martes, 30 de diciembre de 2014

Teorema de Ceva

Dado un  triángulo ABC y los puntos D, E y F sobre los lados AB, BC y CA respectivamente, los segme4ntos AD, BF y CD son concurrentes si y sólo si los segmentos determinados sobre los lados cumplen la relación:
$$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{EB}{EC} \cdot \frac{FC}{FA}=1$$

jueves, 27 de noviembre de 2014

El teorema del jurado de Condorcet

Para Condorcet, matemático, filósofo y político francés del siglo XVIII, el objetivo de un buen gobierno es tomar las decisiones que sean mejores para la sociedad. Sea un grupo de n personas que necesitan decidir si una proposición es verdadera o falsa. Por ejemplo, para un jurado si el acusado es culpable o inocente.
Supongamos que cada votante tiene una probabilidad p de acertar la proposición. Se consideran a los votantes competentes si p>0.5. Se desea tomar una decisión por mayoría y que sea correcta. ¿Qué ocurre según sea el valor de p?
$$p > 0.5$$ La probabilidad de que la decisión sea correcta es mayor si aumenta el número de votantes. En el límite, cuando n tiende a infinito, la probabilidad de que la decisión sea la correcta tiende a 1. Es mejor tomar la opinión de muchos que de uno. 

¡Cuantos más competentes mejor! 
$$p < 0.5$$ La probabilidad de que la decisión sea correcta es menor si aumenta el número de votantes. En el límite tiende a 0. Es mejor tomar la opinión de uno. 

¡Cuantos más incompetentes peor!

La probabilidad de acertar m o más votantes es: $$f(p)=\sum_{k=m}^{n} \binom {n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$ Se asume que la competencia o incompetencia de cada votante es la misma. Simplificación que no afecta a las conclusiones. Sin embargo, como la gente intercambia opiniones, la independencia de cada votante es un criterio muy fuerte y no muy realista.


Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede modificar el número de votantes n y la probabilidad de acertar cada votante p 
  • Se puede modificar el porcentaje de votos afirmativos necesarios q para aceptar la propuesta  (para que la mayoría pueda ser cualificada).
  • Se muestran la probabilidad de que se acepte la propuesta f(p) en función de p, el número de votantes necesarios para ello m y la gráfica correspondiente.
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miércoles, 29 de octubre de 2014

El juego de la tarta

Cada jugador debe rellenar su molde circular utilizando tres porciones de tarta. Se van colocando alternativamente y gana el primero que completa la tarta.
La tarta está formada por 15 sectores de 24º cada uno. Las porciones van de 1 sector  hasta 9 sectores. 



Se desplazan los sectores moviendo los puntos centrales y se giran los sectores moviendo los puntos extremos.

martes, 30 de septiembre de 2014

Teorema de Stewart

Si en un triángulo ABC se traza una ceviana (segmento que une el vértice A con el lado opuesto BC), el punto de intersección D determina dos segmentos de longitudes m y n. Si d es la longitud de la ceviana y a, b, c las longitudes de los lados del triángulo, se cumple el teorema de Stewart:
$$d^2·a=n·b^2+m·c^2-n·m·a$$
Si d es la longitud de la mediana, entonces se verifica el teorema de Apolonio o teorema de la mediana:
$$b^2+c^2=\frac{a^2}{2}+2·d^2$$

viernes, 19 de septiembre de 2014

Teorema de Routh (I)

En un triángulo cualquiera se trazan tres cevianas (segmento que une un vértice con el lado opuesto). Estas cevianas se cortan en tres puntos que determinan un nuevo triángulo. El producto de las razones de los segmentos determinados en cada lado por las cevianas se mantiene constante, al modificar el tríángulo inicial, siempre que no se desplacen los puntos determinados en los lados por las cevianas.


Se puede modificar el triángulo exterior desplazando los vértices A, B y C y observar la propiedad.
Con las flechas se puede observar la construcción "paso a paso".

martes, 26 de agosto de 2014

Puntos de Brocard

En un triángulo ABC se construyen las circunferencias siguientes:
  • Pasa por A y es tangente a BC en B
  • Pasa por B y es tangente a CA en C
  • Pasa por C y es tangente a AB en A

Las tres circunferencias pasan por un mismo punto M llamado punto positivo de Brocard.

Análogamente se construyen otras tres circunferencias:
  • Pasa por A y es tangente a BC en C
  • Pasa por B y es tangente a CA en A
  • Pasa por C y es tangente a AB en B
Las tres circunferencias pasan por un mismo punto N llamado punto negativo de Brocard.

Además si se trazan las cuerdas que unen los puntos M  y N con los vértices del triángulo, se cumple la siguiente igualdad de ángulos:

ACM=BAM=CBM=ABN=BCN=CAN

Estas cuerdas reciben el nombre de primeros y segundos rayos de Brocard, respectivamente.

sábado, 2 de agosto de 2014

Teorema de la mariposa

Este teorema fue demostrado por primera vez por William George Horner además de otros como Coxeter, Shklyarsky y Greitzer. Su nombre, como puede apreciarse en la figura, proviene del aspecto final de la construcción que exige el enunciado.

Si el punto E es el punto medio de la cuerda CD de una circunferencia y FG y HI son cuerdas que pasan por E, entonces el punto E es también el punto medio del segmento JK, donde J y K son los puntos de intersección de las cuerdas FI y HG respectivamente, con la cuerda CD.

miércoles, 23 de julio de 2014

Selectividad de ciencias sociales - Curso 13/14

A continuación aparecen los enunciados y soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y julio para el bachillerato de ciencias sociales del curso 13/14.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

lunes, 21 de julio de 2014

Selectividad de ciencias - Curso 13/14

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 13/14.

Enunciados y soluciones de junio
Enunciados y soluciones de julio

jueves, 5 de junio de 2014

Nadal VS Federer

Supongamos que un jugador de tenis (Rafa Nadal) tiene una probabilidad p de ganar un point a su contrincante (Roger Federer). La probabilidad de que pierda será q, siendo p+q=1. ¿Qué probabilidad tendrá de ganar un game? ¿Y un set? ¿Y un match?

En una serie de tablas se muestran las posibles evoluciones de un game, un tie-break, un set con tie-break, un set sin tie-break y un match.
Las celdas con números en rojo corresponden a momentos de ventaja de Nadal, las celdas con números en azul indican situaciones de ventaja de Federer y las que tienen los números en negro indican situaciones de empate. Las celdas con los números en negrita indican situación de ganador de alguno de ellos.

Probabilidad de ganar un game:

Los números de la tabla recogen las distintas posibilidades de alcanzar un tanteo concreto. La celda con el 2 corresponde al tanteo 15-15 e indica que se puede alcanzar ese resultado de dos formas distintas: 15-0 ->15-15 o bien 0-15 -> 15-15. Se observa que cada celda es la suma de la celda de su izquierda y de su celda superior (siempre que existan ambas). Sabemos que en tenis se han de conseguir dos puntos de diferencia para adjudicarse el juego y conseguir al menos cuatro points.
De acuerdo con la tabla y teniendo en cuenta la probabilidad p de conseguir un point:
$$p(game)=p^4+4p^4q+10p^4q^2+^20p^5q^3+40p^6q^3+80p^7q^3+\cdots$$
$$p(game)=p^4+4p^4q+10p^4q^2(1+2pq+4p^2q^2+8p^3q^3+\cdots)$$
$$p(game)=p^4+4p^4q+\frac{10p^4q^2}{1-2pq}$$

Probabilidad de ganar un tie-break:

Un tie-break es una forma de terminar un game de manera más rápida. Si se llega a un empate a 6 games, se juega un último game de desempate que se consigue con 7 points con diferencia de dos. En caso contrario se siguen jugando points hasta conseguir esa diferencia.

De acuerdo con la tabla y teniendo en cuenta la probabilidad p de conseguir un point:
$$p(tie-break)=p^7+7p^7q+28p^7q^2+84p^7q^3+210p^7q^4+\frac{462p^7q^5}{1-2pq}$$
Probabilidad de ganar un set sin tie-break:

Un set se consigue con 6 games y una diferencia de dos. En caso de no conseguir esa diferencia con 6 games, se debe continuar hasta conseguirla.
De acuerdo con la tabla y teniendo en cuenta la probabilidad de conseguir un game:
$$p(set)=p^6+6p^6q+21p^6q^2+56p^6q^3+\frac{126p^6q^4}{1-2pq}$$
Probabilidad de ganar un set con  tie-break:


Un set se consigue con 6 games y una diferencia de dos. En caso de llegar a empate a 6 games se juega un tie-break.

De acuerdo con la tabla y teniendo en cuenta la probabilidad p de conseguir un game y un  tie-break:
$$p(set)=p^6+6p^q+21p^6q^2+56p^6q^3+126p^6q^4+252p^7q^5+504p^6q^6P$$
 siendo P la probabilidad de tie-break.

Probabilidad de ganar un match:

Un match se consigue ganando 3 setsEn caso de empate a 2 sets el último se juega con tie-breakHay competiciones en que es suficiente ganar 2 sets y el set de desempate también es con tie-break.
De acuerdo con la tabla y teniendo en cuenta la probabilidad p de conseguir un set:
$$p(match)=p^3+3p^3q+6p^2q^2P$$
siendo P la probabilidad de set con tie-break.


Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede elegir la probabilidad de ganar un point.
  • Se obtienen las probabilidades de ganar un game, un set sin tie-break, un tie-break, un set con tie-break y un match.
  • Las gráficas representan las probabilidades anteriores en función de la probabilidad de ganar un point

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  • Basado en el capítulo El tenista ebrio del libro Ingeniosos encuentros entre juegos y matemática de Ian Stewart.

sábado, 17 de mayo de 2014

Movimiento armónico amortiguado

La hipótesis de que el rozamiento no tenga influencia en el movimiento armónico de un punto unido a un muelle o de un péndulo raramente se produce en la práctica. La experiencia enseña que el medio en el que oscila el punto se opone a dichas oscilaciones con una fuerza llamada resistencia viscosa, que en la mayoría de los casos es proporcional a la velocidad del punto, siendo b el coeficiente de rozamiento del medio.
$$R=-bv$$

Por tanto la ley de Newton aplicada a un punto de masa m unido a un muelle de elasticidad k será sobre el eje x:
$$-kx-bx'=mx'$$
$$x'+\frac{b}{m}x'+\frac{k}{m}=0$$
Esta ecuación diferencial tiene como solución:
$$x=Ae^{- \frac{b}{2m}}cos(\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2}}t+\phi)$$
El coeficiente de amortiguamiento es:
$$\alpha=\frac{b}{2m}$$
La pulsación o frecuencia angular es:
$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2}}$$
Se define el factor de calidad:
$$Q=\sqrt{\frac{km}{b}}$$
y es igual a $$2·\pi$$ veces el inverso de las pérdidas de energía por período. Si b=0, entonces se obtiene el movimiento armónico clásico.


Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede elegir el valor de la elasticidad, la masa, la amplitud inicial, el desfase y el coeficiente de rozamiento.
  • Se obtienen la pulsación,el coeficiente de amortiguamiento y el factor de calidad.
  • Las gráficas representan la posición y la velocidad, las energías cinética y potencial y el espacio de fases v-x a lo largo del tiempo.
  • Al modificar el instante de tiempo se muestran los valores de la posición, velocidad, energía cinética, energía potencial y energía total.
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lunes, 21 de abril de 2014

El problema del Bar El Farol

El problema del Bar El Farol es un problema planteado en el marco de la teoría de juegos. Se basa en una anécdota real acontecida en un bar de la ciudad de Santa Fe (Nuevo M exico) llamado El Farol y fue esbozado inicialmente por el economista Brian Arthur en 1994.
El planteamiento del problema es como sigue, en Santa Fe hay un número finito de personas y el jueves por la noche todo el mundo desea ir al Bar El Farol . Sin embargo, El Farol es un local muy pequeño y no es agradable ir si está repleto de gente.
Si por ejemplo, menos del 60% de la población va a ir al bar, entonces es más agradable ir al bar que quedarse en casa, en caso contrario es mejor quedarse en casa que ir al bar.
Lamentablemente, todo el mundo necesita decidir si ir o no ir al bar al mismo tiempo y no es posible esperar para ver cuantas personas antes que ellos han decidido ir.


  • Si todo el mundo usa el mismo método y éste sugiere que el bar no estará lleno, entonces todo el mundo acudirá, por lo que el bar estará lleno.
  • Análogamente, si todo el mundo usa el mismo método y éste sugiere que el bar estará lleno, entonces nadie acudirá y, por lo tanto, el bar no estará lleno, estará vacío.


  • El modelo permite fijar el interés de la población por ir al bar y la capacidad óptima del mismo. Con la opción aleatorio los clientes van al bar al azar pero teniendo en cuenta el interés. En cambio, la opción estrategia selecciona inicialmente un número de clientes al azar, de acuerdo con el criterio de interés, y a partir de ahí los que no fueron la semana anterior van aleatoriamente y los que fueron repiten si había un número adecuado para la capacidad del bar y no van si había demasiada gente.

    Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
    • Se puede elegir el interés de la gente y la capacidad del bar.
    • El botón iniciar borra el proceso anterior.
    • Los botones aleatorio y estrategia permiten, semana a a semana, mostrar la evolución de la clientela del bar.
    • Se muestran la media, la desviación típica, el máximo y el mínimo de clientes y el gráfico temporal del proceso. También el número de clientes en la semana actual.
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    martes, 15 de abril de 2014

    XII Olimpiada Matemática del Baix Vinalopó

    Los ganadores de esta edición han sido:

    1º Francisco Javier Moreno Ordoño del IES Cayetano Sempere (Elx)

    2º Irene Leonor Bru Santa del IES Misteri d'Elx (Elx)

    3º Raúl Parreño Agulló del IES Pedro Ibarra (Elx)

    4º Noelia Ortiz Jiménez del IES Cayetano Sempere (Elx)

    5º Darius Ionut Abrudan del IES Les Dunes (Guardamar del Segura)

    6º Marina Martínez Harzi del IES Les Dunes (Guardamar del Segura)

    domingo, 13 de abril de 2014

    XII Olimpiada Matemática - Clasificación



    concursante problema 6 final
    jaavimorenno 10 52
    irene20009 47
    TorreDeAjedrez 0 38
    noeliaortiz8 37
    danobu115 4 35
    marina127 6 22
    lidiaramirez 5 21
    Jorge Ródenas
    7 18
    YaniraPerez 0 15
    mariaesteban 0 6
    SombraDeLuz 0 4
    paula250120000 4
    DavidMalb0 3
    Patricia0 2
    Pedro0 2
    Joltic300 1


    SOLUCIÓN PROBLEMA 6:

    El segmento OA=4 y el segmento OB=3 al ser la mitad de las respectivas diagonales. 
    En el triángulo OAB se aplica el teorema de Pitágoras:
    3^2+4^2=AB^2 y se obtiene el lado del rombo AB=5.
    El área del triángulo OAB se puede obtener de dos maneras: 
    (3·4)/2=6, tomando como base y altura los catetos.
    (5·OT)/2 tomando como base la hipotenusa y como altura el radio de la circunferencia inscrita.
    Por tanto 6=(5·OT)/2 y entonces OT=12/5=2,4.



    jueves, 13 de febrero de 2014

    Teorema de Newton

    En un cuadrilátero, los puntos medios de las diagonales y el centro de su circunferencia inscrita están alineados. 
    Además, las diagonales del cuadrilátero y los segmentos que unen los puntos de tangencia a la circunferencia de los lados opuestos, pasan por un mismo punto.

    miércoles, 12 de febrero de 2014

    XII Olimpiada Matemática - Ediciones Anteriores


    Aquí podéis encontrar los problemas y las soluciones de ediciones anteriores de la Olimpíada Matemática por internet del Baix Vinalopó.

    Edición de 2014
    Edición de 2013
    Edición de 2011
    Edición de 2010
    Edición de 2009
    Edición de 2008
    Edición de 2007
    Edición de 2006
    Edición de 2005

    viernes, 31 de enero de 2014

    XII Olimpíada Matemática - Bases



    El IES Carrús convoca la XII Olimpiada Matemática por internet del Baix Vinalopó (Elche, Crevillente, Guardamar y Santa Pola):
    • Pueden participar todos los alumnos y alumnas que cursen ESO en cualquier centro del Baix Vinalopó
    • Podrán inscribirse, a partir del 3 de febrero a través del blog 'Matemáticas Educativas' - www.edumat.net.
    • Una vez inscritos podrán acceder a los problemas del concurso y enviar las soluciones de manera razonada.
    • Los martes 4, 11, 18, 25 de marzo y 1, 8 de abril, a partir de las 16 h, aparecerá el problema a resolver, que deberá ser contestado antes de las 23 h del domingo siguiente.
    • Se permitirá más de un intento por problema, pero será la última respuesta la que se tendrá en cuenta, aunque respuestas anteriores hayan sido correctas.
    • Serán puntuadas las 10 primeras respuestas correctas a cada problema, de 1 a 10 puntos en orden inverso a su recepción. La puntuación será acumulativa para obtener el ganador final.
    • Antes de la presentación de cada problema se publicarán en la página web la solución y la clasificación parcial y acumulada.
    • En caso de empate a puntos, decidirá el mayor número de problemas correctamente contestados, y si persiste el empate, la puntuación más alta obtenida en un problema.
    • Habrá trofeos o diplomas para los seis primeros clasificados y regalos para todos los premiados.
    • El acto de entrega tendrá lugar en el mes de junio y se comunicará con suficiente antelación el lugar, el día y la hora.
    • Para más información, se puede enviar un correo a edumat.net@gmail.com

    miércoles, 22 de enero de 2014

    Modelo de epidemia (II)

    Modelo SIS de propagación de una enfermedad:
    $$ S \rightarrow I \rightarrow S$$ donde S es el número de individuos susceptibles de enfermar, I los individuos infectados y que una vez recuperados puden recaer en la enfermedad,. La población total se mantiene constante:
    $$N=S(t)+I(t)$$ Las ecuaciones diferenciales son:
    $$\frac{dS}{dt}=-\alpha SI+\mu (N-S)+ \beta I$$
    $$\frac{dI}{dt}=\alpha SI-\beta I-\mu I$$
    $$\alpha, \beta, \mu$$ son las tasas de contagio, recuperación y de nacimiento-muerte, respectivamente.


    La epidemia se estabiliza cuando: $$K=\frac{ \alpha S}{\beta+\mu}=1$$ Desciende el número de infectados si: $$K\leq 1 \rightarrow \frac{dI}{dt} \leq 1$$ Aumenta el número de infectados si: $$K\geq 1 \rightarrow \frac{dI}{dt}\geq 1$$
    Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
    • Se puede modificar S0, las tasas y el instante de tiempo t.
    • Se muestran St, It, el parámetro K y las gráficas correspondientes.
    Descargar .XLS

    martes, 7 de enero de 2014

    Trigonometría del cuadrado

    El círculo no es el único sistema para desarrolla una trigonometría. Sustituyendo el círculo unitario por un cuadrado de lado unidad se obtiene la trigonometría del cuadrado.

    Al recorrer un punto P(x,y) los lados del cuadrado se definen las siguientes C funciones trigonométricas:
    $$Csen \alpha=x+y$$ $$Ccos\alpha=x-y$$ $$Ctg \alpha=Csen \alpha \cdot Ccos \alpha=x^2-y^2$$ Por métodos algebraicos y utilizando la simetría se pueden obtener las tablas del seno, coseno y tangente de los ángulos más representativos (30º, 45,º 60º, 90º,...360º) y así construir las gráficas de las funciones correspondientes.