sábado, 24 de marzo de 2018

Teorema de Mikami y Kobayashi

Es una de las figuras que aparecen en “tablillas de madera”, Sangaku en japonés, en los templos budistas y santuarios sintoístas. Generalmente, contenían relevantes descubrimientos matemáticos de contenidos geométricos. Estas tablillas se construyeron durante el periodo EDO que duró desde 1603 hasta 1867. Un periodo caracterizado por el aislamiento de Japón del mundo occidental, lo que provocó que no se conociese en ese país el gran desarrollo que en esos siglos tuvo la Matemática en Europa, de tal manera que algunos teoremas, que llamaríamos europeos, fueron también realizados independientemente por japoneses. La aparición de las tablillas en este periodo EDO, va desde la más antigua conservada de 1683 en la prefectura de Tochigi, hasta la de Kinshouzan en 1865. En algunos casos se descubrieron muchos años más tarde de su creación, así por ejemplo, una tablilla realizada en 1814, se descubrió en 1994. Actualmente se conservan algo más de 800 tablillas pero se sabe que su número ha sido muy superior, pues se han perdido o quemado un gran número de ellas.

Al unir los incentros de los triangulos ABC, ACD, ABD y CBD formados al trazar las diagonales de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia se forma un rectángulo.
La recta AQ divide al ángulo MQP en dos ángulos alfa y beta. Por ser M el incentro de ABC se cumple que: $$\frac{\widehat{BAC}}{2}+\frac{\widehat{ACB}}{2}+\frac{\widehat{CBA}}{2}=90$$ y en el triángulo AMB: $$\widehat{BAM}+\widehat{AMB}+\widehat{MBA}=\frac{\widehat{BAC}}{2}+\widehat{AMB}+\frac{\widehat{CBA}}{2}=180$$ Por tanto: $$\widehat{AMB}=90+\frac{\widehat{ACB}}{2}$$ De forma similar, por ser Q el incentro de ABD se cumple que: $$\widehat{AQD}=90+\frac{\widehat{ADB}}{2}$$ Se cumple que: $$\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=\widehat{AMB}=\widehat{AQD}$$ por ser ángulos inscritos que abarcan el mismo arco.

El cuadrilátero AQMB está inscrito en una circunferencia siendo: $$\alpha=\frac{\widehat{CBA}}{2}$$ De manera análoga, el cuadrilátero AQPD está inscrito en una circunferencia siendo: $$\beta=\frac{\widehat{ADC}}{2}$$ Entonces: $$\widehat{MQP}=\alpha+\beta=\frac{\widehat{CBA}+\widehat{ADC}}{2}=\frac{180}{2}=90$$ De forma similar se comprobaría que los ángulos restantes del cuadrilátero son rectos y por tanto AQMB es un rectángulo.

Se pueden desplazar el centro de la circunferencia y los cuatro vértices del rectángulo (los incentros) y así cambiar el tamaño de la figura y comprobar el teorema.

lunes, 26 de febrero de 2018

Principio de Wardrop

Supongamos que 1000 vehículos desean ir de A a B y tienen dos formas de hacerlo: ACB (ADB). Ambas rutas tienen un tramo de autopista AC (DB) en los que se tarda un tiempo que no depende del número de vehículos debido a su alta capacidad y un tramo CB (AD), que al ser una vía convencional, en el que el tiempo aumenta 1 minuto por cada 100 vehículos que la transitan.
Si se elige la ruta ACB:
$$t_{AC}+t_{CB}=t_{AC}+\frac{X_{CB}}{100}$$ Si en esta ruta se tardan 15 minutos por autopista y circulan 600 vehículos, el tiempo total empleado será: $$t_{ACB}=15+\frac{600}{100}=21$$
Si se elige la ruta ADB:
$$t_{AD}+t_{DB}=\frac{X_{AD}}{100}+t_{DB}$$
Si en esta ruta se tardan 10 minutos por autopista y circulan 400 vehículos, el tiempo total empleado será:  $$t_{ADB}=\frac{400}{100}+10=14$$ Una parte de los conductores, los más avispados, que fueron por la ruta ACB eligirán la próxima vez la ruta ADB que es más rápida. Esto hará que ahora la ruta ADB sea más rápida (menos vehículos) pero la ruta ADB no lo sea tanto (más vehículos). El proceso seguirá hasta alcanzar un equilibrio que se producirá cuando los tiempos de viaje sean los mismos para ambos trayectos. A nadie le interesará cambiar en el próximo viaje.

Estamos ante un Equilibrio de Nash de la teoría de juegos: no hay cambio de estrategia individual que permita a un jugador aumentar su 'ganancia'.

En el ejemplo: $$t_{ACB}=t_{ADB}$$ $$15+\frac{250}{100}=\frac{750}{100}+10=17.5$$
 Principio de Wardrop (1952):

Los tiempos de viaje en todas las rutas es igual (entre ellas), y menor al tiempo que experimentaría cualquier vehículo que decidiera cambiar a otra ruta.
Descargar .XLS
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

  • Con las flechas se puede modificar el número de vehículos iniciales por la ruta A.
  • Con las flechas se obtiene la evolución de los tiempos y vehículos en cada ruta.
  • Con la flechas se pueden fijar los tiempos por autopista.
  • Se muestran los valores de equilibrio de tiempo y vehículos.

sábado, 27 de enero de 2018

Radicales infinitos y jerarquizados

Es posible que el primer radical infinito jerarquizado  se deba a François Viète que en 1593 publicó su famosa fórmula del número pi: $$\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt 2}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt {2+\sqrt 2}}}{2} \cdot...$$ Veamos cuál es el valor del siguiente radical infinito y jerarquizado: $$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}$$ Resolviendo por autosemejanza: $$\sqrt{2+\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}=x \rightarrow \sqrt{2+x}=x$$ $$2+x=x^2 \rightarrow x=2$$ es la única solución positiva. Generalizando se tiene: $$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+...}}}$$ se llega a la ecuación: $$a+x=x^2 \rightarrow a=x(x-1)$$ Por tanto, todo número x>1 puede escribirse como un radical infinito y jerarquizado. Por ejemplo: $$3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}$$ Generalizando un poco más: $$\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+...}}}$$ se llega a la ecuación: $$a+bx=x^2 \rightarrow a=x(x-b)$$ Se observa que si x es un número natural, existen x-1 pares de números naturales: $$(a,b) \wedge 0 < b < x$$ que permiten representar los números naturales de más de una forma, por ejemplo: $$5=\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+...}}}=\sqrt{15+2\sqrt{15+2\sqrt{15+...}}}=$$ $$\sqrt{10+3\sqrt{10+3\sqrt{15+...}}}=\sqrt{5+4\sqrt{5+4\sqrt{5+...}}}$$ En el caso de a=0 se tiene: $$\sqrt{b\sqrt{b\sqrt{b+...}}}=b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...}=b$$
Recordando la proprción aúrea:

se tiene que:
$$\frac{a}{b}=\phi \rightarrow \phi= 1+\frac{1}{\phi}\rightarrow 1=\phi(\phi-1)$$
y por tanto, el número de oro, solución positiva de la ecuación anterior, se puede expresar también mediante radicales infinitos jerarquizados:
$$\phi=\frac{1+\sqrt {5}}{2}=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}$$
En Los números metálicos podrás buscar las expresiones en radicales infinitos y jerarquizados de los números de plata, bronce, cobre y níquel. 

Pero también puede haber expresiones, con otro tipo de radicales, como: $$\psi=\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+...}}}$$ que da origen a la ecuación: $$\psi ^3-\psi-1=0\rightarrow \psi=1.32471...$$ que fue llamado número de plástico por el arquitecto Dom Hans van der Laanen en 1928.