Aritmética Lunar (I)

Marc LeBrun introdujo la llamada Aritmética Lunar, antes conocida como Aritmética `triste' (`Dismal' Arithmetic). En esta Aritmética sólo se puede sumar y multiplicar. 

La regla para sumar dos dígitos es: $$a+b=max(a,b)$$ La regla para multiplicar dos dígitos es: $$a \times b=min(a,b)$$ A continuación se muestra el resultado de un par de sumas y multiplicaciones:

El resultado de los cuadrados de los primeros números es:

Se sabe que un número primo es aquel que sólo puede obtenerse como producto de sí mismo por el elemento unidad (el uno). Pero en esta aritmética el elemento unidad es el nueve. En las multiplicaciones siguientes se observa que ni el 1 ni el 7 pueden ser el elemento unidad. Sin embargo se ve que cualquier número multiplicado por el 9 da de resultado ese número.

A continuación se muestran los primeros números primos:

Vamos a probar que el número 109 es primo. Supongamos que no lo es, entonces deberá expresarse como producto de dos números ab y cd. El dígito a (o el c) debe valer 1 para poder conseguir que el producto empiece por 1. Además los dígitos b y d deben valer 9 para que el producto termine en 9. Al terminar la multiplicación se observa que c debería valer 0, pero eso obliga a que el producto no empiece por 1. Por contradicción se concluye que el número 109 es primo.

 

Existen infinitos números primos en la Aritmética Lunar. Para saber más cosas de los primos lunares en La Enciclopedia de Secuencias de Enteros.