La disección de Dudeney

En general, una disección geométrica consiste en cortar una figura geométrica dada, como un triángulo, un cuadrado u otra figura más compleja, en una serie de piezas que reordenadas dan lugar a otra figura geométrica. Como ejemplo de disección geométrica podemos mostrar la solución a uno de los problemas que el matemático recreativo británico Henry E. Dudeney (1857-1930) comenta en su libro Amusements in mathematics (1917). El problema consiste en saber cómo dividir un cuadrado en cuatro partes para generar una cruz griega, es decir, una cruz con los cuatro brazos iguales. Las soluciones mostradas en el libro, que podían realizarse con dos cortes, eran:

La conocida como disección de Dudeney, de un triángulo equilátero en un cuadrado, aparece en el libro de Henry E. Dudeney, The Canterbury Puzzlescomo “el acertijo del mercero”:

Enseñó [el mercero] un trozo de tela con forma de triángulo equilátero perfecto, como se ve en la ilustración y dijo: “¿Es alguno de vosotros diestro en el corte de género? Estimo que no. Cada hombre a su oficio, y el estudioso puede aprender del lacayo, y el sabio del necio. Mostradme, pues, si podéis, de qué manera puede cortarse este trozo de género en cuatro piezas, para que puedan reunirse y formar un cuadrado perfecto”.

Proceso de disección propuesto por Dudeney a partir del triángulo equilátero ABC:

• Marcar los puntos medios D y E de los AB y BC, respectivamente.
• Prolongar el segmento AE hasta el puto F tal que EF=EB.
• Marcar el punto medio G del segmento AF y trazar el arco de circunferencia de centro G y radio GF=AG.
• Prolongar el segmento CB hasta que corte el arco de circunferencia en H.
• Trazar el arco de circunferencia con centro E y radio EH hasta que corte el lado AC en J.
• Determinar el punto K tal que JK=AD (=DB=BE=EC).
• Trazar el segmento JE.
• Trazar desde D y K los segmentos perpediculaes al segmento JE, dando lugar a los puntos L y M (los segmentos serían DL y KM).
• Los polígonos de la disección son: 1. DBEL, 2. ADLJ, 3. JMK y 4. KMEC.

• Se puede ver la obtención de la disección 'paso a paso'.
• Moviendo las barras de desplazamiento se obtiene el cuadrado.

Modelo lingüístico de Abrams-Strogatz

El 90% de las lenguas del mundo pueden desaparecer en la próxima generación. Vamos a analizar la competencia entre dos lenguas en un ámbito determinado y donde los individuos son monlingües y como una de ellas acaba imponiéndose a la otra. La atracción hacia una de las lenguas depende de su número de hablantes pero también del 'estatus' de una lengua, entendido como las oportunidades económicas y sociales que dan expresarse en esa lengua. Si X e Y representan dos lenguas que comparten un mismo espacio, se tiene que la velocidad con la que cambia la población que habla la lengua X es:

$$\frac{dx}{dt}=(1-x)\cdot P_{yx}-x \cdot P_{xy}$$ Siendo x la proporción de hablantes de la lengua X, y Pyx y Pxy las probabilidades de cambiar de la lengua Y a la lengua X y viceversa.

$$P_{yx}=sx^a \wedge P_{xy}=(1-s)(1-x)^a$$

donde s es el parámetro que mide el 'estatus' o 'prestigio' de la lengua, siendo: $$0 \leq s \leq 1$$

Si s<1/2 la lengua X tiene menos 'prestigio' que la lengua Y.

El parámetro a mide como influye de la mayor o menor conectividad de la población. Una población muy dispersa dificulta los contactos y disminuye la posibilidad de cambiar de lengua, eso ocurre cuando a>1. En cambio si la población está muy interconectada, ´por ejemplo grandes núcleos de población, se favorece el cambio de idioma, lo que ocurre cuando a<1.

La fracción de hablantes de la lengua X a largo plazo para a=1, se aproxima a la función exponencial decreciente: $$x=e^{(2s-1)t} \wedge s < \frac{1}{2}$$

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

• Se puede elegir la proporción de personas que hablan la lengua X.
• Se pueden modificar los parámetros 's' y 'a'.
• Se puede elegir el instante temporal y observar la proporción que habla cada lengua.
• Se muestran las gráficas de la evolución de las poblaciones.



Descargar .XLS

Los números de Lah y de Hal

Los números de Lah fueron descubiertos, en 1954, por el matemático esloveno Ivo Lah (1896-1979)  y son los coeficientes que permiten expresar factoriales crecientes en función de factoriales decrecientes.

Un factorial creciente es:

$$x^{(n)}=x(x+1)(x+2) \cdots (x+n-1)$$

Un factorial decreciente es:

$$x_{(n)}=x(x-1)(x-2) \cdots (x-n+1)$$

Así, por ejemplo, se tiene que:

$$x^{(3)}=x(x+1)(x+2)=6x+6x(x-1)+1x(x-1)(x-2)$$

$$x^{(3)}=6x_{(1)}+6x_{(2)}+1x_{(3)}$$

Los números de Lah se denotan como L(n,k) donde n es el grado del polinomio creciente y k los grados de los polinomios decrecientes. Así, en el ejemplo, los números de Lah son:

$$L(3,1)=6, L(3,2)=6, L(3,3)=1$$

y por tanto:

$$x^{(3)}=L(3,1)x_{(1)}+L(3,2)x_{(2)}+L(3,3)x_{(3)}$$

La fórmula general para obtener los factoriales crecientes en función de los factoriales decrecientes es:

$$x^{(n)}=\sum_{k=1}^{n}L(n,k)x_{(k)}$$

y la fórmula para obtener los números de Lah directamente es:

$$L(n,k)=\left( \begin{array}{c} n-1\\ k-1 \end{array} \right) \frac{n!}{k!}$$

Hay una fórmula de recurrencia para obtener, a partir de L(n,1)=n!,  los demás términos del polinomio dado:

$$L(n,k+1)=\frac{n-k}{k(k+1)}L(n,k) \rightarrow L(3,2)=\frac{3-1}{1·2}L(3,1)=6$$

Hay otra fórmula de recurrencia para obtener nuevos números al variar n:

$$L(n+1,k)=(n+k)L(n,k)+L(n,k-1)$$

$$L(n,0)=0 \wedge L(n,k)=0 \wedge k>n$$

Por ejemplo, para obtener los números de Lah para el polinomio de cuarto grado a partir de los números del polinomio de grado tres:

$$L(4,1)=(3+1)L(3,1)+L(3,0)=4·6+0=24$$

$$L(4,2)=(3+2)L(3,2)+L(3,1)=5·6+6=36$$

$$L(4,1)=(3+3)L(3,3)+L(3,2)=6·1+6=12$$

$$L(4,1)=(3+4)L(3,4)+L(3,3)=4·0+1=1$$

Por otra parte llamaremos números de Hal a los coeficientes que permiten expresar factoriales decrecientes en función de factoriales crecientes.

$$x_3{(3)}=x(x-1)(x-2)=6x-6x(x+1)+1x(x+1)(x+2)$$

$$x_{(3)}=6x^{(1)}-6x^{(2)}+1x^{(3)}$$

Así, en el ejemplo, los números de Hal son:

$$H(3,1)=6, H(3,2)=-6, H(3,3)=1$$

y por tanto:

$$x_{(3)}=H(3,1)x^{(1)}+H(3,2)x^{(2)}+H(3,3)x^{(3)}$$

La fórmula de recurrencia es:

$$H(n+1,k)=(n+k)H(n,k)-H(n,k-1)$$

$$H(n,0)=0 \wedge H(n,k)=0 \wedge k>n$$

La fórmula cerrada es:

$$H(n,k)=(-1)^k \left( \begin{array}{c} n-1\\ k-1 \end{array} \right) \frac{n!}{k!}$$

El problema de la suma cuadrada

Elige un número entero N. Dados todos los números enteros de 1 a N, ¿se pueden ordenar de manera que cada par adyacente sume un número cuadrado? Empecemos con un conjunto pequeño de números no consecutivos, que se pueden ordenar para conseguir el objetivo: $$\{1,3,6,8,10\} \rightarrow \{8,1,3,6,10\}\rightarrow \{9,4,9,16\}=\{3^2,2^2,3^2,4^2\}$$

No hay forma de encontrar una solucíón sin probar todas las opciones. Es un problema de los llamados tipo NP-complejo. La mejor forma de visualizar estas relaciones es mediante un grafo donde los números son los vértices y las aristas conectan dos vértices cuya suma sea un número cuadrado. El problema tiene solución si hay un camino hamiltoniano, es decir, si podemos pasar una sola vez por todos los vértices.

Se observa que se pueden enlazar hasta 17 números, pero que al añadir el número 18 no es posible:

$$\{17,8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9,16\}$$

$$\{25,9,16,25,16,9,16,25,16,9,16,25,16,9,16,25\}$$

Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

Si añaden los números 19, 20, 21 y 22 sigue sin funcionar, pero si añade el número 23 si se consigue un camino hamiltoniano y por tanto hay una solución:

$$\{18,7,9,16,20,5,11,14,2,23,13,12,4,21,15,10,6,19,17,8,1,3,22\}$$

$$\{25,16,25,36,25,16,25,16,25,36,25,16,25,36,25,16,25,36,25,9,4,25\}$$

Si añadimos el número 24 vuelve a fallar pero desde el número 25 en adelante siempre hay una solución.

Selectividad ciencias sociales-Curso 20/21

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias sociales del curso 20/21.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

Selectividad Ciencias-Curso 20/21

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 20/21.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

Sucesiones de Fibonacci (III)

Vimos una variante de la sucesión de Fibonacci que se obtenía sumando (o restando) a un término el anterior de forma aleatoria con probabilidad 1/2: cara (+) o cruz (-). La fórmula de recurrencia era: $$R_{n}=R_{n-1} \pm R_{n-2}$$ Si la secuencia aleatoria fuera: $$+,+,-,-,+,+,-,+,-,-,...$$ la sucesión sería: $$1,1,2,3,1,-2,-1,-3,-2,-5,-3,2,...$$ Ahora vamos a considerar series no aleatorias y repetidas de + y -, es decir, con un patrón fijo. Un ciclo de longitud n es: $$\sigma_n=(s_1,s_2,...,s_n) \wedge s_i\in\{+,-\} \wedge 1 \leq i \leq n$$ $$-,-,+,-,-,+,-,-,+,... \rightarrow 1,1,0,-1,-1,4,5,1,6,7,1,...$$ $$+,+,-,+,+,-,+,+,-,... \rightarrow 1,1,2,3,1,4,5,1,6,7,1,...$$ corresponde a los ciclos: $$ \sigma_3=(-,-,+) \wedge \sigma_3=(+,+,-)$$ Los resultados son muy diferentes dependiendo de la situación de esos símbolos en la cadena y de la longitud de la cadena de + y - . Si el ciclo tiene longitud n, el número de posibilidades es VR2,n.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

• Se puede obtener el valor de los los términos de la sucesión.
• Se pueden analizar las series con ciclos de 2, 3, 4 y 5 elementos.
• Se pueden modificar los signosn + y - de las series con ciclos de 2, 3, 4 y 5 elementos.
• Se muestran las gráficas de los términos de la sucesión.