El número de oro (I)

Un par de conejos adultos, macho y hembra, empiezan a procrear a los dos meses de su nacimiento, engendrando un único par, macho y hembra; a partir de ese momento, cada uno de los meses siguientes cada pareja en edad de procrear engendra un par más.

1. Indicar el número de parejas de conejos en los sucesivos meses y encontrar la ley de recurrencia.

2. Adosando cuadrados de lados los sucesivos términos de la sucesión de Fibonacci, construir rectángulos cada vez más grandes. Tomando los vértices adecuados de los cuadrados generar la espiral correspondiente

3. Obtener las razones entre dos términos consecutivos. ¿Hacia qué valor tiende?. ¿Y entre dos arcos de la espiral?. ¿Y entre las áreas de dos cuadrados?. ¿Y entre dos sectores de la espiral?.

4. Se sabe que una buena aproximación de la sucesión de Fibonacci, viene dada por la sucesión de término general:

$$G_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[ \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)^n+(-1)^n \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right) ^n \right]$$

• Obtener los cuatro primeros términos desarrollando y simplificando la expresión.
• Junto con tres términos más, obtenidos directamente de la expresión, representar en una misma gráfica los siete primeros términos de las sucesiones Fn y Gn. ¿Qué tipo de gráfico se obtiene?
• ¿Se puede tomar $$G_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)^n$$? ¿En qué casos?

• Obtener, racionalizando si fuera necesario, las expresiones:

$$\frac{G_{n+1}}{G_n}$$ y $$\frac{G_n}{G_{n+1}}$$

• Indicar exactamente, las expresiones a las que tienden las razones estudiadas en el tercer ejercicio.

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