martes, 25 de diciembre de 2012

La cicloide (I)

Los matemáticos de la antigüedad consideraban a la cicloide la más bella de las curvas, llegándola a llamar la Helena de la Geometría.
La cicloide es la curva que se obtiene cuando se hace rodar, sin deslizar, un disco sobre una superficie horizontal. La trayectoria que describe un punto situado en el borde del disco es la curva llamada cicloide. Por cada giro completo del disco se obtiene un arco de cicloide.
Mersenne la definió de forma rigurosa y Galileo le puso el nombre (en griego significa circular).

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Sigue la construcción "paso a paso" y con los deslizadores puedes modificar el radio de la circunferencia y ver la construcción de la cicloide. Pulsando el botón de "play" se activa la animación.
ECUACIONES

El punto P de una circunferencia de radio R está situado inicialmente en el origen de coordendas. La circunferencia gira sin deslizamiento y el punto P describe la cicloide al dar la circunferencia una vuelta completa. Las cordenadas del punto P son:
$$x=OA=OB-AB=PB-PD=R\alpha-Rsen\alpha=R(\alpha-sen\alpha)$$ $$y=PA=CB-CD=R-Rcos\alpha=R(1-cos\alpha)$$
LONGITUD $$\frac{dx}{d\alpha}=x'=R(1-cos\alpha)$$ $$\frac{dy}{d\alpha}=y'=Rsen\alpha$$ $$L=\int_0^{2\pi}\sqrt{x'^2+y'^2}\,\mathrm{d}\alpha=R\sqrt{2}\int_0^{2\pi}\sqrt{1-cos\alpha}\,\mathrm{d}\alpha=$$ $$=2R\int_0^{2\pi}sen\frac{\alpha}{2}\,\mathrm{d}\alpha=8R$$
¡La longitud de la cicloide es 8 veces el radio del círculo!
ÁREA
$$L=\int_0^{2\pi R}y\,\mathrm{d}x=R^2\int_0^{2\pi}(1-cos\alpha)^2\,\mathrm{d}\alpha=3\pi R^2$$
¡El área bajo la cicloide es 3 veces el área del círculo que da lugar a ella!
Galileo pensó que no debía ser un número tan redondo y conjeturó que debía ser pi. Roberval y su discípulo Torricelli demostraron los valores de la longitud y del área correctos en el siglo XVII.

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