viernes, 30 de diciembre de 2011

Dados paradójicos (III)

La paradoja de Steihaus-Trybula indica la posibilidad de que, dadas tres cantidades aleatorias A, B y C, ocurriera que las tres probabilidades:
$$P(A>B), P(B>C), P(C>A)$$ fueran mayor que 1/2 y por tanto no hubiera transitividad.
Si las cantidades A, B y C fuesen los tiempos de llegada de tres autobuses a una parada, sería más probable que llegase A antes que B, B llegase antes que C y C lo hiciera antes que A.
¡Sorprendente!

miércoles, 28 de diciembre de 2011

Dados paradójicos (II)

Disponemos de cuatro dados con sus caras numeradas de la siguiente manera:

A={0,0,4,4,4,4}, B={3,3,3,3,3,3}, C={2,2,2,2,7,7} y D={1,1,1,5,5,5}

El dado A gana al dado B, el dado B gana al dado C, el dado C gana al dado D y finalmente el dado D gana al dado A.Por tanto si un jugador elige un dado, el contrincante deberá elegir el dado que le gana. Además la proporción en todos los casos es 2:1.
Se cuenta que Warren Buffet, fan de los dados no transitivos, le dijo a Bill Gates que eligiera uno de esos dados. Bill le pidió examinarlos, y cuando los vio le dijo a Warren que eligiera primero.

¡No hay transitividad!

lunes, 26 de diciembre de 2011

Dados paradójicos (I)

Disponemos de tres dados con sus caras numeradas de la siguiente manera:

A={1,5,5,5,5,7}, B={2,4,4,6,6,6} y C={3,3,3,3,8,8}.

El dado A gana al dado C y el dado B gana, también, al dado C. En apariencia el dado C es el peor de los tres dados. Sin embargo, si juegan los tres dados a la vez, otorgando la victoria al de mayor puntuación, el que tiene más probabilidad de ganar es el C.
Si trasladamos la paradoja a la llegada de autobuses, significaría que lo más probable es que A llegue antes que C, que B llegue antes que C, pero el que tiene más probabilidades de llegar primero de los tres es el C.

¡Increíble!

domingo, 18 de diciembre de 2011

El arbelos de Arquímedes (II)

Es una famosa figura atribuida a Arquímedes, el polifacético sabio de la la antigua grecia, llena de coincidencias y conexiones matemáticas.  

El Arbelos, también conocido como la cuchilla del zapatero, es la región comprendida entre dos semicircunferencias tangentes entre sí y una semicircunferencia tangente a ambas y de radio la suma de los radios de las primeras.

domingo, 27 de noviembre de 2011

Trigonometría: ángulos complementarios

Los ángulos suplementarios son los que suman 90º y cumplen las siguientes relaciones:
$$sen(\pi/2-\alpha)=cos(\alpha)$$ $$cos(\pi/2-\alpha)=sen(\alpha)$$ $$tg(\pi/2-\alpha)=ctg(\alpha)$$

Haz click en "más información" para ver el applet.

domingo, 20 de noviembre de 2011

Trigonometría: ángulos suplementarios

Los ángulos suplementarios son los que suman 180º y cumplen las siguientes relaciones:
$$sen(\pi-\alpha)=sen(\alpha)$$ $$cos(\pi-\alpha)=-cos(\alpha)$$
$$tg(\pi-\alpha)=-tg(\alpha)$$

Haz click en "más información" para ver el applet.

martes, 15 de noviembre de 2011

Selectividad de ciencias - Curso 10/11

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, tanto de junio como de septiembre para el bachillerato de ciencias del curso 01/11.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

domingo, 6 de noviembre de 2011

Selectividad de ciencias sociales - Curso 10/11

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, tanto de junio como de septiembre para el bachillerato de ciencias sociales del curso 10/11.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

sábado, 22 de octubre de 2011

El arbelos de Arquímedes (I)

Es una famosa figura atribuida a Arquímedes, el polifacético sabio de la la antigua grecia, llena de coincidencias y conexiones matemáticas.  

El Arbelos, también conocido como la cuchilla del zapatero, es la región comprendida entre dos semicircunferencias tangentes entre sí y una semicircunferencia tangente a ambas y de radio la suma de los radios de las primeras.

martes, 27 de septiembre de 2011

Esher, Bach y Aquiles

¡¡Lee cuidadosamente el siguiente diálogo!!

Crab Canon

Achilles and the Tortoise happen upon each other
in the park one day while strolling.
Tortuga: Buen día, Sr Aquiles.

Aquiles: Vaya, lo mismo digo.

T: Qué agradable encontrarte.

A: Eso mismo pienso yo.

T: Y es un día perfecto para un paseo. Creo que me iré a casa andando.

A: ¿Ah sí? Supongo que no hay nada mejor para ti que andar.

T: A propósito, hay que reconocer que parece que estás en buena forma últimamente.

A: Muchas gracias.

T: De nada1. ¿Te apetece uno de mis puros?.

A: ¡Oh! Eres tan ignorante. En este tema los holandeses tienen un gusto bastante discutible. ¿No crees?.

T: No estoy de acuerdo, en este caso. Pero hablando de gustos, por fin vi el otro día, Crab2 Canon de tu artista favorito M.C. Escher en una galería, y aprecio completamente la belleza y la ingenuidad con las que consigue que un simple tema se combine tanto hacia adelante como hacia atrás. Pero me temo que siempre pensaré que Bach es superior a Escher.

A: No lo sé. Pero una cosa segura es que no me preocupan las discusiones sobre gustos. "De gustibus non est disputandum".

T: Dime, ¿cómo llevas lo de la edad? ¿Es cierto que ya no se tienen preocupaciones?.

A: Para ser exacto uno ya no tiene neuras.

T: ¡Oh!, bien, lo mismo me ocurre a mí.

A: Tocar el violín. Eso marca la gran diferencia, ¿sabes?.

T: Dime, ¿no tocas la guitarra?.

A: Eso lo hace un buen amigo mío. A menudo toca, el tonto3. Pero yo no tocaría la guitarra con un palo4 de diez pies.

Rápidamente, el cangrejo, aparece de repente y deambula excitado.

domingo, 18 de septiembre de 2011

La correlación lineal

La teoría de la correlación y la regresión son muy recientes y su descubrimiento se debe al médico inglés Sir Francis Galton.

Galton nació el año 1822 en Birminghan en el seno de una familia acomodada. Estudió en Hospital General de Birmingham, en el King’s College de Londres y en el Trinity de Cambridge.

Sus trabajos se desarrollaron entorno al estudio de la herencia y la expresión matemática de los fenómenos vinculados a ella. El contexto histórico en el que vivió favoreció su interés por la herencia génética: nació el mismo año que George Mendel con el que mantenía una gran afinidad y era primo de Charles Darwin.

En 1869 publicó el libro “Hereditary Genius”, y través del estudio de problemas de la herencia, llegó al concepto de correlación, siendo el primero en asignar a un conjunto de variables un número que permitía obtener una medida del grado de relación existente entre ellas.

Llegó a inferir que las personas excepcionalmente altas solían tener hijos de estatura menor que sus progenitores, mientras que las personas muy bajas solían tener hijos más altos que sus padres.

Esta observación llevó a Galton a enunciar su “principio de la mediocridad”, aplicable a las tallas de una generación respecto de las siguientes. Éste fue el origen del actual análisis de la regresión.

La observación de Galton es sin duda cierta, pero el supuesto de la regresión de la mediocridad es totalmente falso y se considera actualmente como una de las falacias de la regresión.

La justificación que se da hoy a este hecho es que los valores extremos de una distribución se deben en gran parte al azar, de ahí que los factores genéticos que producen una talla excepcional por exceso o por defecto no pasan a los hijos.

Su obra “Meteorográphica” fue el primer intento de previsión del tiempo y por otra parte puede ser considerado como el padre de la eugenesia.>

Los trabajos de Galton fueron continuados y mejorados, entre otros, por Karl Pearson.

Pearson nació en Londres en 1857 y comenzó estudiando derecho. Posteriormente ejerció la abogacía al tiempo que simultaneaba sus actividades políticas y literarias. A los 27 años comenzó a impartir clases de matemáticas aplicadas en la universidad de Londres.

En 1901 fundó la revista “Biométrica”, en la que publicó una biografía monumental de Galton.

A Pearson se deben aportaciones tan importantes como la distribución ji-dos o el test de Karl Pearson para es estudio de la bondad del ajuste de una distribución empírica a otra teórica.

Observa las imágenes que muestran dos simuladores de regresión lineal:


miércoles, 14 de septiembre de 2011

El reparto de la tarta

Queremos celebrar el "post" número 100, mediante una tarta que queremos repartir entre nuestros visitantes:
El problema consiste en cuántos trozos queda dividida la tarta en función del número de cortes:

Con un solo corte recto puedes dividir un pastel en dos partes. Un segundo corte que atraviese el primero producirá probablemente cuatro partes, y un tercer corte puede llegar a producir siete partes.
¿Cuál es el mayor número de trozos que puedes lograr con seis cortes rectos? ¿Y en general, cuántos pedazos de tarta se obtienen con n cortes?

En vez de resolver este problema por medio del ensayo y el error, una manera mejor es descubrir la regla que nos dará el mayor número de partes que pueden obtenerse con cualquier número de cortes.

El pastel sin cortar es una sola parte, de modo que cuando se hace el corte t1 se suma una parte más, lo que da dos partes en total. El corte t2 suma dos partes más, totalizando 4 y el corte t3 suma tres partes más, totalizando 7.

Parece que cada corte suma un número de partes que es igual al número del corte. Esto es cierto, y no resulta difícil observar por qué.

Considérese, por ejemplo, el tercer corte. Atraviesa dos líneas previas. Esas dos líneas dividen a la tercera en tres secciones. Cada una de esas tres secciones divide un pedazo de pastel en dos partes, de modo qué cada sección agregará un pedazo extra, y las tres secciones, naturalmente, agregarán tres pedazos.

Lo mismo ocurre en el caso de la cuarta línea. Puede marcarse de manera que cruce las otras tres líneas. Esas tres líneas dividirán a la cuarta en cuatro secciones. Cada sección agrega un pedazo extra, de modo que las cuatro secciones agregarán cuatro pedazos más. y lo mismo ocurre en el caso de la quinta línea, de la sexta y de todas las que deseemos agregar.

Este tipo de razonamiento, que va desde el caso particular hasta un número infinito de casos, se conoce como inducción matemática.

Si se tiene en cuenta esta regla, resulta fácil hacer una lista que muestre el mayor número de partes que producirá cada corte:
  • número de cortes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
  • número de partes: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22,...
¿Cuántas partes pueden hacerse con siete cortes? ¿Y con n cortes?

lunes, 5 de septiembre de 2011

Roman Opalka, pintor de la infinitud

"El problema es que somos y estamos a punto de no ser". Para Roman Opalka, visualizar el paso del tiempo llegó a convertirse en una obsesión a la que dedicó gran parte de su vida, pintando una sucesión ininterrumpida de números que comenzó en su estudio de Varsovia un día de 1965, cuando con mano temblorosa registró aquel número uno en la esquina superior izquierda de un lienzo totalmente negro. 46 años después, cuando su muerte cerró la serie, había llegado al 5607249, escribiendo el guarismo tal como lo hubiera hecho el propio artista, que no utilizaba puntos para separar órdenes de magnitud. Opalka murió el día 6 de Agosto de 2011 mientras estaba de vacaciones en Roma, a punto de cumplir 80 años.


Desde entonces hasta ahora, Opalka (Hocquincourt, Francia, 1931) pintó un total de 233 cuadros (o detalles, como él los llamaba) en los que cada número, como cada segundo y cada minuto de nuestras vidas, precedía y era sucedido por una interminable procesión de líneas cuidadosamente ordenadas, del uno al infinito. Cada cifra tenía apenas un centímetro de altura; cada cuadro continuaba el anterior exactamente donde este lo dejó. Su quijotesca tarea, que para algunos críticos era poco menos que un suicidio, quiso exponer la inexorabilidad del tiempo que fluía a través de su vida, aproximándose a la muerte a través de la grandeza del infinito. Como él mismo escribió en 1987, "el tiempo, tal y como lo vivimos y lo creamos, encarna nuestra progresiva desaparición; estamos al mismo tiempo vivos y enfrentados con la muerte: ese es el misterio de todos los seres vivos. La conciencia de este inevitable desaparición ensancha nuestras experiencias sin disminuir nuestra alegría".

A lo largo de aquellos 46 años transcurridos entre Polonia, Alemania, Estados Unidos y Francia, donde se asentó en 1977, su obra -siempre bajo el título Opalka 1965/1 a infinito- apenas registró cambios. Usó, invariablemente, lienzos de 196 por 135 centímetros, y los números, dibujados en apenas dos trazos de idéntico grosor, siempre con un pincel número cero. En 1968 pasó del fondo negro al gris, y en 1972, al alcanzar la cifra de 1000000, empezó a aclararlo progresivamente, introduciendo cada año un 1% más de blanco. En 2008, finalmente, se encontró pintando cifras blancas sobre fondo blanco (que denominaba blanc merité, o blanco merecido).

También en 1972 empezó a grabarse pronunciando los números que iba pintando, unos 400 cada día y entre 20.000 y 30.000 por lienzo. Al final de cada sesión de trabajo se fotografiaba enfrente del detalle en el que había estado trabajando, envejeciendo mientras la secuencia de números le acompañaba hacia el infinito que tanto ansió siempre. Era reacio a los viajes, y cuando resultaban inevitables, continuaba en sus cartes de voyage, pintando números en tinta negra sobre papel blanco. Su labor llegó a ser tan absorbente y meditativa que pintaba incluso en medio de la noche, mientras el resto de la ciudad dormía; sufrió del corazón y durante un tiempo apenas podía sostener el botecito de pintura, pero nunca quiso abandonar.

Opalka, tres de cuyos cuadros fueron vendidos el año pasado en la casa de subastas Christie's por 900.000 euros, participó en muchas de las exposiciones de arte más relevantes, incluyendo Documenta (Kassel, Alemania) en 1997, la Bienal de Sao Paulo (Brasil) en 1987 y la de Venecia en 1995 y 2003, mientras que cuatro exposiciones en Italia, Francia y Corea del Sur rinden estos días homenaje a una obra cuyo primer cuadro se conserva en el Museo de Arte de Lodz, en Polonia, institución que prevé hacerse también con la última de sus obras.

¡En 1965 pintó su primer número; al morir había llegado al 5.607.249!

Fuente del texto: El País 31 agosto  2011

viernes, 26 de agosto de 2011

Selectividad de ciencias sociales - Curso 09/10

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, tanto de junio como de septiembre para el bachillerato de ciencias sociales del curso 09/10.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

martes, 23 de agosto de 2011

Selectividad de ciencias - Curso 09/10

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, tanto de junio como de septiembre para el bachillerato de ciencias del curso 09/10.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

sábado, 20 de agosto de 2011

Teorema de Pitágoras por Leonardo da Vinci

El Teorema de Pitágoras dice que "en un  triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos":

$$a^2=b^2+c^2$$

Del gran número de demostraciones de este teorema, una de las más originales se debe al maestro del Renacimiento Leonardo da Vinci.

Haz click en "más información" para ver el applet y la demostración.

viernes, 19 de agosto de 2011

Selectividad de ciencias sociales - Curso 08/09

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, tanto de junio como de septiembre para el bachillerato de ciencias sociales del curso 08/09.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

jueves, 18 de agosto de 2011

Estadística discreta

La Estadística Descriptiva es un conjunto de procedimientos que tienen como objeto presentar datos de una población de estudio mediante gráficas, tablas y parámetros que "midan" los datos obtenidos.

Una variable estadística es cada una de las características o cualidades que poseen los individuos de la población de estudio. Pueden ser cualitativas o cuantitativas y dentro de éstas, discretas o continuas.

Una variable discreta es la que toma valores aislados, es decir, que no admite valores intermedios entre dos valores específicos.

Los parámetros estadísticos pueden ser de centralizacion, de posición y de dispersión.

lunes, 15 de agosto de 2011

Selectividad de ciencias - Curso 08/09

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, tanto de junio como de septiembre para el bachillerato de ciencias del curso 08/09.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

sábado, 6 de agosto de 2011

Tangram de 5 piezas

El tangram de 5 piezas destaca por su simplicidad. Un cuadrado formado por cinco triángulos: un rectángulo isósceles, dos escalenos obtusángulos y dos rectángulos con un cateto el doble que el otro:


martes, 2 de agosto de 2011

Selectividad de ciencias sociales - Curso 07/08

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, tanto de junio como de septiembre para el bachillerato de ciencias sociales del curso 07/08.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

viernes, 29 de julio de 2011

Selectividad de ciencias - Curso 07/08

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, tanto de junio como de septiembre para el bachillerato de ciencias del curso 07/08.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

domingo, 17 de julio de 2011

Selectividad de ciencias sociales - Curso 06/07

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, tanto de junio como de septiembre para el bachillerato de ciencias sociales del curso 06/07.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre