sábado, 30 de mayo de 2020

Sangaku (II)

En el interior de un círculo se construyen siete círculos de tres tamaños diferentes con puntos de tangencia entre ellos. El círculo grande tiene un radio R=3r, siendo r el radio de los círculos verticales. Además 2r es el radio de los círculos gemelos mayores.



Vamos a obtener el radio x de los círculos gemelos pequeños. En el triángulo rectángulo OAB, se tiene que AB=2r+x, OB=r y OC=3r-x, y aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene:
$$(2r+x)^2=r^2+(3r-x)^2 \rightarrow x=\frac{3}{5}r \rightarrow x=\frac{R}{5}$$
Por tanto, de acuerdo con la figura:
$$r_1=\frac{2R}{5} \wedge r_2=\frac{R}{3}\wedge r_3=\frac{R}{5}$$
  • Se puede modificar y desplazar la figura moviendo los puntos azules.
  • Se muestran los valores de los radios de los círculos de distinto tamaño.
  • Se puede ver o no el triángulo de la demostración.
  • Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

jueves, 28 de mayo de 2020

Sangaku (I)

Los Sangaku son tablillas, de origen japonés,  con problemas geométricos presentes en santuarios sintoistas y a veces budistas. Estas tablillas se construyeron durante el periodo EDO que duró desde 1603 hasta 1867. Antes de estudiar un primer sangaku vamos a demostrar una propiedad de los triángulos equiláteros que deberemos aplicar posteriormente.
Sea un triángulo rectángulo ABC de catetos b y c e hipotenusa a. Vamos a obtener el radio r del círculo inscrito en función de sus lados. El área del triángulo ABC, que indicaremos [ABC], es la suma de las áreas de tres triángulos y un cuadrado: $$[ABC]=[EBF]+[DFC]+[FBC]+[AEFD]$$
Como DC=b-r y EB=c-r se tiene que:
$$\frac{bc}{2}=\frac{(c-r)r}{2}+\frac{(b-r)r}{2}+\frac{ar}{2}+r^2$$
Quitando denominadores y simplificando:
$$bc=r(a+b+c) \rightarrow r=\frac{bc}{a+b+c}=\frac{2[ABC]}{a+b+c}$$

En la imagen se muestra uno de ellos: Tres círculos iguales inscritos en los tres triángulos en que se ha dividido un triángulo isósceles. Pues bien, para que los tres círculos tengan el mismo radio, éste debe ser la cuarta parte del segmento AE. La demostración se debe a Nicolaos Dergiades (2017).
Como se observa en la figura AB=BC y AE es perpendicular a CD. Por simetría AC=AD=a; CE=ED=c, y si AE=d y DB=b, entonces BC=a+b.
En el triángulo CDB se tiene:
$$r=\frac{2[CDB]}{CD+DB+BC}=\frac{[CDB]}{\frac{a}{2}+b+c}$$
$$r=\frac{2[ACE]}{CA+AE+EC}=\frac{[ACD]}{a+c+d}$$
Al tener los dos triángulos la misma altura, las áreas son proporcionales a las bases:
$$\frac{b}{a}=\frac{[CDB]}{[ACD]}=\frac{\frac{a}{2}+b+c}{a+c+d}\rightarrow b=\frac{a(a+c)}{2(c+d)}$$
Aplicando el teorema de Stewart:
$$AC^2·DB+BC^2·AD-CD^2·AB=AD·DB·AB$$
$$a^2b+(a+b)^2a-(2c)^2(a+b)=ab(a+b) \rightarrow b=\frac{a(4c^2-a^2)}{2(a^2-2c^2)}$$
Igualando las dos expresiones se concluye que:
$$a^2-2c^2\neq0 \wedge c+d=\frac{a^2-2c^2}{2c-a}$$
En el triángulo ACE, aplicando el teorema de Pitágoras:
$$a^2-c^2=d^2\rightarrow a^2-2c^2=d^2-c^2=(d+c)(d-c)$$
Obteniendo d-c se tiene:
$$a^2-2c^2=\frac{a^2-2c^2}{2c-a}·\frac{a^2+2ac-6c^2}{2c-a}$$
Para que se cumpla la igualdad se necesita que:
$$ 3a=5c  \vee  a=5x, c=3x \rightarrow d=4x$$
y como:
$$a=(c-r)+(d-r)\rightarrow r=x=\frac{d}{4}=\frac{AE}{4}$$
Además podemos calcular el valor de los lados iguales a+b, sustituyendo x en la expresión que da el radio en función de los lados:
$$x=\frac{b·3x}{5x+b+3x}\rightarrow b=4x \rightarrow a+b=5x+4x=9x$$
En conclusión si se quiere que los círculos sean iguales con un radio dado x, las medidas del triángulo deberán ajustarse de acuerdo a las fórmulas obtenidas.


  • Se puede cambiar la base del triángulo, girarlo y desplazarlo con los puntos A y C.
  • Se puede cambiar la altura del triángulo desplazando el punto C y así poder obtener la figura con los tres radios iguales.
  • Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

martes, 24 de marzo de 2020

Modelo epidemia (III)

Un zombi es un muerto que ha sido revivido mediante un rito mágico y que carece de voluntad propia, según ciertas leyendas de Haití y del sur de Estados Unidos de América. Los muertos vivientes se hicieron populares con el éxito de la película La Noche de los Muertos Vivientes (Night of the Living Dead) de George A. Romero en 1968.
Siguiendo con los modelos de epidemia, vamos a presentar el conocido como 'Modelo Zombi'. El modelo básico se conoce con las siglas SZR. Se designa S a los humanos susceptibles de ser atacados por un zombi, Z al número de zombis y R al número zombis eliminados. La población total N se mantiene constante y por tanto en cualquier instante de tiempo se cumple: $$N=S(t)+Z(t)+R(t)$$
Las ecuaciones diferenciales son: $$\frac{dS}{dt}=-\alpha SZ$$ $$\frac{dZ}{dt}=(\alpha -\beta)SZ +\gamma R$$ $$\frac{dR}{dt}=\beta SZ-\gamma R$$
  • alfa: la probabilidad de que un zombi infecte a un humano y se convierta en un nuevo zombi.
  • beta: la probabilidad de que un humano destruya a un zombi y muera.
  • gamma: la probabilidad de que resucite y se convierta de nuevo en zombi.
El proceso se muestra en el siguiente diagrama:
Es lógico que la velocidad de infección en un instante dado sea proporcional al número de humanos y al número de zombis en ese momento, es decir, al número de encuentros posibles, siendo la tasa de contagio 'alfa' el factor de proporcionalidad.
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede modificar S0 y los parámetros.
  • Variando t se puede conocer el reparto de la pobación en cada instante.
  • Se muestran las gráficas S(t), Z(t) y R(t).
Descargar .XLS

viernes, 14 de febrero de 2020

Apuestas: La estrategia de Kelly

Sea un juego de apuesta donde la probabilidad p de ganar es superior al 50%. La estrategia consiste en apostar cada vez una fracción fija x de la fortuna disponible en cada apuesta.
Un jugador codicioso, como el juego es favorable, apostará un fracción alta de su fortuna y ganará a menudo pero cuando pierda se resentirá mucho su fortuna. En el caso extremo de apostarlo todo cada vez, irá duplicando su fortuna pero terminará en alguna jugada arruinado. En cambio, un jugador temeroso apostará una pequeña fracción y su fortuna aumentará pero muy lentamente.

¿Qué fracción se debe apostar?
La que haga que la tasa de crecimiento de la fortuna sea máxima

Si se apuesta una fracción x, se tiene 1+x si se gana y 1-x si se pierde. Después de N jugadas se ha ganado en M y se ha perdido en N-M. Si F es la fortuna inicial, después de las N jugadas, la ganancia G será:
$$G=(1+x)^M(1-x)^{N-M}F$$
Tomando logaritmos se tiene:
$$ln\left(\frac{G}{F}\right)=M·ln(1+x)+(N-M)·ln(1-x)$$
Se divide por N ambos términos:
$$\frac{1}{N}· ln\left(\frac{G}{F}\right)=\frac{M}{N}·ln(1+x)+\frac{N-M}{N}·ln(1-x)$$
El término de la izquierda representa la tasa media de crecimiento (TMC) de cada apuesta que queremos sea máxima.  Además las fracciones de porcentaje de aciertos y de pérdidas, cuando el número de apuestas crece, tienden a sus respectivas probabilidades:
$$\frac{M}{N} \rightarrow p \wedge \frac{N-M}{N} \rightarrow 1-p$$
Por tanto:
$$TMC=p·ln(1+x)+(1-p)·ln(1-x)$$

Derivando la expresión e igualando a cero para buscar el máximo, se obtiene:
$$x=2p-1=p-(1-p)$$

Estrategia de Kelly: En un juego favorable con ganancias de igual cuantía que las apuestas, la fracción de fortuna que debe apostarse es igual a la magnitud de la ventaja.

Por ejemplo si p=0.52, 1-p=0.48 y se debe apostar la diferencia 0.52-0.48=0.04 para que la tasa media de crecimiento a largo plazo sea máxima. Apostar, cada vez, el 4% de la fortuna disponible supone una tasa del 0.0008 en cada jugada. Después de N jugadas la ganancia esperada será 1.0008^N, aunque este promedio estará sujeto a grandes fluctuaciones, pues se perderá y ganará varias veces seguidas.
Descargar .XLS
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • El botón serie permite generar 100 apuestas sucesivas.
  • La gráfica muestra la serie partiendo de un valor inicial 100.
  • Con las flechas se elige la probabilidad de éxito de la apuesta.
  • Con las flechas se elige el porcentaje del saldo que se apuesta.
  • Con las flechas se ve la ganancia en una apuesta dada y el saldo hasta ese instante.
  • Se muestran la ganancia y la tasa de ganancia media teóricas.

jueves, 16 de enero de 2020

Matemagia (II)

Vamos a mostrar dos propuestas mágicas basados en los números primos.
  • PROPUESTA I: En una mesa coloca en círculo y boca abajo, 13 cartas. Elige una de ellas y la vuelves a poner boca abajo. A partir de esa carta y en el sentido de las agujas del reloj cuenta hasta llegar a la carta 8 y la volteas. A partir de esa carta repite el proceso volteando las cartas, sucesivamente, hasta que falte una que será la que has elegido. No importa al contar que estén del anverso o del reverso.

¡Los dos números han de ser primos entre sí: mcd(13,8)=1!

EXPLICACIÓN:
Sea n es el número de cartas en círculo y p el número pensado para contar con la condición de que mcd(n,p)=1. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que la  carta elegida está en posición 0.  A partir de la siguiente, contamos p cartas y se voltea. A partir de ella se cuentan otras p cartas (hemos contado ya 2p) y se voltea. Así sucesivamente 3p, 4p,...Sólo cuando contemos n veces, np será múltiplo de n y sólo quedará sin voltear la carta buscada.
Vamos a simplificarlo a 5 cartas {A,B,C,D,E} colocadas alfabéticamente en el sentido de la agujas del reloj, como se muestra en la figura. Si eliges la carta C (en naranja) y cuentas cada vez 3, se observa que la primera carta en voltear es la A (pasa de gris a blanco).  Y así sucesivamente se volteando las cartas D, B, E. Finalmente queda sin descubrir la carta C.
Al hacer un recuento en círculo es un problema de congruencia módulo 5:
3 mod 5=3 (A), 6 mod 5=1 (D), 9 mod 5=4 (B), 12 mod 5=2 (D), 15 mod 5=0 (C)

  • PROPUESTA II: Tomamos un número de tres cifras diferentes abc. A partir de él formamos el número de seis dígitos abcabc. Si se divide por 13, el resultado entero es divisible por 11 y al dividir el resultado por 7 se obtiene el número inicial. Sea el número 739739, al dividir por 13 se obtiene 56903. Al dividir ahora por 11 se obtiene 5173. Si finalmente se divide por 7 se obtiene 739.
¡Con números de esa forma ocurre siempre!

EXPLICACIÓN:
  • Un número es divisible por 13 cuando la suma de los productos de las unidades, decenas, centenas... de dicho número por los dígitos de la lista {1,-3,-4.-1,3,4} respectivamente es  0 ó múltiplo de 13. No es el único criterio de divisibilidad.
El número 53927 no es divisible y no se utilizan todos los dígitos de la lista: $$7·1+2·(-3)+9·(-4)+3·(-1)+5·3=-23$$ El número 1604928 si es divisible y se utiliza un dígito dos veces: $$8·1+2·(-3)+9·(-4)+4·(-1)+0·3+6·4+1·1=-13$$ El número abcabc es divisible por 13 independientemente de los valores a, b y c: $$1·c+(-3)·b+(-4)·a+(-1)·c+3·b+4·a=0$$
  • Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras impares y la suma de las cifras pares es 0 ó un múltiplo de 11. Se puede iniciar por la derecha o por la izquierda.
El número 57238 no es divisible y el número 945076 si es divisible: $$(5+2+8)-(7+3)=5 \wedge(9+5+7)-(4+0+6)=11$$ El número abcabc es divisible por 11 independientemente de los valoresa,b y c: $$(a+c+b)-(b+a+c)=0$$
  • Un número es divisible por 7 cuando la suma de los productos de las unidades, decenas, centenas... de dicho número por los dígitos de la lista {1,3,2.-1,-3,-2} respectivamente es 0 ó múltiplo de 7. No es el único criterio de divisibilidad.
El número 3427 no es divisible y no se utilizan todos los dígitos de la lista:$$7·1+2·3+4·2+3·(-1)=18$$El número 864192 si es divisible y utiliza todos los dígitos:
$$2·1+9·3+1·2+4·(-1)+6·(-3)+8·(-2)=-7$$El número abcabc es divisible por 7 independientemente de los valores a, b y c: $$1·c+3·b+2·a+(-1)·c+(-3)·b+(-2)·a=0$$
  • Veamos que al dividir el número abcabc por 7·11·13=1001 se obtiene el número abc:
$$abc·1001= (100a+10b+c)·1001=100100a+10010b+1001c$$ $$=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c=abcabc$$