El arbelos de Arquímedes (I)

Es una famosa figura atribuida a Arquímedes, el polifacético sabio de la la antigua grecia, llena de coincidencias y conexiones matemáticas.  

El Arbelos, también conocido como la cuchilla del zapatero, es la región comprendida entre dos semicircunferencias tangentes entre sí y una semicircunferencia tangente a ambas y de radio la suma de los radios de las primeras.

• El área del Arbelos es igual al área de la  circunferencia de diámetro CD:

El segmento CD, que es perpendiular a AB por C y corta a la semicircunferencia exterior en D, es la altura del triángulo ADB que es rectángulo.

La altura CD es media proporcional entre los diámetros de las semicircunferencias menores $$r_1$$ y $$r_2$$ :

$$CD^2=2r_1r_2$$ y por tanto, $$CD=2\sqrt{r_1r_2}$$

El área de la circunferencia de diámetro CD es: $$\pi r_1r_2$$

El área del Arbelos = semicírculo mayor-semicírculos menores=

$$\frac{1}{2}(\pi (r_1+r_2)^2-\pi r_1^2-\pi r_2^2)=\frac{1}{2} (2\pi r_1r_2)=\pi r_1r_2$$

• Los puntos de tangencia E y F de la recta tangente a los arcos AC y CB están en los segmentos AD y DB.

• Los segmentos EF y CD son iguales y se cortan en el punto medio M, por tanto la circunferencia de diámetro CD pasa necesariamente por los puntos E y F.