Vamos a volver sobre la sucesión de Fibonacci:
$$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...$$
$$F_1=1,\quad F_2=1,\quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$$
donde el cociente de dos términos consecutivos tiende al número de oro:
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}= \phi$$
Esto permite obtener de forma aproximada un término muy avanzado de la sucesión.
$$F_n \approx F_{n-1} \cdot\phi \rightarrow F_n \approx F_{n-2} \cdot\phi^2 \rightarrow F_n \approx \cdot\phi^n $$
Si se quiere obtener un término conociendo el anterior, basta multiplicarlo por el número de oro y redondear:
$$F_6 \approx F_5\cdot 1.61803...\approx 8.09016... \rightarrow F_6=8$$
Veamos la diferencia entre la aproximación y el verdadero valor del término 1000000:
$$F_{1000000} \approx\phi^{1000000} \approx 4.4 \cdot 10^{208987}$$
$$F_{1000000}= 1.95 \cdot 10^{208987}$$
Supongamos ahora que la sucesión se obtiene sumando (o restando) a un término el anterior de forma aleatoria con probabilidad 1/2: cara (+) o cruz (-). La fórmula de recurrencia ahora será:
$$R_{n}=R_{n-1} \pm R_{n-2}$$
Si la secuencia aleatoria fuera: $$+,+,-,-,+,+,-,+,-,-,...$$
la sucesión sería: $$1,1,2,3,1,-2,-1,-3,-2,-5,-3,2,...$$
¿Tenderá a más infinito, a menos infinito, a cero o será caótica?
Pues así como la sucesión de Fibonacci clásica tiende a una tasa de crecimiento, que es el número de oro, la sucesión de Fibonacci aleatoria también tiende a una tasa de crecimiento:
$$1.1319882487943...$$
conocida como la constante de Wiswanath. Así que:
$$R_{1000000}=1.1319882487943...^{1000000} \approx \pm 8.3 \cdot 10^{53841}$$
Otra forma de obtener la constante es:
$$|R_n|^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1.13198... \wedge n\rightarrow \infty$$
Es 'casi seguro', pues existe una remota posibilidad de obtener de forma aleatoria la sucesión de Fibonacci cuya ratio tiende al número de oro.
Es evidente que, siguiendo el mismo procedimiento, se puede obtener 'seguro' el número de oro:
$$|F_n|^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1.61803... \wedge n\rightarrow \infty$$
Se puede considerar que sumar o restar no sea equiprobable y tenga un sesgo.
Si la probabilidad de sumar es 1, se obtendrá la sucesión de Fibonacci clásica y si la probabilidad de restar es 1, entonces se obtiene la sucesión de Fibonacci oscilante con signos alternos.
¿Qué ocurre si sólo se le suma (resta) a un término la mitad del anterior?
$$R_n=R_{n-1} \pm \frac{1}{2}R_{n-2}$$
Se obtiene una sucesión que tiende a cero. Pero para valores comprendidos entre 1/2 y 1 ni se anula ni tiende a infinito. Concretamente para el valor 0.70258... ni crece ni decrece. Esto significa que la tasa de crecimiento tiende, aproximadamente, a 1.
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
- Se puede obtener el valor de los los términos de la sucesión.
- Se puede obtener el valor absoluto de los los términos de la sucesión.
- Se puede obtener el valor de la tasa de crecimiento.
- Se puede elegir la probabilidad (m) de sumar o restar los términos.
- Se puede elegir la proporción (s) del término que se suma o resta.
- Se muestran las gráficas de los términos, los valores absolutos de los términos y los valores de la constante de Wiswanath.
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