La conceptualización de los números complejos se remonta al siglo XVI gracias al aporte del matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576), quien demostró que teniendo un término negativo dentro de una raíz cuadrada se puede obtener la solución a una ecuación. Hasta ese momento, no se creía posible conseguir la raíz cuadrada de un número negativo.
La expresión a+bi para un número complejo fue introducida por René Descartes (1596-1650) y asumida más tarde por Leonhard Euler (1707-1783). Las operaciones de suma y producto de número complejos le dan una estructura de álgebra conmutativa.
miércoles, 31 de mayo de 2023
Los cuaterniones de Hamilton
La suma de dos números complejos es:
$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$
El producto de dos números complejos es:
$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad-bc)i$$
Calculamos el cuadrado del módulo del número producto:
$$(ac-bd)^2+(ad-bc)^2=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$$
y se obtiene el cuadrado del producto de los módulos, llamada por Hamilton, 'ley de los módulos'. William Rowan Hamilton (1805-1865) fue catedrático en el Trinity College de Dublín y uno de los matemáticos más importantes de su época.
Hamliton intentó ampliar a números hipercomplejos de tres dimensiones, buscando una leyes análogas a las de los números complejos:
$$(a+bi+cj)+(a'+b'i+c'j)=(a+a')+(b+b')i+(c+c')j$$
Con la suma no hay problema pero cuando se trata del producto surgen problemas. Intenta ver si se sigue cumpliendo la ley de los módulos:
$$(a+bi+cj)(a+bi+cj)=(a^2-b^2-c^2)+2abi+2acj+2bcij$$
Considera que, por analogía con los números complejos, se debe cumplir:
$$i^2=j^2=-1$$
Ahora el cuadrado del módulo es:
$$(a^2-b^2-c^2)^2+(2ab)^2+(2ac)^2+(2bc)^2=(a^2+b^2+c^2)^2+(2bc)^2$$
y para que se cumpla la ley de los módulos el último término sobra y por tanto se debería cumplir ij=0.
A Hamilton no le parece correcto y propone:
$$ij=-ji=k$$
pudiendo ser k nulo o no. El término sería:
$$bc(ij+ji)$$
Bajo estas condiciones:
$$ij=-ji=k$$
calcula el producto:
$$(a+bi+cj)(x+yi+zj)=$$
$$(ax-by-cz)+(ay+bx)i+(az+cx)j+(bz-cy)k$$
Y se pregunta si para k=0 se cumple la ley de módulos:
$$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax-by-cz)^2+(ay+bx)^2+(az+cx)^2$$
comprobando que no, porque en el término de la derecha faltaría:
$$(bz-cy)^2$$
que es el el cuadrado del coeficiente de k al desarrollar el producto.
Pero si k no fuera nulo, entonces el producto de dos tripletas no sería una tripleta y tendría cuatro términos en lugar de tres.
a lo que Hamilton respondía sacudiendo tristemente la cabeza:
Hamliton intentó ampliar a números hipercomplejos de tres dimensiones, buscando una leyes análogas a las de los números complejos:
$$(a+bi+cj)+(a'+b'i+c'j)=(a+a')+(b+b')i+(c+c')j$$
Con la suma no hay problema pero cuando se trata del producto surgen problemas. Intenta ver si se sigue cumpliendo la ley de los módulos:
$$(a+bi+cj)(a+bi+cj)=(a^2-b^2-c^2)+2abi+2acj+2bcij$$
Considera que, por analogía con los números complejos, se debe cumplir:
$$i^2=j^2=-1$$
Ahora el cuadrado del módulo es:
$$(a^2-b^2-c^2)^2+(2ab)^2+(2ac)^2+(2bc)^2=(a^2+b^2+c^2)^2+(2bc)^2$$
y para que se cumpla la ley de los módulos el último término sobra y por tanto se debería cumplir ij=0.
A Hamilton no le parece correcto y propone:
$$ij=-ji=k$$
pudiendo ser k nulo o no. El término sería:
$$bc(ij+ji)$$
Bajo estas condiciones:
$$ij=-ji=k$$
calcula el producto:
$$(a+bi+cj)(x+yi+zj)=$$
$$(ax-by-cz)+(ay+bx)i+(az+cx)j+(bz-cy)k$$
Y se pregunta si para k=0 se cumple la ley de módulos:
$$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax-by-cz)^2+(ay+bx)^2+(az+cx)^2$$
comprobando que no, porque en el término de la derecha faltaría:
$$(bz-cy)^2$$
que es el el cuadrado del coeficiente de k al desarrollar el producto.
Pero si k no fuera nulo, entonces el producto de dos tripletas no sería una tripleta y tendría cuatro términos en lugar de tres.Durante prácticamente diez años Hamilton fue incapaz de avanzar en este sentido. Cada
mañana en el desayuno, sus hijos que en cierto modo participaban con afecto
en las esperanzas y los desengaños de su padre a medida que las investigaciones
tenían lugar, le preguntaban:
Bueno Papá, ¿puedes ya multiplicar las tripletas?.
a lo que Hamilton respondía sacudiendo tristemente la cabeza:
No. Por ahora sólo puedo sumarlas y restarlas.
Sin embargo, algo extraordinario iba a suceder mientras paseaba como de
costumbre con su mujer por el Canal Real en Dublín el 16 de octubre de 1843.
De pronto en un acto de revelación, Hamilton se dio cuenta de que todas sus
dificultades podían verse superadas simplemente con la consideración de tomar
cuatro términos en lugar de tres, es decir, si tomaba k como una tercera
unidad imaginaria añadida a i y j.
Hamilton describe este hecho quince años
después en una carta a uno de sus hijos:
Mañana será el decimoquinto cumpleaños de los cuaterniones. Surgieron
a la vida, o a la luz, ya crecidos, el 16 de octubre de 1843, cuando
me encontraba caminando con la Sra. Hamilton hacia Dublín, y llegamos
al Puente de Broughman. Es decir, entonces y ahí, cerré el circuito galvánico
del pensamiento y las chispas que cayeron fueron las ecuaciones
fundamentales entre i, j, k; exactamente como las he usado desde entonces.
Saqué, en ese momento, una libreta de bolsillo, que todavía existe, e
hice una anotación, sobre la cual, en ese mismo preciso momento, sentí
que posiblemente sería valioso el extender mi labor por al menos los diez (o
podían ser quince) años por venir. Es justo decir que esto sucedía porque
sentí, en ese momento, que un problema había sido resuelto, un deseo intelectual
aliviado, deseo que me había perseguido por lo menos los quince
años anteriores. No pude resistir el impulso de coger mi navaja y grabar en
una piedra del Puente Brougham la fórmula fundamental con los símbolos
i, j, k:
$$i^2 = j^2= k^2 = ijk = −1 $$
que contenían la solución del Problema, que desde entonces sobrevive como
inscripción.
Hamilton denominó a estas nuevas expresiones cuaterniones, o números cuaternios. Son números hipercomplejos de la forma:
$$q = a + bi + cj + dk$$
donde a, b, c y d son números reales, e i, j y k satisfacen la relación:
$$i^2 = j^2 = k^2 = −1$$
Habiendo asumido que:
$$i^2 = j^2 = −1 \wedge k = ij = −ji$$
$$k^2=ijij=-jiij=-ji^2j=j^2=-1$$
Además se tiene:
$$ki=iji=-jii=-ji^2=j \wedge ik=iij=i^2j=-j$$
$$kj=ijj=ij^2=-i \wedge jk=jij=-ijj=-ij^2=i$$
Con todas estas relaciones ya se cumple la ley de los módulos y los números cuaterniones forman un álgebra no conmutativa.
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