¡Adivina el cumpleaños! (II)

Vamos, de nuevo, a sorprender a nuestros amigos y amigas adivinando el día del cumpleaños.  Le pedimos a alguien que multiplique el día de su cumpleaños (D) por 12 y el mes (M) del mismo por 31, sume ambos valores y nos dé el resultado (N). Esto nos permitirá adivinar la fecha de su cumpleaños.

Se trata de resolver la ecuación diofántica:

$$N=12D+31M$$

Si la fecha es el 6 de Octubre, nos dará el número:

$$12·6+31·10=382=31·12+10$$

Cogemos el resto de la división del número entre 12 y lo multiplicamos por 7:

$$7·10=70=12·5+10$$

y el resto de la división de este número entre 12 nos da el mes:  Octubre.

Si en la ecuación inicial, hacemos M=10 se tiene el día del mes:

$$D=\frac{382-31·10}{12}=6$$

¿Qué ocurre si el cumpleaños es en el mes de Diciembre?

 Sea la fecha el 25 de Diciembre:

$$12·25+31·12=672=56·12$$

Se obtiene un múltiplo de 12 (la división entre 12 es exacta) y el mes es Diciembre.

El día se calcula de forma análoga:

$$D=\frac{672-31·12}{12}=25$$

EXPLICACIÓN:

$$N=12D+31M=12D+24M +7M=12(D+2M)+7M$$

y entonces  N y 7M tienen el mismo resto al dividir por 12.

Si multiplicamos ambos números por 7 se  obtienen 7N y 49M que seguirán teniendo el mismo resto al dividir por 12. Como:

$$49M=48M+M=12(4M)+M$$

y entonces 7N y M tendrán también el mismo resto al dividir por 12. Por tanto el resto de dividir 7N entre 12 será M. Pero como 7M es el primer resto, basta obtener el resto de 7·7M=49M para obtener el valor de M. Si el resto de 7M=0, eso significa que M=12 y el mes es Diciembre. Para calcular el día basta sustituir M en la ecuación:

$$D=\frac{N-31M}{12}$$

Hemos utilizado  la congruencia de números:

Se dice que a y b son congruentes módulo m si al dividir ambos números por m se obtiene el mismo resto y se expresa: $$a\equiv b\mod{12}$$.

Por tanto, las relaciones anteriores se pueden expresar de la forma:

$$N\equiv 7M\mod{12} \rightarrow 7N\equiv 49M\mod{12}$$

$$49M\equiv M\mod{12}$$

Veamos que la solución es única. Si hubiera dos soluciones se tendría:

$$N=12D_1+31M_1 \wedge N=12D_2+31M_2$$

y restando miembro a miembro:

$$12(D_1-D_2)+31(M_1-M_2)=0 $$

De donde se deduce que el número:

$$12(D_1-D_2)$$

debería ser un múltiplo de  31 pero como D1-D2 es necesariamente menor que  31, sólo podría dividirse por 31 cuando D1=D2, es decir si las soluciones coinciden y se llega a una contradicción (Demostración por "reducción al absurdo").