Alhacén y la cúbica de Barrow

Alhacén esta considerado como el padre de la óptica por sus trabajos sobre lentes, espejos, reflexión y refracción. En su obra principal Kitab al-Manazir (Libro de Óptica) plantea el problema siguiente:

En un plano se tiene una circunferencia y dos puntos exteriores A y B. Si la circunferencia funciona como un espejo se trata de encontrar el punto P de la circunferencia donde el rayo incidente desde A se refleje en el punto B. Para ello los ángulos deben ser iguales según la ley de la reflexión.

Lo resuelve de una manera muy tediosa y complicada por lo que matemáticos posteriores encuentran soluciones más sencillas. Isaac Barrow publicó en Cambridge Lectures en 1966 una solución al llamado 'Problema de Alhacén':

Dados dos puntos A(a,b) y B(c,d), se trata de encontrar sobre cualquier recta que pasa por el origen, un punto P(x,y) de forma que los ángulos que forman PA y PB con la recta sean iguales.

En el triángulo OPQ se tiene:

$$\alpha+\phi+(180-\theta)=180\rightarrow\alpha=\theta-\phi$$ Como: $$\tan \phi=\frac{y}{x} \wedge \tan \theta=\frac{b-y}{a-x}$$ se tiene que: $$\tan \alpha=\tan(\theta - \phi)=\frac{\tan \theta-\tan \phi}{1+\tan\theta·\tan \phi}=\frac{bx-ay}{ax+by-(x^2+y^2)}$$ Mediante un razonamiento análogo se obtiene: $$\tan \beta=\frac{cy-dx}{cx+dy-(x^2+y^2)}$$ Igualando ambas expresiones, eliminando denominadores y agrupando términos semejantes se obtiene: $$(x^2+y^2)[(b+d)x-(a+c)y]-(ad+bc)x^2$$ $$+(ad+bc)y^2+2(ac-bd)xy=0$$ Si se sitúan los puntos A y B de forma que el eje de abscisas sea la bisectriz del ángulo AOB, y entonces la ecuación se simplifica porque:
$$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\rightarrow bc+ad=0$$
Finalmente la ecuación se puede expresar de la forma: $$(x^2+y^2)(px+qy)+xy=0$$ siendo:
$$p=\frac{b+d}{2(ac-bd)} \wedge q=\frac{a+c}{2(ac-bd)} $$

Esta ecuación representa una curva algebraica de tercer grado. Si se centra la circunferencia en el origen de coordenadas, los puntos en los cuales ésta es cortada por la cúbica resuelven el problema. De las tres soluciones, sólo una tiene sentido físico.

Se pueden desplazar los puntos A y B mostrando sus coordenadas. Al mover el punto C se fija el tamaño de la circunferencia. Se comprueba, moviendo el punto P de la circunferencia, que cuando los ángulos coinciden el punto pertenece a la curva y por tanto es la solución. El botón 'curva' permite visualizarla o no.

• Del libro Alhacén, el Arquímedes árabe. Ricardo Moreno Castillo.
  La Matemática en sus personajes. Editorial Nivola.