m$$
Si el cuadrado es de tamaño n y su constante mágica es M(n):
$$m=n^2 \wedge S=n \cdot M(n)$$ 
entonces se cumple:
$$n \cdot M(n)=\frac{2a_1+(n^2-1)d}{2}n^2$$
y el valor de la constante mágica para un cuadrado de tamaño n es:
$$M(n)=\frac{2a_1+(n^2-1)d}{2}n$$
De manera análoga, si los números del cuadrado están en progresión geométrica de razón r, se tiene que:
$$M(n)=(a_1^2+r^{n^2-1})^{\frac{n}{2}}$$

viernes, 26 de abril de 2013

Piedra, papel y tijera

Es un juego de manos que consta de tres elementos:

La piedra  gana a la tijera rompiéndola, la tijera vence al papel cortándolo y el papel trunfa sobre la piedra envolviéndola.

Matemáticamente es un juego no transitivo y según la teoría de juegos, la estrategia óptima es la elección aleatoria. Como el número de partidas es reducido, tiene mucha importancia la psicología de los jugadores.

Los jugadores dicen Piedra... Papel... y ¡Tijera! y justo al acabar muestran todos al mismo tiempo una de sus manos, de modo que puede verse la elección de cada uno.

Existe una expansión que incorpora dos nuevos elementos: Spock y lagarto, creada por Sam Kass y apareció en un capítulo de la comedia The Big Bang Theory.


ganador acción perdedor
tijera decapita lagarto
tijera corta papel
papel tapa piedra
papel desautoriza Spock
piedra lapida lagarto
piedra aplasta tijera
lagarto come papel
lagarto envenena Spock
Spock vaporiza piedra
Spock rompe tijera


martes, 16 de abril de 2013

XI Olimpiada por internet del Baix Vinalopó

Los premiados son:

1º Óscar Sánchez Rico (IES Les Dunes) 44 p.
2º Alicia León Miralles (IES Cayetano Sempere) 41 p.
3º Manuel Dieter Warnken Miralles (IES Cayetano Sempere) 30 p.
4º María Torres Pastor (IES Pedro Ibarra) 27 p.
5º Ariadna Tenza Bañón (IES Misteri d'Elx) 24 p.
6º Nadia Guilló Sempere (IES Cayetano Sempere) 23 p.

domingo, 7 de abril de 2013

Tangentes interiores a dos circunferencias

Dadas dos circunferencias: de centro A y radio R1 (la mayor) y de centro B y radio R2 (la menor).
Se construye una circunferencia de centro A y radio R1+R2 y otra de centro C  y diámetro AB.
Estas circunferencias intersectan en los puntos D y F y se trazan las rectas que pasan por estos puntos y por el centro A.
Estas rectas, a su vez, cortan a la circunferencia de radio R1 en los puntos E y G y trazando las perpendiculares por estos puntos a las rectas anteriores, se obtiene las rectas tangentes.
Haz click en "más información" para ver el applet.

martes, 26 de marzo de 2013

Tangentes exteriores a dos circunferencias

Dadas dos circunferencias: de centro A y radio R1 (la mayor) y de centro B y radio R2 (la menor).
Se construye una circunferencia de centro A y radio R1-R2 y otra de centro C  y diámetro AB.
Estas circunferencias intersectan en los puntos D y E y se trazan las rectas que pasan por estos puntos y por el centro A.
Estas rectas, a su vez, cortan a la circunferencia de radio R1 en los puntos F y G y trazando las perpendiculares por estos puntos a las rectas anteriores, se obtiene las rectas tangentes.
Haz click en "más información" para ver el applet.

domingo, 17 de marzo de 2013

Punto de Gergonne y círculo de Adams

En un triángulo se inscribe una circunferencia (su centro es el incentro, punto de intersección de las bisectrices).
Las rectas que pasan por un vértice y el punto de tangencia del lado opuesto, se cortan en un punto llamado de Gergonne.

Los tres puntos de tangencia, de cada lado con la circunferencia, determinan un nuevo triángulo. Las rectas paralelas a los lados de este triángulo y que pasan por el punto de Gergonne, cortan a los lados del triángulo incial en seis puntos.
Además, estas rectas son perpendiculares a las bisectrices del triángulo inicial.
Estos puntos, dos en cada lado del triángulo, pertenecen una circunferencia que es concéntrica con la circunferencia inscrita en el triángulo inicial. Esta circunferencia encierra al llamado círculo de Adams.
Haz click en "más información" para ver el applet.

miércoles, 27 de febrero de 2013

La cicloide (III)

La cicloide tiene la propiedad de ser tautócrona:

Si desde dos puntos, a diferentes alturas de una cicloide invertida, dejamos caer dos bolas, éstas llegan a la vez a la parte más baja a pesar de hacer recorridos diferentes.

Christiann Huygens fue el primero en descubrir esa propiedad y aplicarlo a los relojes de péndulo. Aunque se variase la amplitud del péndulo, el período de tiempo siempre sería el mismo si el recorrido de la lenteja del péndulo fuera el de una cicloide.

Situando el péndulo entre dos topes formados por medias cicloides se consigue el objetivo.

Haz click en "más información" para ver el applet.

martes, 12 de febrero de 2013

Movimiento armónico simple (II)

Composición de dos movimientos armónicos simples (MAS) de la  misma dirección:

Misma frecuencia:

Las ecuaciones son:
$$x_1=A_1sen(wt+\phi_1) \wedge x_2=A_2sen(wt+\phi_2)$$
La resultante será:
$$x=x_1+x_2=Asen(wt+\phi)$$
Si están en fase: $$A=A_1+A_2$$ Si están en oposición: $$A=A_1-A_2$$  

Distinta frecuencia:

Las ecuaciones son:
$$x_1=A_1sen(w_1t) \wedge x_2=A_2sen(w_2t)$$ $$A=A_1+A_2$$
La amplitud en general es:
 $$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos(w_1-w_2)t}$$

domingo, 10 de febrero de 2013

Movimiento armónico simple (I)

Se llama movimiento ármónico simple (MAS) el que posee un punto que se mueve a lo largo del diámetro de una circunferencia, ocupando en cada instante la proyección sobre dicho diámetro de otro punto auxiliar que recorre la circunferencia, con movimiento circular uniforme.

La elongación es:
$$x=Asen(wt+\phi)$$
Derivando, se obtiene la velocidad:
$$v=-wAcos(wt+\phi)$$
Y volviendo a derivar, se obtiene la aceleración:
$$a=-w^2Asen(wt+\phi)=-w^2x$$
Por tanto el MAS responde a esta ecuación diferencial:
$$\frac{d^2x}{d^2t}+w^2x=0$$
La amplitud y el desfase se pueden obtener de la siguiente manera:
$$A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0}{w^2}}$$
$$tg\phi=\frac{x_0w}{v_0}$$