Sucesiones de 'Somos'

Estas sucesiones deben su nombre a su creador, el matemático americano Michael Somos.

 Con la relación de recurrencia: $$a_n=a_{n-1} \wedge a_0=1$$ se obtiene la sucesión Somos-1: $$1,1,1,1,1,\ldots$$

Con la relación de recurrencia:

$$a_n=\frac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}} \wedge a_0,a_1=1$$ se obtiene la sucesión Somos-2: $$1,1,1,1,1,\ldots$$

Con la relación de recurrencia:

$$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-2}}{a_{n-3}} \wedge a_0,a_1,a_2=1$$ se obtiene la sucesión Somos-3: $$1,1,1,1,1,\ldots$$

Vemos que los elementos semilla de la sucesión son siempre 1 y que el número de éstos coincide con el orden de la sucesión y que todas la sucesiones son iguales.

Con la relación de recurrencia:

$$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-3}+a_n^2}{a_{n-4}} \wedge a_0,a_1,a_2,a_3=1$$

 se obtiene la sucesión Somos-4: 

$$1,1,1,1,1,2,7,23,59,314,1529,8209,83313,620297,7869898\ldots$$

Se observa que la sucesión crece muy rápido pero siempre con valores enteros a pesar que en la fórmula de recurrencia hay un denominador.

Con la relación de recurrencia:

$$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-4}+a_{n-2}a_{n-3}}{a_{n-5}} \wedge a_0,a_1,a_2,a_3,a_4=1$$ se obtiene la sucesión Somos-5:

$$1,1,1,1,1,2,3,5,11,37,83,274,1217,6161,22823,165713 \ldots$$

La sucesión Somos-6 es:

$$1,1,1,1,1,1,3,5,9,23,75,37,421,1103,5047,41873,281527 \ldots$$

La sucesión Somos-7 es:

$$1,1,1,1,1,1,,3,5,9,17,41,137,769,1925,7203,340821 \ldots$$

Vemos que estas sucesiones siguen dando siempre valores enteros. ¿Se romperá esto alguna vez y aparecerá un número fraccionario?

Con la relación de recurrencia:

$$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-7}+a_{n-2}a_{n-6}+a_{n-3}a_{n-5}+a_{n-4}^2a}{a_{n-8}} \wedge a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5=1$$

se obtiene la sucesión Somos-8:

$$1,1,1,1,1,1,1,1,4,7,13,25,61,187,775,5827,14815, \ldots$$

Calculamos el siguiente término:

$$a_{17}=\frac{a_{16}a_{10}+a_{15}a_{11}+a_{14}a_{12}+a_{13}^2}{a_9}=$$ $$\frac{14815\cdot 13+5827 \cdot 25+775 \cdot 61+ 187^2}{7}=\frac{420514}{7}$$

Hemos tenido que llegar a es término de Somos-8 para que aparezca un número no entero. 

 Todas estas sucesiones se deducen de una fórmula general: $$a_n=\frac{\sum_{i=1}^{\lfloor k/2 \rfloor}a_{n-i}a_{n-(k-i)}}{a_{n-k}}$$ $$a_i=1 \hspace{0.5 cm}i=0,\ldots k-1$$ El símbolo superior del sumatorio indica 'parte entera'. Las siguientes sucesiones Somos obtienen el primer término fraccionario en posiciones cada vez más avanzadas: $$k=9,10,11, 12,13,14,15, \ldots \rightarrow a_{19},a_{20},a_{22},a_{24},a_{27},a_{28},a_{30},\ldots$$