sábado, 27 de junio de 2020

Problema de Josefo

Flavio Josefo (37-100) en su libro La Guerra de los judíos, nos dejó un interesante problema de matemáticas que ha tenido muchas variantes en los juegos de niños  y que ha atraído a muchos matemáticos. Cardano (1501-1576) recogió una versión del juego que llamó Ludus Josephi y fue Euler (107-1783) el primero que encontró leyes de recurrencia para resolver el problema.

Josefo pertenecía a la aristocracia sacerdotal de Jerusalén y en el año 63 fue enviado a Roma para conseguir la liberación de varios sacerdotes que habían sido hecho prisioneros y lo consiguió gracias a Popea, esposa de Nerón. A su vuelta a Jerusalén, en el año 65, la guerra  con Roma parecía inevitable, Josefo fue nombrado gobernador de Galilea, la guerra se desató al año siguiente y duró hasta el año 73.

 Cuenta Josefo, que cuando los romanos tomaron Jotapata, en la Baja Galilea, él y cuarenta galileos se refugiaron en una cueva y fueron cercados por los romanos. Decidieron morir antes que ser capturados y vendidos como esclavos. Para cumplir esa terrible decisión se colocarían en círculo con los lugares numerados y se matarían entre ellos con una espada mediante el siguiente procedimiento:

El primero mataría al segundo y pasaría la espada al tercero; éste mataría al cuarto y pasaría la espada al quinto y así sucesivamente hasta quedar uno que se quitaría así mismo la vida. Josefo, que sabía de matemáticas, se colocó en la posición del último superviviente y convenció al penúltimo superviviente para entregarse juntos a los romanos y evitar las dos muertes.

En la imagen vemos quién es el superviviente (en blanco) según haya 7 u 8 personas. En diferente color se muestran los eliminados en cada vuelta. Siempre es el 1 el que inicia el proceso.
En la tabla se muestra, para los 16 primeros casos, la posición del superviviente G(n) según el número n de participantes.
Se observa que cuando el número de participantes es una potencia de 2 siempre se salva el que empieza. Se puede comprobar siguiendo las ruedas de 8, 4, 2 y 1 que se muestran en la imagen:
Veamos como se puede obtener para n=13, de forma analítica, el valor G(13)=11:
$$13=8+4+1=8+5=2^3+5$$ $$n=13 \rightarrow G(n)=2·5+1=11$$ Si n es el número de individuos, k el exponente de la potencia de 2 más próxima a n y m lo que falta para ser n, se tiene: $$n=2^k+m \rightarrow G(n)=2m+1$$ En el caso histórico donde n=41 , se tiene: $$41=2^5+9\rightarrow G(41)=2·9+1=19$$ Si expresamos 13 en sistema binario: $$13=8+4+1=2^3+2^2+2^0=1101 $$ y pasamos la primera cifra a la última posición, se obtiene el número buscado: $$1011=2^3+2^1+2^0=8+2+1=11$$ En el caso histórico se tiene: $$41=32+8+1=2^5+2^3+2^0=101001 $$ y pasamos la primera cifra a la última posición, se obtiene el número buscado: $$010011=2^4+2^1+2^0=16+2+1=19$$

No hay comentarios: