lunes, 28 de octubre de 2019

Gauss y el polígono de 17 lados

Los griegos fueron incapaces de encontrar una construcción con regla y compás para algunos polígonos regulares. Gauss, uno de los más grandes matemáticos que ha existido en 1796, cuando tenía 19 años, se dio cuenta de que el número 17 tiene dos propiedades especiales que, combinadas, implican que existe una construcción de regla y compás para un polígono regular de 17 lados (heptadecágono).
$$x^{17}=1$$
 En el campo de los números complejos, la ecuación tiene como soluciones las raíces de la unidad, vértices de un polígono regular de 17 lados.
El número 17 es primo, y también es una unidad mayor que una potencia de 2, en concreto, 16 + 1. Gauss probó que la combinación de estas dos propiedades implica que la ecuación anterior puede resolverse usando las operaciones habituales de álgebra: suma, resta, multiplicación y división, junto con la formación de raíces cuadradas. Y todas estas operaciones pueden realizarse geométricamente usando regla y compás. En resumen, debe de haber una construcción de regla y compás para un polígono regular de 17 lados.
No escribió una construcción explícita, pero  en su obra maestra Disquisitiones arithmeticae, escribió la fórmula: $$\frac{1}{16}[-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2}\sqrt{17}$$ $$+\sqrt{68+12\sqrt{17}-16\sqrt{34+2}\sqrt{17}-2(1-\sqrt{17})(\sqrt{34-2}\sqrt{17}}]$$
Y probó que el polígono regular de 17 lados puede construirse siempre que se pueda construir un segmento de esa longitud dado un segmento de longitud la unidad. Como solo aparecen raíces cuadradas, es posible trasladar la fórmula a una construcción geométrica bastante complicada.
Sin embargo, hay métodos más eficientes, que descubrieron diferentes personas cuando estaban analizando la prueba de Gauss.  El método propuesto por Gauss en 1796, simplificado por H.W. Richmond en 1893, es el siguiente:
  • Se dibujan dos ejes perpendiculares que se cortan en O.
  • Se dibuja una circunferencia con centro en O y radio OA.
  • Se obtiene un punto B tal que el segmento OB es la cuarta parte del radio OA.
  • Se obtiene el punto D tal que el ángulo OBD es la cuarta parte del ángulo OBC.
  • Se obtiene el punto E tal que el ángulo EBD es de 45º.
  • Se obtiene el punto medio F del segmento EC.
  • Se dibuja la circunferencia de centro F y radio FG que corta al eje vertical en G.
  • Se dibuja la circunferencia de centro D y radio DG que corta al eje horizontal también en H.
  • Se trazan dos rectas verticales por H y F que cortan a la circunferencia en los puntos K y L.
  • Se obtiene el punto medio M del arco KL.
  • El segmento KM es el lado del polígono regular de 17 lados.
Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

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