sábado, 15 de abril de 2017

Fórmulas electorales (III)

Vamos a ver nuevos métodos de reparto, no estrictamente proporcionales, que utilizan una sucesión creciente de divisores: $$d_1< d_2 < d_3 < \ldots d_n$$donde n es el número de escaños a repartir. Los votos obtenidos por cada partido son divididos sucesivamente por esos n divisores. Se asignan escaños a las n mayores cantidades obtenidas.
  • Ley de Hill-Huntington:
  • El matemático americano Edward V, Hutington (174-1952)  y el estadístico del U.S. Census Bureau Joseph A. Hill (1860.1938)  idearon una nueva fórmula de reparto mediante divisores. Utilizar como divisores la media geométrica de dos enteros consecutivos:
    $$G(a,b)=\sqrt{a \cdot b}$$
     Se aplica la fórmula a cada uno de los candidatos: $$q_{i,k}=[\frac{v_i}{\sqrt{k_i\cdot (k_i+1)}}],\; k\neq 0,\; q_{i,0}=v_i\; \; \;k=0,1,2, \ldots$$
     y los escaños se van asignando a las candidaturas que obtengan los números más altos en estas divisiones, en orden decreciente, hasta completar el total de escaños.
  • Ley de Dean:
  • James Dean (1776-1849), matemático y profesor de historia natural de la Universidad de Vertmon lo desarrolló en 1832, como alternativa al método de Jefferson, aunque nunca llegó a aplicarse. Utiliza como divisores la media armónica de dos enteros consecutivos:
    $$H(a,b)=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2 \cdot a \cdot b}{a+b+1}$$ quien la propuso unos años antes aunque con alguna pequeña diferencia.  Se aplica la fórmula a cada uno de los candidatos:$$q_{i,k}=[\frac{v_i}{\frac{2 \cdot k \cdot (k+1)}{2 \cdot k+1}}],\; k\neq 0,\; q_{i,0}=v_i\; \; \;k=0,1,2, \ldots$$
    y los escaños se van asignando a las candidaturas que obtengan los números más altos en estas divisiones, en orden decreciente, hasta completar el total de escaños.

jueves, 23 de marzo de 2017

Fórmulas electorales (II)

Vamos a ver otros métodos de reparto, no estrictamente proporcionales, que utilizan una sucesión creciente de divisores: $$d_1< d_2 < d_3 < \ldots d_n$$donde n es el número de escaños a repartir. Los votos obtenidos por cada partido son divididos sucesivamente por esos n divisores. Se asignan escaños a las n mayores cantidades obtenidas.
  • Ley D'Hont:
  • Su nombre se debe a Victor D'Hondt (1841-1901), jurista belga que lo propuso en 1878. En realidad este método fue propuesto por Thomas Jefferson (1743-1826), tercer presidente de los Estados Unidos, del que también recibe su nombre, y lo introdujo para el reparto de escaños en los EEUU en 1794.  Se aplica la fórmula a cada uno de los candidatos:$$q_{i,k}=[\frac{v_i}{k+1}]\; \; \;k=0,1,2, \ldots$$ y los escaños se van asignando a las candidaturas que obtengan los números más altos en estas divisiones, en orden decreciente, hasta completar el total de escaños.
  • Ley de Sainte-Laguë:
  • También conocida por el nombre de Ley de Webster. Aunque introducida por André Sainte-Laguë (1852-1950), matemático francés en 1910, fue Daniel Webster (1782-1852), senador de los EEUU en el siglo XIX, quien la propuso unos años antes aunque con alguna pequeña diferencia.  Se aplica la fórmula a cada uno de los candidatos:$$q_{i,k}=[\frac{v_i}{2k+1}]\; \; \;k=0,1,2, \ldots$$ 
    y los escaños se van asignando a las candidaturas que obtengan los números más altos en estas divisiones, en orden decreciente, hasta completar el total de escaños.

miércoles, 22 de febrero de 2017

Fórmulas electorales (I)

Una fórmula electoral es el cálculo matemático mediante el cual, después de una votación, se distribuyen los escaños de una asamblea en función de los votos del electorado. Las fórmulas electorales se clasifican en dos grandes tipos: mayoritarias y proporcionales o de reparto.
Las formas mayoritarias pretenden la elección de un único candidato, con exclusión de los demás. El candidato ganador es el que obtiene el mayor número votos en relación con sus rivales electorales. Se suelen aplicar en circunscripciones uninominales. Aunque existen distintas variantes, las más conocidas son:
  • Mayoría absoluta:
  • También conocida como Fórmula de Mayoría, el ganador debe alcanzar más del 50% de los votos. No es una fórmula muy utilizada porque aunque da estabilidad, favorece a los partidos mayoritarios pero perjudica a las minorías que difícilmente obtienen representación. En concreto en Francia se establece un mecanismo corrector: Cuando no se alcanza ese porcentaje, se establece una segunda vuelta o ballotage entre los dos candidatos más votados.
  • Mayoría relativa:
  • Conocida también como Fórmula Pluralista, no exige la obtención de mayorías absolutas, sino de mayorías relativas o simples. El porcentaje para obtener la elección aumenta o disminuye en función del número de partidos o candidatos en liza. Cuanto mayor sea el número de éstos, más bajo será el porcentaje necesario para resultar elegido, y al contrario, cuanto más reducido sea el número de candidatos que se presenten, mayor será el porcentaje requerido.
La fórmulas proporcionales tienen como objetivo repartir los escaños de cada circunscripción de manera proporcional a los votos obtenidos por cada partido. Los métodos del Resto Mayor, también conocidos como de Cociente o Cuota utilizan el sistema proporcional para el reparto de escaños. Para los escaños no asignados se utilizan los restos, a los que se les aplica el sistema mayoritario.

Sean n escaños a repartir entre varios partidos y un total de v votos. Se establece un cociente q que indica el número de votos necesarios para obtener un escaño. De esta forma se asignan escaños a cada partido de acuerdo con sus votos obtenidos. Los escaños no asignados se conceden según los restos de cada partido de mayor a menor. Existen tres fórmulas proporcionales:
  • Fórmula Hare: q=v/n
  • Fórmula Droop: q=v/(n+1)
  • Fórmula Imperiali: q=v/(n+2)

martes, 31 de enero de 2017

Teorema de Viviani

En un triángulo equilátero la suma de las tres distancias de un punto interior a los lados del triángulo es una indepenediente de la posición del punto y que coincide con la altura del tríángulo.

Demostración:

El triangulo equilátero ABC se puede descomponer en los triángulos: ADB, BDC y ADC siendo D el punto interior. Si el lado del triángulo es l, la altura h y las distancias de D a los lados d1, d2 y d3, se cumple: $$\frac{l \cdot h}{2}=\frac{l \cdot d_1}{2}+\frac{l \cdot d_2}{2}+\frac{l \cdot d_3}{2}$$ $$h=d_1+d_2+d_3$$ El teorema es generalizable a polígonos regulares.

Teorema de Ptolomeo

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, llamado cíclico, la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de sus diagonales.

Además se cumple la fórmula de Brahmagupta, que calcula el área del cuadrilátero:
$$A=\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$$ siendo s el semiperímetro:
$$s=\frac{a+b+c+d}{2}$$

sábado, 28 de enero de 2017

Teorema de Kurschak

Determina el área de un dodecaedro regular a partir de los puntos medios de los lados de un cuadrado. Se debe al matemático húngaro Jozsef Kurschak (1864-1933).
Sobre cada uno de los lados de un cuadrado se construyen 4 triángulos equiláteros interiores.Las 8 intersecciones de los lados de esos triángulos y los 4 puntos medios de los lados del nuevo cuadrado formado por los vértices libres de los triángulos, son los vértices de un dodecaedro regular y pasan por la circunferencia inscrita al cuadrado inicial.
En la construcción se observan dos tipos de pequeños triángulos, unos son equiláteros (E) y otros son isósceles (I).
Se observa que el área del cuadrado está formada por 16 triángulos E y 32 triángulos I. $$A_c=16\cdot E +32\cdot I$$ Por otra parte el área del dodecaedro está formada por 12 triángulos E y 24 triángulos I. $$A_d=12\cdot E +24 \cdot I$$ Por tanto: $$A_d=\frac{3}{4}A_c$$ Si la circunferencia inscrita al cuadrado inicial es unitaria (radio unidad) su área vale pi, el área del cuadrado vale 4 y por tanto el área del dodecaedro vale 3.

Se puede modificar el cuadrado desplazando sus vértices inferiores. Con las flechas se puede observar la construcción "paso a paso".