Matemagia (I)

¿Qué es la Matemagia? Es matemática asociada a la magia, presentada de forma amena y dinámica generando asombro y sorpresa. Se presentan tres 'trucos' que utilizan el álgebra elemental y el sistema de numeración decimal.

• TRUCO I: En una baraja asignamos un número a cada uno de los palos (1=oros, 2=copas, 3=bastos, 4=espadas) y un número a cada carta (8=sota, 9=caballo, 0=rey). Eliges una carta de la baraja y haces los siguientes cálculos: multiplica el número del palo por 2, suma 3 al resultado, multiplica el nuevo resultado por 5 y súmale el número de la carta. Ahora, díme el número obtenido.
¡Sé la carta que has elegido!

EXPLICACIÓN:

Sea el rey de copas la carta elegida (2=palo, 0=carta). Hacemos los cálculos: (2·2+3)5+0=35. Ahora  hacemos 35-15=20. La decena es el palo y la unidad la carta. Sea el 7 de bastos la carta elegida (3=palo, 7=carta). Hacemos los cálculos: (3·2+3)5+7=52. Ahora  hacemos 52-15=37. La decena es el palo y la unidad la carta.

¿Por qué siempre hay que restar 15?

Si x es el número del palo e y el número de la carta, se tiene: $$(2x+3)5+y=10x+15+y$$ Si restamos 15 obtenemos el número: $$10x+y=xy$$ y así sabemos que la decena es el palo y la unidad la carta.

• TRUCO II: Lanza un dado y multiplica el resultado por 2, súmale 5 y vuelve a multiplicar el resultado por 5. Lanza otro dado y suma el resultado al anterior. Multiplica el resultado por 10 y súmale el resultado de lanzar un tercer dado.

¡Sé el resultado de tus dados!

EXPLICACIÓN:
Supongamos que las tiradas han dado los números 3, 6 y 1. Entonces ((2·3+5)5+6)10+1=611. Le quitamos 250 y obtenemos el 361. Y si el resultado de las tiradas es 4,4,5. Entonces ((2·4+5)5+4)10+5=695. Le quitamos 250 y obtenemos el 361. por tanto siempre conocemos el resultado de los dados.

¿Por qué  siempre hay que restar 250?

Si x, y, z son los resultados de las tres tiradas se tiene: $$(2x+5)5+y=10x+25+y$$ $$(10x+y+25)10+z=100x+10y+z+250$$ Si restamos 250 obtenemos el número: $$100x+10+z=xyz$$ y así sabemos que la centena es el resultado del primer dado, la decena del segundo y la unidad del tercero.

Piensa un número de tres cifras diferentes, invierte sus cifras y resta el número mayor del número menor. Invierte sus cifras y resta de nuevo estos dos últimos números.

¡Sé qué número has obtenido!

EXPLICACIÓN:
Sea un número de tres cifras con la única condición que la cifra de las unidades y la de las centenas no sean la misma. Por ejemplo 572 y invertimos sus cifras y restamos el mayor del menor: 572-275=297. Ahora invertimos las cifras del número obtenido y sumamos ambos números: 297+792=1089. Escogemos ahora el número 736 y repetimos el proceso: 736-637=099. 099+990=0189.

¿Por qué  siempre se obtiene el número 1089?

Sea el número abc con a>c: $$abc-cba=(100a+10b-c)-(100c+10b+a)=99(a-c)$$ Como las cifras van de 0 a 9, se tiene que: $$1 \leq a-c\leq 9 \rightarrow a-c=k \rightarrow 1 \leq k \leq 9$$ El número obtenido se puede expresar de la forma siguiente: $$99k=100k-k=100(k-1+1)-k=100(k-1)+100-k=$$ $$100(k-1)+90+10-k=100(k-1)+9·10+10-k$$ Como: $$1 \leq k \leq 9 \rightarrow 1 \leq 10-k \leq 9$$ El número tiene 10-k unidades, 9 decenas y k-1 centenas. Invirtiendo sus cifras se tiene el número: $$100(10-k)+9·10+k-1$$ Sumando ambos números se tiene: $$100(k-1+10-k)+10(9+9)+10-k+k-1=$$ $$100·9+18·10+9=900+180+9=1089$$ y por tanto se obtiene siempre 1089, independientemente del número elegido inicialmente.