La cicloide (III)

La cicloide tiene la propiedad de ser tautócrona:

Si desde dos puntos, a diferentes alturas de una cicloide invertida, dejamos caer dos bolas, éstas llegan a la vez a la parte más baja a pesar de hacer recorridos diferentes.

Christiann Huygens fue el primero en descubrir esa propiedad y aplicarlo a los relojes de péndulo. Aunque se variase la amplitud del péndulo, el período de tiempo siempre sería el mismo si el recorrido de la lenteja del péndulo fuera el de una cicloide.

Situando el péndulo entre dos topes formados por medias cicloides se consigue el objetivo.

Con el deslizador puedes modificar el tiempo y observar la posición de las dos bolas. Pulsando el botón de "play" se activa la animación.

Las ecuaciones de la cicloide invertida son:
$$x=r\alpha-rsen\alpha \wedge y=rcos\alpha-r$$
La velocidad de caída de una bola desde un punto de la curva a otro inferior es:
$$v_\alpha=\sqrt{2gh}$$$$h=y_\beta-y_\alpha=rcos\beta-rsen\alpha$$$$cos\beta=2cos^2\frac{\beta}{2}-1$$ $$v_\alpha=2\sqrt{gr}\sqrt{cos^2\frac{\beta}{2}-cos^2\frac{\alpha}{2}}$$$$ds=\sqrt{(\frac{dx}{d\alpha})^2+(\frac{dy}{d\alpha})^2}d\alpha=2rsen\frac{\alpha}{2}d\alpha$$$$dt=\frac{ds}{v}=\frac{2rsen\frac{\alpha}{2}}{2\sqrt{gr}\sqrt{cos^2\frac{\beta}{2}-cos^2\frac{\alpha}{2}}}$$ $$t=\sqrt{\frac{r}{g}}\int_\beta^{\pi}\frac{sen\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{cos^2\frac{\beta}{2}-cos^2\frac{\alpha}{2}}}\,\mathrm{d}\alpha=$$ $$2\sqrt{\frac{r}{g}}\int_0^{cos\frac{\beta}{2}}\frac{1}{\sqrt{cos^2\frac{\beta}{2}-u^2}}\,\mathrm{d}u=$$ $$2\sqrt{\frac{r}{g}}\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{r}{g}}$$

Por tanto, el tiempo recorrido es independiente del punto de partida. Es una constante que depende del parámetro r de la cicloide.