El triángulo DEF inscrito en el triángulo ABC que tiene un perímetro mínimo es aquel que tiene como vértices los pies de las alturas del triángulo ABC.
Resuelto analíticamente por Fagnano. Hay dos soluciones geométricas debidas a H. A. Schwartz y a L. Fejér. Veamos esta última.
En el triángulo inscrito DEF, se considera D fijo y los vértices E y F variables. Se refleja D sobre los lados AB y BC, obteniéndose los puntos D y D', que forman el triángulo isósceles D'CD'', pues CD'=CD'' y con el ang(D'CD'')=2·ang(C).
Es evidente que el triángulo inscrito DE'F' es el que tiene menor perímetro para el punto D fijo, pues DE=ED', DF=FD'', DE'=E'D' y D''F'=F'D y al estar alineados los puntos D, E', F' y D'' la distancia DE+EF+FD
Ahora se desplaza D para conseguir que el triángulo DE'F' tenga un perímetro aún menor. Como D'D''=2·CD·sen(C) y el ángulo C es fijo, la distancia D'D'' será mínima cuando lo sea la distancia CD y esto ocurre cuando CD sea la altura del triángulo desde el vértice C.
Razonando de manera análoga con los otros puntos E y F, se deduce que el tríángulo de perímetro mínimo es el llamado triángulo órtico.
Se puede modificar el triángulo exterior desplazando sus vértices A, B y C, así como los vértices D, E y F del triángulo inscrito para comprobar la propiedad. Con las flechas se puede observar la construcción "paso a paso".
Resuelto analíticamente por Fagnano. Hay dos soluciones geométricas debidas a H. A. Schwartz y a L. Fejér. Veamos esta última.
En el triángulo inscrito DEF, se considera D fijo y los vértices E y F variables. Se refleja D sobre los lados AB y BC, obteniéndose los puntos D y D', que forman el triángulo isósceles D'CD'', pues CD'=CD'' y con el ang(D'CD'')=2·ang(C).
Es evidente que el triángulo inscrito DE'F' es el que tiene menor perímetro para el punto D fijo, pues DE=ED', DF=FD'', DE'=E'D' y D''F'=F'D y al estar alineados los puntos D, E', F' y D'' la distancia DE+EF+FD
Ahora se desplaza D para conseguir que el triángulo DE'F' tenga un perímetro aún menor. Como D'D''=2·CD·sen(C) y el ángulo C es fijo, la distancia D'D'' será mínima cuando lo sea la distancia CD y esto ocurre cuando CD sea la altura del triángulo desde el vértice C.
Razonando de manera análoga con los otros puntos E y F, se deduce que el tríángulo de perímetro mínimo es el llamado triángulo órtico.
Se puede modificar el triángulo exterior desplazando sus vértices A, B y C, así como los vértices D, E y F del triángulo inscrito para comprobar la propiedad. Con las flechas se puede observar la construcción "paso a paso".
1 comentario:
http://TrianCal.esy.es -- Abrir en Google Chrome.
(Calculadora de triángulos online desarrollada por Jesús S.)
YouTube: https://youtu.be/V2IV7lY52mA
Os propongo esta calculadora de triángulos online gratuita y sin publicidad para ayudar a los alumnos con la geometría, no realiza los ejercicios, porque no se muestran las fórmulas de sus cálculos. Está pensada de manera didáctica para comprobar y visualizar los ejercicios realizados.
TrianCal es una calculadora de triángulos online que trabaja con cualquier combinación de valores que incluyan lados, alturas, ángulos, el área o el perímetro de cualquier triángulo, calculándolo con la mínima cantidad de valores posible (normalmente tres).
Otras funciones:
- Dibuja el triángulo(s) con GeoGebra.
- Indica el rango de valores que se permite introducir en cada elemento.
- El tipo de ángulo.
- El tipo de triángulo según sus lados y ángulos.
- Selección de idioma (inglés o español).
- Seleccionar como se muestran los ángulos [Grados ( ° ), Radianes, Grados,
minutos y segundos ( ° ' " ) o grados y minutos ( ° ' )].
- Nº de decimales a mostrar en los resultados ( 0 - 15 ).
- Permite utilizar los cursores y el tabulador para navegar por los valores.
- Menú desplegable para seleccionar valores cómodamente.
- Crear un enlace (URL) al triángulo actual.
- Un icono de correo para comunicarse con el autor.
NOTA: Hay que usar el navegador Google Chrome para visualizar correctamente
TrianCal.
Ejemplos de combinaciones posibles:
- El área, el perímetro y otro dato (lado, altura o ángulo), si el triángulo
fuera equilátero no haría falta el tercer dato.
- 2 ángulos y otro dato (si no se pone el valor del otro dato el valor del
lado “a” a la hora de dibujar el triángulo será de 10).
- 1 lado, 1 altura y 1 ángulo.
- 3 alturas.
- 3 lados.
- 2 alturas y el perímetro.
- Cualquier otra combinación de valores.
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