Sangaku (I)

Los Sangaku son tablillas, de origen japonés,  con problemas geométricos presentes en santuarios sintoistas y a veces budistas. Estas tablillas se construyeron durante el periodo EDO que duró desde 1603 hasta 1867. Antes de estudiar un primer sangaku vamos a demostrar una propiedad de los triángulos equiláteros que deberemos aplicar posteriormente.
Sea un triángulo rectángulo ABC de catetos b y c e hipotenusa a. Vamos a obtener el radio r del círculo inscrito en función de sus lados. El área del triángulo ABC, que indicaremos [ABC], es la suma de las áreas de tres triángulos y un cuadrado: $$[ABC]=[EBF]+[DFC]+[FBC]+[AEFD]$$

Como DC=b-r y EB=c-r se tiene que:

$$\frac{bc}{2}=\frac{(c-r)r}{2}+\frac{(b-r)r}{2}+\frac{ar}{2}+r^2$$

Quitando denominadores y simplificando:

$$bc=r(a+b+c) \rightarrow r=\frac{bc}{a+b+c}=\frac{2[ABC]}{a+b+c}$$

En la imagen se muestra uno de ellos: Tres círculos iguales inscritos en los tres triángulos en que se ha dividido un triángulo isósceles. Pues bien, para que los tres círculos tengan el mismo radio, éste debe ser la cuarta parte del segmento AE. La demostración se debe a Nicolaos Dergiades (2017).

Como se observa en la figura AB=BC y AE es perpendicular a CD. Por simetría AC=AD=a; CE=ED=c, y si AE=d y DB=b, entonces BC=a+b.

En el triángulo CDB se tiene:

$$r=\frac{2[CDB]}{CD+DB+BC}=\frac{[CDB]}{\frac{a}{2}+b+c}$$

$$r=\frac{2[ACE]}{CA+AE+EC}=\frac{[ACD]}{a+c+d}$$

Al tener los dos triángulos la misma altura, las áreas son proporcionales a las bases:

$$\frac{b}{a}=\frac{[CDB]}{[ACD]}=\frac{\frac{a}{2}+b+c}{a+c+d}\rightarrow b=\frac{a(a+c)}{2(c+d)}$$

Aplicando el teorema de Stewart:

$$AC^2·DB+BC^2·AD-CD^2·AB=AD·DB·AB$$

$$a^2b+(a+b)^2a-(2c)^2(a+b)=ab(a+b) \rightarrow b=\frac{a(4c^2-a^2)}{2(a^2-2c^2)}$$

Igualando las dos expresiones se concluye que:

$$a^2-2c^2\neq0 \wedge c+d=\frac{a^2-2c^2}{2c-a}$$

En el triángulo ACE, aplicando el teorema de Pitágoras:

$$a^2-c^2=d^2\rightarrow a^2-2c^2=d^2-c^2=(d+c)(d-c)$$

Obteniendo d-c se tiene:

$$a^2-2c^2=\frac{a^2-2c^2}{2c-a}·\frac{a^2+2ac-6c^2}{2c-a}$$

Para que se cumpla la igualdad se necesita que:

$$ 3a=5c  \vee  a=5x, c=3x \rightarrow d=4x$$

y como:

$$a=(c-r)+(d-r)\rightarrow r=x=\frac{d}{4}=\frac{AE}{4}$$

Además podemos calcular el valor de los lados iguales a+b, sustituyendo x en la expresión que da el radio en función de los lados:

$$x=\frac{b·3x}{5x+b+3x}\rightarrow b=4x \rightarrow a+b=5x+4x=9x$$

En conclusión si se quiere que los círculos sean iguales con un radio dado x, las medidas del triángulo deberán ajustarse de acuerdo a las fórmulas obtenidas.

• Se puede cambiar la base del triángulo, girarlo y desplazarlo con los puntos A y C.
• Se puede cambiar la altura del triángulo desplazando el punto C y así poder obtener la figura con los tres radios iguales.
• Se puede ver la construcción 'paso a paso'.