Dados paradójicos (III)

La paradoja de Steihaus-Trybula indica la posibilidad de que, dadas tres cantidades aleatorias A, B y C, ocurriera que las tres probabilidades:

$$P(A>B), P(B>C), P(C>A)$$ fueran mayor que 1/2 y por tanto no hubiera transitividad.

Si las cantidades A, B y C fuesen los tiempos de llegada de tres autobuses a una parada, sería más probable que llegase A antes que B, B llegase antes que C y C lo hiciera antes que A.

¡Sorprendente!

El teorema de Trybula afirma que siempre que se dé la paradoja de intransitvidad, al menos una de las tres probabilidades tiene que ser menor o igual que la razón áurea: $$\phi=\frac{\sqrt5-1}{2}=0,618$$Supongamos que las cantidades aleatorias A, B y C pueden tomar los valores 1, 2, 3, 4 y 5 de acuerdo a la siguiente tabla:

valor	1	2	3	4	5
probabilidad	1-PB	1-PA	1	PB	PA
cantidad aleatoria	B	A	C	B	A

Este reparto de los posibles valores entre las tres cantidades aleatorias es bastante igualitario, pues se reparten, alternativamente de mayor a menor. De acuerdo con la tabla:
$$P(A>B)=P_A+(1-P_A)(1-P_B)$$$$P(B>C)=P_B$$$$P(C>A)=1-P_A$$ El reparto que maximiza la más pequeña de las probabilidades obliga a que las tres sean iguales:$$P(A>B)=P(B>C)=(C>B)$$resolviendo las ecuaciones se obtiene que $$P_A=1-\phi, P_B=\phi$$ $$P(A>B)=P(B>C)=(C>B)=\phi$$ Para comprobarlo, podemos obtener tres dados virtuales y elegir las probabilidades P_A Y P_B, hacer lanzamientos y observar los resultados en los distintos tipos de enfrentamientos.

Los resultados de cada simulación se acumulan a los resultados anteriores y se muestran los mismos, el recuento, el porcentaje y los gráficos correspondientes.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

• P_A: Elige la probabilidad de obtener un 5 con el dado A.
• P_B: Elige la probabilidad de obtener un 4 con el dado B.
• A versus B: Realiza la simulación de 100 tiradas del dado A y el dado B.
• B versus C: Realiza la simulación de 100 tiradas del dado B y el dado C.
• C versus A: Realiza la simulación de 100 tiradas del dado C y el dado A.

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