sábado, 29 de diciembre de 2012

La cicloide (II)

El problema de la Braquistócrona fue el motivo de una amarga contienda entre los hermanos Johann y Jakob Bernoulli.
Dados dos puntos A y B en un plano vertical, hallar el camino AMB por el que una partícula móvil M, descendiendo por su propio peso, iría de A a B en el menor tiempo posible.
El problema lo propuso Johann sugiriendo que la respuesta correspondía a una curva muy conocida. No se trataba de encontrar puntos donde una curva tiene un máximo o u mínimo, sino que la incógnita buscada es una curva que debe minimizar cierta relación.
La solución era la conocida curva cicloide y fue obtenida de forma distinta por los hermanos Bernoulli. Jakob lo resolvió utilizando un método que sería el inicio del cálculo de variaciones, pero fue la solución de Johann la más genial utilizando de manera combinada la geometría y la física.

Haz click en "más información" para ver el applet.


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Sigue la construcción "paso a paso" y con dos deslizadores podrás modificar el ángulo de inclinación de la trayectoria recta y el tamaño de la cicloide. Desactivando la casilla de control podrás ocultar los valores numéricos de velocidad y energías de ambos móviles. El deslizador de tiempo permite observar los valores anteriores para cada posición de los móviles.  Pulsando el botón de "play" se activa la animación.

Veamos la explicación de Johann:

Si la partícula parte de A en reposo, la velocidad que alcanza en B depende de la diferencia de altura h entre los puntos y no de la trayectoria descrita, según la fórmula: $$v=\sqrt{2gh}$$ El principio de Fermat dice la luz viaja de un punto a otro en el menor tiempo posible. Si atraviesa dos medios distintos se cumple la ley de la refracción: $$\frac{sen \theta_1}{v_1}=\frac{sen \theta_2}{v_2}=k$$
Supongamos un medio óptico formado por finas láminas diferentes:
$$\frac{sen\theta_i}{v_i}=k$$
En nuestro problema se cumple: $$\frac{sen\theta}{\sqrt{2gh}}=k$$ siendo el ángulo el que forma la tangente a la curva con la vertical en cada instante.

Derivando las ecuaciones de la cicloide: $$x=r \alpha-rsen \alpha \wedge y=rcos \alpha-r$$
$$\frac{dx}{d\alpha}=r-rcos\alpha \wedge \frac{dy}{d\alpha}=-rsen\alpha$$
$$tg\theta=\frac{dx}{dy}=\frac{1-cos\alpha}{-sen\alpha}=-tg\frac{\alpha}{2}$$
$$\theta=|\frac{\alpha}{2}|$$
$$v=\sqrt{2gr(1-cos\alpha)}=2\sqrt{gr}sen\frac{\alpha}{2}$$
$$\frac{sen\theta}{v}=\frac{sen\frac{\alpha}{2}}{2sen\frac{\alpha}{2}\sqrt{gr}}=\frac{1}{2\sqrt{gr}}$$
que es una constante y por tanto cumple la ley de Fermat.

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