Brahmagupta y las ternas pitagóricas

Probablemente todos sabeis que 3² + 4² = 5². Estos tres números enteros, conocidos como terna pitagórica, satisface el conicido teorema de Pitágoras: "En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos.", cuya expresión analítica es la siguiente:

$$C^2 = A^2 + B^2$$

donde C es la hipotenusa y A y B son los catetos.

Pero, ¿cómo encontramos enteros que satisfagan dicha ecuación?

A lo largo de la historia se han desarrollado diferentes métodos para obtener ternas pitagóricas, pero hoy vamos hablar de la técnica ideada en el año 628 por el matemático indio Brahmagupta.

1. Se buscan todos los valores de M que son factores de A² donde A - M es un número par positivo. Si A es par, el cociente A²/M tiene que ser también par que el resultado sea entero. Análogamente, si A es impar, el cociente A²/M ha de ser impar.

2. Para cada valor de M, calcular el valor de B usando la siguiente expresión:

$$B=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{A^2}{M}-M\right)$$

3. Para cada valor de M, calcular el valor de C usando la siguiente expresión:

$$C=B+M$$

Aquí tenéis un ejemplo para un caso impar (A = 15) y para un caso par (A = 20).

La generalización de las ternas pitagóricas es lo que se conoce como el Último Teorema de Fermat, postulado por Pierre de Fermat alrededor de 1637, donde plantea que no existen ternas no triviales análogas a las ternas pitagóricas con números naturales para exponentes mayores de dos, o de forma analítica:

$$C^n = A^n + B^n$$

no tiene solución para n>2 con A, B y C naturales. Sin demostración durante más de 300 años, Andrew Wiles consiguió demostrarlo en 1995, utilizando para ello, herramientas matemáticas muy avanzadas.