domingo, 1 de noviembre de 2020

Sucesiones de Fibonacci

Todos conocemos la sucesión de Fibonacci: $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...$$ $$F_1=1,\quad F_2=1,\quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\;\;(n>2)$$ donde el cociente de dos términos consecutivos tiende al número de oro: $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}= \phi$$ Si ahora consideramos: $$F_1=1,\quad F_2=1,\quad F_3=F_2+F_1 \quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}+F_{n-3}\;\;(n>3)$$ se obtiene la llamada sucesión de Tribonacci: $$1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81,...$$ En general, se llama una sucesión k de Fibonacci: $$\{F_n^k\}_{i=1}^\infty$$ $$F_1^k=F_2^k=1 \quad F_n^k=\sum_{i=1}^kF_{n-i}^k\;\;(n>2)$$ Así se obtienen para: $$k=2, 3, 4, 5,...$$ las sucesiones de Fibonacci, Tribonaccci, Tetranacci, Pentanacci,... Para todas estas sucesiones : $$\exists \;\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}$$ Estos límites son la mayor solución positiva de las ecuaciones: $$x^n(2-x)=1$$ Para n=2 se tiene: $$x^2(2-x)=1 \rightarrow x^3-2x^2+1=0 \rightarrow x=\frac{1}{2}(\sqrt {5}+1) =\phi\approx 1.618$$ Para n=3 se tiene: $$x^3(2-x)=1 \rightarrow x^4-2x^3+1=0 \rightarrow $$ $$x=\frac{1}{3}[1+(19-3\sqrt{33})^\frac{1}{3}+(19+3\sqrt{33})^\frac{1}{3}] \approx 1.839$$ Vemos que la solución algebraica es cada vez más compleja y difícil de obtener. Una alternativa es considerar la función: $$f(x)=x^n(2-x)-1$$ Si se representan estas funciones podemos obtener los límites buscando las raíces mayores que la unidad de esas funciones.
En la figura se han representado las funciones para n=2,3,4. Se observa que todas tienen como raíz la unidad. Para n=2 además hay una raíz negativa; para n=3 dos raíces  complejas; para n=4 hay una negativa y dos complejas. Además se observa que los valores buscados van creciendo y tienen al número 2.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede elegir el tipo de sucesión.
  • Se muestran los 20 primeros términos de la sucesión y del cociente entre términos consecutivos. 
  • Variando F1 y F2 se puede observar que no influyen en el límite del cociente entre términos consecutivos.
Descargar .XLS

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