El matemático alemán Otto Hölder propuso una definición generalizada de la media. Esta media depende de un parámetro que para determinados valores dan lugar a las medias conocidas.
¯x(k)=(1nn∑i=1xki)1/k→¯x(k)=[12(ak+bk)]1/k
Se muestra la fórmula para n valores y la que se va a utilizar para dos valores a y b.
- ARITMÉTICA: k=1→A=a+b2
- CUADRÁTICA: k=2→Q=√a2+b22
- ARMÓNICA: k=−1→H=21a+1b
- GEOMÉTRICA: k→0→G=√ab
Recordando que si:
limx→af(x)g(x)=1∞
se puede hacer el cambio:
f(x)=1+h(x)∧limx→ah(x)=0
limx→af(x)g(x)=limx→a[1+h(x)]1h(x)h(x)g(x)=
limx→aeh(x)g(x)=limx→ae(f(x)−1)g(x)
Aplicando el algoritmo a nuestro caso:
limk→0[12(ak+bk)−1]1k=00
y aplicando la regla de l'Hôpital:
limk→012(akLa+bkLb)1=12(La+Lb)=L(ab)1/2
Por tanto, el límite es:
eL(ab)1/2=(ab)1/2=√ab
Desplazando el segmento FG=d entre las dos bases del trapecio isósceles se consiguen las diferentes medias:
- ARITMÉTICA: Cuando F y G son los puntos medios de los lados no paralelos.
- CUADRÁTICA: Cuando los dos trapecios ABGF y CDGF que determina el segmento tienen la misma área.
- ARMÓNICA: Cuando el segmento pasa por el punto de corte de las diagonales.
- GEOMÉTRICA: Cuando d es media proporcional de las bases a y b.
1 comentario:
Hola,
Gracias por el listado que has presentado de generalizado de la media.
La verdad es que no tenía en cuenta la definición de la media generalizada como tal
Cuando k = 1 tenemos la media aritmética conocida en estadística. Linealidad en estado puro
¡Interesante este enfoque!
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