Alhacén y la cúbica de Barrow

Alhacén esta considerado como el padre de la óptica por sus trabajos sobre lentes, espejos, reflexión y refracción. En su obra principal Kitab al-Manazir (Libro de Óptica) plantea el problema siguiente:

En un plano se tiene una circunferencia y dos puntos exteriores A y B. Si la circunferencia funciona como un espejo se trata de encontrar el punto P de la circunferencia donde el rayo incidente desde A se refleje en el punto B. Para ello los ángulos deben ser iguales según la ley de la reflexión.

Lo resuelve de una manera muy tediosa y complicada por lo que matemáticos posteriores encuentran soluciones más sencillas. Isaac Barrow publicó en Cambridge Lectures en 1966 una solución al llamado 'Problema de Alhacén':

Dados dos puntos A(a,b) y B(c,d), se trata de encontrar sobre cualquier recta que pasa por el origen, un punto P(x,y) de forma que los ángulos que forman PA y PB con la recta sean iguales.

En el triángulo OPQ se tiene:

$$\alpha+\phi+(180-\theta)=180\rightarrow\alpha=\theta-\phi$$ Como: $$\tan \phi=\frac{y}{x} \wedge \tan \theta=\frac{b-y}{a-x}$$ se tiene que: $$\tan \alpha=\tan(\theta - \phi)=\frac{\tan \theta-\tan \phi}{1+\tan\theta·\tan \phi}=\frac{bx-ay}{ax+by-(x^2+y^2)}$$ Mediante un razonamiento análogo se obtiene: $$\tan \beta=\frac{cy-dx}{cx+dy-(x^2+y^2)}$$ Igualando ambas expresiones, eliminando denominadores y agrupando términos semejantes se obtiene: $$(x^2+y^2)[(b+d)x-(a+c)y]-(ad+bc)x^2$$ $$+(ad+bc)y^2+2(ac-bd)xy=0$$ Si se sitúan los puntos A y B de forma que el eje de abscisas sea la bisectriz del ángulo AOB, y entonces la ecuación se simplifica porque:
$$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\rightarrow bc+ad=0$$
Finalmente la ecuación se puede expresar de la forma: $$(x^2+y^2)(px+qy)+xy=0$$ siendo:
$$p=\frac{b+d}{2(ac-bd)} \wedge q=\frac{a+c}{2(ac-bd)} $$

Esta ecuación representa una curva algebraica de tercer grado. Si se centra la circunferencia en el origen de coordenadas, los puntos en los cuales ésta es cortada por la cúbica resuelven el problema. De las tres soluciones, sólo una tiene sentido físico.

Se pueden desplazar los puntos A y B mostrando sus coordenadas. Al mover el punto C se fija el tamaño de la circunferencia. Se comprueba, moviendo el punto P de la circunferencia, que cuando los ángulos coinciden el punto pertenece a la curva y por tanto es la solución. El botón 'curva' permite visualizarla o no.

• Del libro Alhacén, el Arquímedes árabe. Ricardo Moreno Castillo.
  La Matemática en sus personajes. Editorial Nivola.

Algoritmo de Irving

El llamado The Stable Rommates Problem o 'Problema de las Compañeras de Piso' fue resuelto mediante un algoritmo por Robert W. Irving en 1985. Cada participante ordena a sus posibles compañeras según sus preferencias. Cada chica elige una compañera y ésta acepta o no la oferta. En caso de no aceptar se entiende que rechaza a la chica que le ha hecho la propuesta. En el ejemplo de la tabla el AZUL indica la elegida, el VERDE la que acepta y el ROJO la rechazada.

• 1ª ETAPA
• Cada chica propone a su compañera favorita.
• La elegida acepta, pero si es elegida por más de una, acepta la mejor propuesta y rechaza las demás.
• Las rechazadas esperan para ser aceptadas más adelante.
• Si alguna chica es rechazada por todas no existe una solución estable.

Aunque Berta elige a Delia, ella prefiere a Clara y es rechazada. Igualmente, aunque Eva elige a Flor, ella prefiere a Delia y es rechazada.

Ahora Berta propone a Eva que acepta y Eva propone a Clara que acepta.

• 2ª ETAPA
• Todas desechan las posibles compañeras que son menos deseadas que la actualmente aceptada.

Ana rechaza a Clara y a Eva, Berta rechaza a Clara, y así sucesivamente.

Así las opciones quedan reducidas a las siguientes:

• 3ª ETAPA
• Elige una participante X que tenga al menos dos opciones.
• Busca su segunda preferencia Y.
• Sea Z la última preferencia de Y.
• Repite el proceso hasta que se llegue a X.
• Elimina las parejas (Y,Z) y sus simétricas.
• Repite el proceso hasta que todas tengan una única opción.

Los emparejamientos son: Ana y Flor, Berta y Eva, Clara y Delia.

En este caso no hay una solución estable, pues nadie quiere ir con D.

Algoritmo de Gale-Shapley

El llamado The Stable Marriage Problem o 'Problema de las Parejas Estables' fue planteado y resuelto mediante un algoritmo por David Gale y Lloyd Shapley en 1962. Su aplicación más conocida es la asignación de estudiantes de medicina recién graduados a los hospitales correspondientes.

Cada chico ordena a sus posibles compañeras según sus preferencias y viceversa. En el ejemplo de la tabla el VERDE indica si forman pareja y el ROJO si no pueden ser pareja por el rechazo de la chica.

• Cada chico invita a bailar a su primera opción.
• Cada chica evalúa las propuestas, escoge la mejor y desecha las demás.
• Cada chico rechazado invita a bailar a su segunda opción, aunque en ese momento esté con otro.
• Se itera el proceso hasta que todas las chicas tengan una única invitación.

Todos eligen a su chica preferida, pero como Julia prefiere a Mateo, rechaza a Pedro.

Diego elige a Laura que prefiere seguir con Jorge y rechaza a Diego.

Diego elige a Elena que estaba con Pedro y lo deja porque prefiere a Diego.

Esto obliga a Pedro a elegir a Laura que acepta renunciando a Jorge.

Finalmente Jorge elige a Paula que acepta y las parejas estables son:
(Diego,Elena), (Jorge,Paula), (Mateo,Julia) y (Pedro,Laura).

¡¡¡ Siempre hay un emparejamiento estable!!!

Método de Descartes

Es un método gráfico de resolución de ecuaciones algebraicas de 3º y 4º grado.

Una ecuación de 3º grado: $$z^3+az^2+cz+d=0$$ se convierte mediante el cambio: $$z=x-\frac{a}{3}$$ en una ecuación de 3º grado del tipo: $$x^3+px+q=0 \; (1)$$ Una ecuación de 4º grado: $$z^4+az^3+bz^2+cz+d=0$$ se convierte mediante el cambio: $$z=x-\frac{a}{4}$$ en una ecuación de 4º grado del tipo: $$x^4+px^2+qx+r=0 \; (2)$$ Si r=0, al simplificar se obtiene la ecuación (1) y se elimina la solución x=0. Si se resuelve el sistema formado por la circunferencia y la parábola: $$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2, \; y=x^2$$ se obtiene la ecuación (2) si: $$p=1-2b, \; q=-2a, \; r=a^2+b^2-R^2$$ Entonces el centro y el radio de la circunferencia son: $$a=-\frac{q}{2}, \; b=\frac{1-p}{2}, \;R^2=\frac{q^2}{4}+\frac{(1-p)^2}{4}-r$$ y las soluciones de la ecuación (2) son las abscisas de los puntos de intersección de la circunferencia con la parábola.

Modificando los valores de p, q y r mediante los deslizadores, se obtiene el centro y el radio de la circunferencia y las soluciones de la ecuación de forma gráfica.

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