miércoles, 2 de enero de 2019

Los círculos gemelos del arbelos (I)

En un arbelos hay dos círculos 'gemelos' que son tangentes al semicírculo mayor, a un semicírculo menor y al segmento vertical que divide al semicírculo mayor y es tangente a los semicírculos menores.

Sea el arbelos, construido sobre el segmento AB, de medidas:
$$ AB=1 \wedge AC=r, \rightarrow BC=1-r$$
Los radios de los círculos gemelos miden: $$ R=\frac{1}{2}r(1-r)$$
Observando la figura y aplicando el teorema de Pitágoras en los triángulos DFG y HEK se obtiene: $$DG=\frac{1}{2}r+R   \wedge  DF=\frac{1}{2}r-R \rightarrow GF=\sqrt{2rR}$$ $$KE=\frac{1}{2}(1-r)+R \wedge  HE=\frac{1}{2}(1-r)-R \rightarrow KH=\sqrt{2(1-r)R}$$
El punto G, centro de un círculo gemelo, tiene de coordenadas:
$$x_1=r-R=\frac{1}{2}r(1+r) \wedge y_1=\sqrt{2rR}=r\sqrt{1-r}$$
El punto K, centro del otro círculo gemelo, tiene de coordenadas:
$$x_2=r+R=\frac{1}{2}r(3-r) \wedge y_2=\sqrt{2(1-r)R}=(1-r)\sqrt{r}$$
Se pueden mover los puntos A y B para modificar el segmento AB. Así mismo, al desplazar sobre ese segmento el punto C, se comprueba la igualdad de los círculos del arbelos. Se puede observar la construcción 'paso a paso'.

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